無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法仿真

張 雷，胡云安，韓慶龍

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.控制工程系；c.基礎部，山東煙臺264001）

無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法仿真

張 雷a，胡云安b，韓慶龍c

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.控制工程系；c.基礎部，山東煙臺264001）

針對無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法限制條件較為嚴格的問題，利用平均化方法構造了平均化系統并證明了算法的穩定性，給出了系統參數的選取條件。以微噴十字粱實驗系統為例進行應用仿真研究，說明無穩定狀態顫振極值搜索算法可減弱系統顫振，改善算法穩定性和準確性。

單變量；極值搜索算法；穩定狀態顫振

在系統輸出與待搜索變量之間存在最大值或最小值關系時，即可以用某種損失函數來表示，運用極值搜索算法可以在沒有準確知道或者不知曉損失函數形式和待搜索變量的情況下，仍能使系統輸出取得最大值或最小值[1]。文獻[2]首次對一般非線性對象的極值搜索控制穩定性作出了深入地分析。文獻[3]在單變量極值搜索算法中加入動態補償裝置，既可以保證算法穩定性，同時也加快了系統的收斂速度，而且消除了自適應增益較小的要求。Ying Tan等人在基于正弦激勵信號的單變量極值搜索算法的基礎上提出了一種結構簡單的極值搜索算法[4]，這種極值搜索算法的設計省略了原單變量極值搜索算法設計中高、低通濾波器，僅保留了積分環節和正弦激勵信號環節。文獻[5]在極值搜索算法結構的基礎上，提出了一種通過自適應調節激勵信號幅值使系統在局部極值存在的情況下仍能收斂到全局極值的方法，并證明了算法在全局極值點處是半全局漸近穩定的。文獻[6]在半全局極值搜索算法結構的基礎上加入了高通濾波器，改善了算法的準確性和快速性。文獻[7]以微噴十字粱實驗系統為例，采用極值搜索算法，加入動態補償器，并利用RBF神經網絡逼近激勵信號的最優幅值以改善系統性能，設計控制器進行仿真研究。文獻[8]針對傳統極值搜索算法存在的顫振問題提出了多種新型極值搜索算法，為研究解決穩定狀態顫振問題拓寬了思路。文獻[9]利用平均化方法對極值搜索算法進行了穩定性分析。文獻[10]針對傳統極值搜索算法存在穩定狀態顫振的問題提出了無穩定狀態顫振極值搜索算法，將動態系統近似為標量系統進行穩定性分析，該算法在特定情況下可收斂至損失函數的全局極值，同時當系統達到穩定狀態時幾乎無顫振現象。

本文針對文獻[10]中的無穩定狀態顫振極值搜索算法其穩定性證明限制條件較為嚴格的問題，利用平均化方法構造了平均化系統，參考平均化系統構造李雅普洛夫函數證明了算法的穩定性，給出了算法中的參數選取條件，并以微噴十字粱實驗系統為例進行仿真研究。采用傳統極值搜索算法進行了對比仿真，驗證了無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法可有效減弱系統顫振，可改善算法的穩定性和準確性。

1 無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法

考慮一般SISO非線性模型：

假設已知系統的控制律為

將式（2）代入式（1），可以得到閉環系統方程：

極值搜索對象應當滿足以下3個假設條件。

假設1：當系統采用控制律u(t)=α(x(t),θ)時，存在光滑函數l：→，使得成立。

假設2并不是必要條件，僅說明即使在不了解模型函數f(x ,u)和l(θ)的情況下，仍存在一個控制律使得系統（3）是漸近穩定。

假設3：存在θ?∈，使得

無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法結構如圖1所示。其中，d(t)是幅值為1；周期為ω的激勵信號，主要用于調制和解調信號；k為比例常數；為系統輸出信號中的低頻信號；η為經低通濾波器過濾后的信號；為調制激勵信號的幅值；δ為解調激勵信號的幅值；ωh為高通濾波器截止頻率；ωl為低通濾波器截止頻率。

圖1 無穩定狀態顫振的單變量極值搜索算法結構圖Fig.1 Scheme of single-variable extremum seeking algorithm without steady-state chatter

為了詳細地說明極值搜索算法工作原理，可以認為搜索信號θ的變化頻率比調制激勵信號ad(t)和解調激勵信號δd(t)慢得多，因而在某時刻可以將信號θ看作是不隨時間變化的，那么可得系統輸出，運用Taylor公式可以得到：

理想情況下，該信號經過高通濾波器（HPF）后，將會完全消除低頻信號β。因此，經過HPF后的輸出信號y-β為

再與激勵信號δd()t相乘后，得到反饋信號為

反饋信號中的高頻信號部分經積分環節后其影響可忽略不計，即對積分環節產生作用的梯度信號為

在理想情況下，可以得到系統輸出函數對于搜索變量θ的梯度。根據自適應控制中的梯度法，為了使系統輸出取得極值，沿輸出函數的負梯度方向變更參數是合理的，經過積分環節，驅使參數θ向損失函數達到極值時對應的θ?運動，最終使得當θ=θ?時，系統輸出y也取得極值。

2 穩定性分析

由于完全證明極值搜索算法穩定性具有很大的難度，本文在以往證明限制條件嚴格的基礎上放寬了限制條件，以便更好地證明極值搜索算法的穩定性。控制系統狀態方程與損失函數為：

控制輸入量為

不失一般性，假設系統搜索變量θ存在對應的值θ?，使得系統輸出有最小值y?()t，那么搜索變量誤差可以為

假設控制對象（8）滿足以下條件：

式（11）中：σ1、σ2、σ3、σ4、σ5都是正實數；|e|＜γ，γ為已知的正實數。

將系統的控制輸入量式（9）、（10）代入系統的狀態方程式（8），同時考慮調制激勵信號可得

高通濾波器和搜索變量誤差的狀態方程為：

低通濾波器的狀態方程和幅值調節律為：

式（13）、（14）中：ωh＞0；ωl＞0，通常選擇較小的參數，在每個周期里滿足，λ為固定正的常值。

考慮到假設2中的x=l(θ)，則控制系統存在以下關系：

考慮到系統激勵信號ad(t)、δd(t)的輸入，將式（15）代入式（13）、（14）中并運用平均化方法，控制器部分的狀態方程可得：

式（16）、（17）中，O()?為無窮小量。

由式（16）、（17）可知平均化后的系統中，高通濾波器狀態量 β經平均化后被消去，結合控制系統式（8）、（9）和式（16）、（17），選取李雅普洛夫函數為

由式（8）、（16）、（17）和假設1、2可知系統達到穩定狀態時存在=0，=0，此時，則系統平衡點為=0，=0。

由式（11）中的假設可以得到

假設4：存在合適的正實數k，可以使得

綜上所述，通過以上分析可以得到以下結論。

定理1：控制對象如式（8）所示，在滿足假設1～3和條件（11）的情況下，選取Lyapunov函數V(ηˉ,eˉ)如式（18）所示，如果系統參數選取滿足假設4時，根據Lyapunov穩定性判據，該平均化控制系統（16）、（17）是漸近穩定的。

根據定理1和平均化原理[9]，可以得到如下結論：

定理2：當平均化控制對象（16）、（17）漸近穩定時，由假設條件4所確定的系統參數為，當控制對象（8）中選取的參數滿足時，針對控制對象（8）設計的極值搜索控制器也是漸近穩定的。

因此，由式（21）可知，極值搜索算法設計的控制器穩定性不僅與濾波器的頻率ωl有關，而且與比例系數k、激勵信號的幅值δ和幅值調節系數r有直接的關系。

3 仿真分析

為了能將極值搜索算法應用到十字梁微噴系統的俯仰通道，文獻[7]構建系統的損失函數為，其中：?為實際俯仰角；??為俯仰角給定值。同時，針對十字梁微噴系統的俯仰通道模型，運用極值搜索算法設計了俯仰通道控制器。

本節以十字梁微噴系統模型為仿真對象，采用無穩定狀態顫振極值搜索算法對比傳統極值搜索算法進行仿真驗證。基于極值搜索算法的控制結構如圖2所示。圖2中：激勵信號d(t)=sin(ωt)；ρ為固定的信號幅值；θ為極值搜索變量；為俯仰角的微分信號；kd、kp是十字梁微噴系統的設計參數；在實際模型中系統參數c=2.81，b=0.405 16，kd=1.5，kp=-0.5，給定俯仰角??=5°。

圖2 基于傳統極值搜索算法的控制結構Fig.2 Control scheme of traditional extremum seeking algorithm

采用圖2中的傳統極值搜索算法進行仿真，選取控制參數分別為k=10、ωh=2rad/s、ω=1rad/s、ρ=0.1，仿真結果如圖3～5中的虛線部分所示。

采用圖1所示的無穩定狀態顫振極值搜索算法進行仿真，同樣選取激勵信號d(t)=sin(ωt)，選取控制參數分別為k=10、ωh=2 rad/s、ωl=0.1rad/s、r=10、ω=1rad/s、δ=0.1，仿真結果見圖3～5中的實線部分。

圖3 俯仰角?仿真對比圖Fig.3 Simulation comparison chart of pitch angle

圖4 損失函數輸出y仿真對比圖Fig.4 Simulation comparison chart of system output

圖5 激勵信號ρd(t)、ad(t)仿真對比圖Fig.5 Simulation comparison chart of pumping signal

由圖3～5中的虛線部分可以得到，采用傳統極值搜索算法時，由于反饋通道中加入的激勵信號ρsin(ωt)中的幅值固定不變，導致俯仰角輸出值達到5°時不斷顫振，同時輸出的損失函數始終存在顫振現象。

由圖3～5中的實線部分可以看出，采用無穩定狀態顫振極值搜索算法時，激勵信號asin(ωt)中的幅值a隨損失函數梯度變化進行調節，當使俯仰角輸出值逐漸趨近于5°時，激勵信號asin(ωt)的幅值趨近于零，俯仰角輸出值達到5°時無顫振現象，同時輸出的損失函數無顫振現象，改善了算法的穩定性和準確性。

4 結論

本文針對無穩定狀態顫振極值搜索算法其穩定性證明限制條件較為嚴格的問題，利用平均化方法構造了新的平均化系統，參考平均化系統構造李雅普洛夫函數證明了算法的穩定性，對比已有的穩定性證明，給出了算法中的參數選取條件，并針對微噴十字粱實驗系統為例進行了仿真研究。

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Single-Variable Extremum Seeking Algorithm Simulation of Steady-State Chatter

ZHANG Leia,HU Yunanb,HAN Qinglongc
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate Students’Brigade; b.Department of Control Engineering;c.Department of Basic Sciences,Yantai Shandong 264001,China）

The single-variable extremum seeking algorithm without steady-state chatter was hedged around with rigorous restrictions,the averaging method was used to construct the averaged system and the system stability was proved.System parameters selection requirement was given at last.The example of experimental system of jet cross beam was used to ap?plied simulate.The simulation results demonstrated that the extremum seeking algorithm without steady-state could atten?uate state chatter，improve stability and accuracy of algorithm.

single-variable;extremum seeking algorithm;steady-state chatter

TP273+.23

A

1673-1522（2015）05-0447-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2015.05.010

2015-06-09；

2015-07-25

國家自然科學基金資助項目（60674090）

張 雷（1988-），男，博士生；胡云安（1966-），男，教授，博士，博導。