線性規(guī)劃的教學模式探討

苗連英　逄世友

摘要：線性規(guī)劃是運籌學的核心內容，求解線性規(guī)劃的單純形法在理論上已趨于成熟，應用也越來越廣泛。為了使學生更容易、更深刻地理解這種算法及其理論基礎，本文給出了一種循序漸進的教學模式。這種模式也適用于運籌學其他內容的教學。

關鍵詞：單純形法；循序漸進；教學模式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）45-0036-04

運籌學是二戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一門應用學科，它廣泛應用現(xiàn)有的科學技術知識和數(shù)學方法，解決實際中提出的一些問題，為決策者選擇最優(yōu)策略提供定量依據(jù)，其內容包括：規(guī)劃論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標規(guī)劃等）、圖論與網(wǎng)絡分析、對策論、排隊論、存儲論、決策論、排序與統(tǒng)籌方法等[1]。運籌學的實際應用涉及生產(chǎn)計劃、運輸問題、人事管理、庫存管理、市場營銷、財務和會計等方面。另外，還應用于設備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價、工程優(yōu)化設計、環(huán)境保護等問題中。據(jù)統(tǒng)計，50%數(shù)學建模問題與運籌學內容相關，可以用運籌學的方法解決。另外，為各大高校數(shù)次爭得榮譽的建模隊伍，長期以來一直接受運籌學相關知識的培訓。

運籌學中最主要的分支是線性規(guī)劃。線性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)著名經(jīng)濟學家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大發(fā)現(xiàn)使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。1947年G.B.Dantzig提出求解線性規(guī)劃的單純形法。針對退化問題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則，這些方法都能避免循環(huán)發(fā)生。線性規(guī)劃理論上已趨于成熟，應用也越來越廣泛。事實上，運籌學中許多問題都可以或需要用線性規(guī)劃模型來描述或近似地描述，如運輸問題——求解運輸問題的表上作業(yè)法本質上就是單純形法，并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。求最短路、最小費用最大流的問題都可以用線性規(guī)劃模型來解決。求解指派問題的匈牙利法本質上也是單純形法[5]。矩陣對策問題最后轉化成求解線性規(guī)劃。學習運籌學的先修課程主要有線性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。事實上，運籌學不僅應用了這些學科，也從理論上進一步發(fā)展了這些學科。

單純形法是建立在一系列理論基礎之上的。首先，如果線性規(guī)劃的可行域非空，則它是一個凸集，這個結論很容易證明。線性規(guī)劃的可行域的頂點與基可行解之間是一一對應的，所以其頂點個數(shù)有限，這個結論與單純形法的關系不大，其證明可以省略。其次，線性規(guī)劃若有可行解，則一定有基可行解，這個結論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。

進一步講，若線性規(guī)劃有最優(yōu)解，其最優(yōu)解一定可以在其可行域的頂點上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個從無限個可行解中找最優(yōu)轉化成在有限個可行解中找最優(yōu)。這是單純形法的理論基礎。為了更好地理解這一重要結論的證明，我們看下一個例子。

X2的正分量的個數(shù)是2。由于P2，P4線性無關，所以X2是基可行解。這樣我們就找到了一個最優(yōu)解也是基可行解。一般地，若X2的正分量對應的系數(shù)列與線性相關，繼續(xù)上述過程，直到找到基可行解為止。

從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。那么，如何判斷一個線性規(guī)劃是否有最優(yōu)解？如何判斷一個基可行解是否是最優(yōu)解？在一個基可行解不是最優(yōu)的情況下如何迭代到下一個與其相鄰的更好的基可行解？為回答這些問題，我們舉例說明。

先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的改進定理以及單純形法的迭代步驟，學生就容易理解。即使針對有些專業(yè)的學生講解這些定理的證明，也容易接受。

總之，現(xiàn)代社會信息量大，大學生需要學習的課程很多，用于預習或復習的時間就很少，這樣上課時間就尤為珍貴，教師應該如何講，才能使學生當堂聽明白所授內容，這是一個必須思考的問題。其實，運籌學這門學科更側重的是應用，數(shù)學理論并不難，之所以有人覺得難學，是因為沒有把握一種好的學習方法。本文針對單純形法給出了一種循序漸進的教學模式，實踐證明這種模式能使學生更容易的理解課堂內容，有利于激發(fā)學生的自信心和學習興趣，使學生在輕松掌握數(shù)學理論的基礎上，能更好地探討運籌學的經(jīng)典案例的建模和求解，加強學生運用所學知識解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力。

參考文獻：

[1]《運籌學》教材編寫組.運籌學[M].北京：清華大學出版社，2004.

[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，（1）：49-69.

[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，（5）：183-195.

[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，（2）：103-107.

[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民郵電出版社，2007.

基金項目：2014年度江蘇省研究生教育教學改革研究與實踐課題，《運籌學》立體化教學平臺建設；2014年中國礦業(yè)大學精品資源共享課：《運籌學》

作者簡介：苗連英（1966-），女，中國礦業(yè)大學理學院教授，主要從事運籌學教學和科研工作。