基于二階錐優化的復系數FIR濾波器設計

王鐵丹，郭 輝，張 昕，陳昌云，高 祺

（中國航天科工集團8511研究所，江蘇 南京210007）

0 引言

FIR濾波器因其良好的頻率響應及線性相位特性而被廣泛應用到大量工程場合，而隨著需求的不斷擴大，在波形均衡器、地震雜波濾波及衛星信道分配等應用領域，要求設計出具有任意幅度及相位響應的復系數濾波器。基于實系數交錯定理首先被推廣到了復數域，從而提高復系數濾波器的一些性能要求［1］。之后，文獻［2～3］使用最小二乘法方設計具有低群延時的復系數濾波器。周青松［4］等將二階錐優化引入低群延時復系數FIR 濾波器設計，取得較好效果。因此，本文利用二階錐優化（SOCP）方法來設計具有任意幅相響應的復系數FIR 濾波器，通過少許頻率響應期望點進行內插，再通過MATLAB 的CVX 工具箱，簡單有效地設計出期望的復系數FIR 濾波器，在工程中得到良好的應用。

采用FIR 濾波器對具有一定帶寬的信號進行幅相均衡，減少微波器件帶來的信號失真，其系統框圖如圖1所示。

圖1 基于FIR 濾波器的幅相均衡器系統框圖

當經過正交解調的數字復信號數據進入設計好的FIR 濾波器后，該濾波器的幅頻及相頻響應在期望頻率段內都是和頻率相關的函數，達到對信號進行幅相均衡的效果，而該方法和核心問題為在已知預設頻譜響應的情況下如何設計出合適的FIR 濾波器系數。

1 FIR濾波器設計算法

1.1 二階錐優化的基本原理

二階錐優化是凸優化問題的一個子集。二階錐優化是在滿足一組二階錐優化和線性等式約束的條件下使某線性函數最小化，它具有成熟性高，計算結果精確等優點［5］。

二階錐優化一般形式為：

式中，y∈Cα×1為優化向量，b∈Cα×1，Ai∈Cαi（）-1×α，bi∈Cαi（ ）-1×1，ci∈Cα×1，di∈R，F∈Cg×α，g∈Cα×1，表示Euclid范數，此處為l1范數，C 表示復數集，R 表示實數集。

其中每個約束可寫成二階錐形式：

式（1）中的Fy＝g 可以表示為零錐的形式［5］：

由上述推導可知，線性規劃和凸二次規劃都是二階錐規劃的特例。將非負集合表示為R＋，則二階錐問題都可以表述為：

式中的約束表示有q1個等式約束，q2個線性不等式約束及q3個二階錐優化。

1.2 濾波器系數計算

假設FIR 濾波器的沖擊響應為：

其在頻率fk上的頻率響應為：

工程中一般對頻段進行等間隔劃分后確定部分特殊頻點的幅相響應，為了使濾波器設計更平滑，對特殊頻點進行內插，一般測量10～20個特殊頻點后，內插至1000～2000個期望響應值。期望濾波器響應可表示 為：Hidea＝ ［Hidea（f1），Hidea（f2），…，Hidea（fK）］。而實際設計濾波器響應為： Hdesign＝［Hdesign（f1），Hdesign（f2），…，Hdesign（fK）］。則期望濾波器與設計濾波器響應的誤差可以表示為：

p 的不同取值可以代表不同的約束形式，當p 取值為1，表示L1范數，其定義為：

常用的還有當p 取值為2，表示L2范數，當p 為inf時，表示無窮范數，其定義分別為：

當使用無窮范數時，濾波器設計法則即為經典的切比雪夫逼近理論設計法。ε表示了設計的濾波器與期望響應之間在通帶內的誤差，而在非通帶范圍，幅相均衡器要求不對帶外信號進行放大即可，即：

式中，fm為對需要均衡的帶外頻率的均勻劃分。整個約束可以表示為：

式（14）通過使用MATLAB 中的CVX 工具箱可對二階錐優化進行求解。CVX 工具箱由斯坦福大學的Michael Grant及Stephen Boyd制作，用于求解線性優化（Linear Programs）、二次優化（Quadratic Programs）、二階錐優化和半定優化（Semidefinite Programs）。

2 設計實例

大量工程項目中遇到需要通過FIR 濾波器設計幅相均衡器達到通道均衡等目的，該算法負責計算所需的復系數濾波器系數，計算的結果可直接應用于各類FPGA 或者DSP系統中。下面通過設計實例來證明本文所提算法的有效性。

1）工程實例一

該工程中要求設計一幅頻均衡器，幅度校正系數為：g＝［-8.75-7.78-6.72-6.86-6.80-4.98-2.42-1.42 0.00］，對應角頻率為0.1π～0.9π，等間隔取樣共11個點，校正結果如圖2所示。

通過圖2的左圖可以看到實際設計的幅頻校正曲線與理想的幅頻校正曲線非常接近，通過計算得到的8階復系數FIR 濾波器校正后，幅度抖動由原來的8dB 降低到0.7dB校正效果明顯。由于該實例未對相頻校正提出要求，設計的相頻曲線為線性相位。

2）工程實例二

該工程要求設計一幅相頻均衡器，幅度及相位校正曲線分別如圖3及圖4所示。

可以看到經過復系數FIR 均衡器校正后，幅度偏差由原來的最大-5.5dB 降低為0.31dB，相位擾動也由原來的最大偏差40°降低為2.5°，校正效果明顯。

圖2 8階實系數濾波器校正結果，校正后幅度差值為0.7dB

圖3 32階FIR 濾波器幅頻校正圖，校正后幅度差值為0.3115dB

圖4 32階FIR 濾波器相頻校正圖，校正后相位最大差值2.5343°

3 結束語

FIR濾波器可以一定帶寬信號進行幅度及相位上一致性的校正。低階數的實系數FIR濾波器即可對幅頻誤差校正取得較好的效果，需要的硬件資源很少。而需要進行幅頻及幅相同時校正的情況，需設計復系數FIR 濾波器，需要的階數一般也高于單純進行幅頻校正的濾波器。■

［1］Karam LJ，Mcclellan JH.Complex Chebyshev approximation for FIR filter design［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems II，1995，42（3）：207-246.

［2］賴曉平，袁博，徐東.低群延遲有限沖激響應濾波器約束最小二乘設計［J］.浙江大學學報（工學版），2010，44：1271-1275.

［3］張少蔚，徐東，袁博，等.復數FIR 濾波器橢圓誤差約束最小二乘設計［J］.浙江大學學報（工學版），2010，44：1339-1342.

［4］周青松，張劍云，李小波，等.二階錐規劃方法對于低群延時復系數有限沖激響應數字濾波器優化設計［J］.電路與系統學報，2011，16（3）：75-80.

［5］Lobo MS，Vandenberghe L，Boyd S.Applications of second order cone programming international linear algebra society symposim on fast algorithms for control［J］.Signals and Image Processing，1998，284：193-228.