最值問題在經濟學中的應用

劉 威

（黑龍江工程學院數學系，哈爾濱 150050）

在工業生產、經濟管理中常常要解決在一定條件下怎么使投入最少、產出最多、效益最高、利潤最大等問題，這類問題在高等數學中可歸結為求出某一函數的最大值或最小值，因此，研究函數的最值問題及其應用尤其是在經濟學中的應用有很重要的現實意義，本文主要介紹函數的最值在經濟學中的應用。

一、微積分中的最值的一般的計算方法

微積分中有關函數最值的問題一般都通過極值來求得。先求駐點和不可導點，求區間端點及駐點和不可導點處的函數值，比較大小，哪個大哪個就是最大值，哪個小哪個就是最小值。在實際問題中常常會遇到一種特殊情況，一元連續函數若在區間(a，b)內有且僅有一個極值，則此極值就是最值（最大值或最小值）。多元函數的最值問題和一元函數類似。

二、最小成本問題

通常在實際問題中成本一般是產量q的函數：C=C(q)，求最小成本問題即是求的最小值問題，在實際應用中，經常會用平均成本達到最小來控制產量，所以常常是求平均成本的最小值問題。

例如，設某個企業每季度生產的某種產品q個單位時，其總成本函數是

1.求使平均成本最小的產量是多少；

2.求最小平均成本。

三、最大利潤問題

在產量等于銷量的情況下，利潤等于總收入與總成本之差，即

若企業以最大利潤為目標而控制產量，問題就是產量選擇多少，使利潤最大。為使總利潤最大，令其一階導數等于零，即L＇(q)=R＇(q)-C＇(q)=0

R＇(q)表示邊際收益，C＇(q)表示邊際成本，顯然，為使總利潤達到最大，還應有

例如，某廠每批生產A商品x臺的費用為C(x)=6x+180（萬元），得到的收入為R(x)=11x-0.01x2（萬元），問每批生產多少臺，才能使利潤最大？

分析：設利潤為L(x)，則

令 L＇(x)=0，解得 x=250（臺），

由于 L＂(x)=-0.02<0

所以L(250)=445（萬元）為極大值，也就是最大值。

四、最優價格問題

在生產和銷售商品過程中，商品銷售量、生產成本與銷售價格是互相影響的，廠家如何選擇合理的銷售價格，才能獲得最大利潤，這個問題稱為最優價格問題。

例如，某工廠生產兩種產品，當產量分別為x1，x2時，其總成本函數為

而市場對這兩種產品的需求函數為

p1，p2其中分別是這兩種產品的價格。試問：工廠應怎樣確定兩種產品的價格才能使所獲利潤最大？

五、庫存管理問題

不論是生產廠家還是商家，都要設置倉庫來存儲商品，因此，庫存問題也是他們必須面對的問題。企業為了完成一定的生產任務，必須要保證生產正常進行所必需的材料。但是，在總需要量一定條件下，訂購批量大、訂購次數少，訂購費用就小，而保管費用就要相應增加，因此，就有一個如何確定訂購批量使總費用最少的問題。在經濟學上，把最優訂貨批量稱為經濟訂購批量，在經濟訂購批量處，滿足訂購費用和保管費用一致，并使兩者之和也就是總費用最少。

例如，某種材料一年需要量為24000個，每個價格為40元，年保管的費用為12%，每次訂購的費用是64元，求最優訂購批量、最少的總費用。

六、其他應用

由于經濟問題的多樣化，其解決方法并無嚴格固定的模式可循，只能是具體問題具體分析，最值問題在經濟學的其他方面還有非常多的應用，如：復利問題、折舊問題等等，豐富的數學基礎知識是解決問題的關鍵。

七、總結

文章列舉了最值在實際問題中的一些應用，從經濟學的利潤最大、成本最低等方面分別舉例敘述了最值問題在經濟學中的應用。隨著社會的不斷發展和進步，最值問題在社會的各個方面都將會有更廣泛的應用，還有待于進一步研究。

[1] 王利霞.函數最值在一些實際問題中的應用[J].科技信息，2010(9).

[2] 陳麗麗.函數極值在經濟管理中的應用[J].科技資訊，2006(24).

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