分數階Hopfield型神經網絡的全局漸近穩定性

崔世維，蓋明久，劉孝磊

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.基礎部，山東煙臺264001）

分數階Hopfield型神經網絡的全局漸近穩定性

崔世維a，蓋明久b，劉孝磊b

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.基礎部，山東煙臺264001）

研究了分數階Hopfield型神經網絡的全局漸近穩定性，通過LMI方法得到了一種實現系統全局漸近穩定性的LMI形式條件，通過實例仿真驗證了結論的正確性。

分數階；神經網絡；漸近穩定性；LMI

隨著對分數階微積分的認識越來越深刻，分數階微積分在多個學科有廣泛應用，如物理、化學、生物和圖像處理等，并且取得了較好的研究成果，凸顯了其獨特的優勢和不可替代性，其理論和應用研究引起了廣泛重視，已經成為當前國際上的一個研究熱點[1-7]。

眾所周知，小到一個具體的控制系統，大至社會系統、金融系統、生態系統，總是在各種偶然的或持續的干擾下進行的，保持系統的穩定性就顯得至關重要。因此，研究分數階系統也必不可免地面臨著對穩定性的研究。目前，關于分數階系統穩定性的研究結果主要涉及分數階系統的有限時穩定性、魯棒穩定性、Mittag-Leffler穩定性等[8-11]。然而，由于分數階微積分定義的不統一以及定義本身的復雜性，導致對分數階系統穩定性的研究面臨著眾多困難。

另一方面，由于神經網絡良好的非線性映射能力、自學習適應能力和并行信息處理能力，為解決不確定非線性系統的建模和控制提供了新思路。隨著分數階微積分的發展，人們將分數階微積分引入到神經網絡，建立了分數階神經網絡，并取得了一定的研究成果。文獻[12]基于整數階Hopfield神經網絡模型提出了分數階Hopfield型神經網絡模型，并引起了人們對分數階Hopfield型神經網絡的穩定性及特殊結構的動力行為等方面的廣泛關注[13-15]。

本文研究了分數階Hopfield型神經網絡的全局漸近穩定性，得到了一種LMI形式的充分條件，并通過實例仿真驗證了結論的正確性。

1 預備工作

定義1：[1-2]如果 f(t)∈C1(0,+∞)，那么稱

為函數 f()

定義2：[1-2]如果 f(t)∈C1(0,+∞)，那么稱

為函數 f(t)的α階Caputo型分數階導數。

為簡便起見，下文將α階Caputo導數記為Dα。由文獻[1]知，Dα的Laplace變換式為

定義3：[1-2]Mittag-Leffler函數的單參數和雙參數分別定義為：

由文獻[1]知，雙參數Mittag-Leffler函數的Laplace變換式為：

考慮如下分數階神經網絡：

式（1）的向量形式為：

為研究分數階系統的穩定性，需要下面假設及引理。

假設1：激勵函數 fi(·)(i=1,2,…,n)有界，且滿足Lipschitz條件，即存在Lipschitz常數li使得

引理1：[1-2]Caputo導數Dα具有以下性質：

1）Dαc=0，這里c為常數；

2）Dα(μf(t)+νg(t))=μDαf(t)+νDαg(t)，其中μ、ν為常數。

引理3：[16]假定x(t)∈為連續可微的向量函數，則對任意t≥t0，存在對稱正定方陣P使得下式成立：

2 主要結果

定理1：若存在對稱正定方陣P，正對角矩陣Γ=diag[γ1,γ2,…,γn]＞0，使得下面LMI成立：

則系統是全局漸近穩定的。

顯然F(0)=0。因此，為研究系統（1）的穩定性，只需研究系統（5）零解的穩定性。

下面構造函數

其中矩陣P滿足引理3，則

進一步，

3 實例仿真

為系統（1）選取參數

通過Matlab軟件LMI工具包進行求解，結果顯示LMI條件是可行的，可行解如下：

根據定理1可知系統是全局漸近穩定的，圖1～3分別為x1(t)、x2(t)、x3(t)隨時間t(s)收斂于0的趨勢圖。

圖1 x1(t)隨時間t收斂于0的趨勢圖Fig.1 Tendency chart ofx1(t)converging to 0 witht

圖2 x2(t)隨時間t收斂于零的趨勢圖Fig.2 Tendency chart ofx2(t)converging to 0 witht

圖3 x3(t)隨時間t收斂于零的趨勢圖Fig.3 Tendency chart ofx3(t)converging to 0 witht

4 結論

本文通過對分數階Hopfield型神經網絡進行全局漸近穩定性分析，給出了判定該類系統全局漸近穩定性的LMI條件，并進行了Matlab仿真，通過實例驗證了文中定理的正確性。

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Global Asymptotically Stability of Fractional-Order Hopfield Neural Networks

CUI Shiweia,GAI Mingjiub,LIU Xiaoleib
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Graduate student’Brigade; b.Department of Basic Sciences,Yantai Shandong 264001,China）

In this paper,the global asymptotically stability of fractional-order hopfield neural networks was investigated, and a sufficient condition was given by using LMI approach.At last,a numerical example and corresponding numerical simulation were presented to demonstrate the effectiveness of the result.

fractional order;neural networks;asymptotically stability;LMI

O175.13

A

1673-1522（2015）05-0493-04

10.7682/j.issn.1673-1522.2015.05.019

2015-05-10；

2015-07-20

崔世維（1990-），男，碩士生。