基于FFT與db10小波變換的電網諧波綜合分析

熊荊州 盧家暄

（貴州大學，貴州 貴陽 550025）

隨著現代電力電子技術的快速發展，電網中非線性設備的廣泛運用，導致電網中出現大量諧波，使電力系統產生畸變，電能質量嚴重下降。其主要影響表現在：（1）能降低非線性設備的效率；（2）影響電力系統的正常工作狀態，使設備老化縮短使用壽命；（3）容易引起電氣設備誤動作；（4）在電網中產生諧振；（5）干擾通信系統等。因此快速而精確的檢測電力系統諧波尤為重要。目前非常經典的諧波分析方法就是傅里葉分析方法，它是一種在頻域上的分析方法，其中快速傅立葉變換(Fast Fourier Transformation，FFT)是應用最為廣泛的諧波檢測方法，在穩態的諧波檢測中，能夠簡易快速地得出精確的諧波幅值和相位。但是由于FFT 是在頻域上對信號進行分析，無局部時域特性，在非穩態的畸變信號中的分析就略顯不足，會產生較大的誤差。而小波變換(wavelet Transformation，WT)是一種具有時頻局部特性的信號分析方法，十分適用于分析非穩態的畸變信號，在電壓暫降、電壓暫升等快速變換的諧波信號檢測有顯著優勢。因此將FFT 和小波變換的優點結合起來，既能準確地檢測穩態信號，也能很好的檢測暫態信號。

1 傅里葉變換基本原理

傅里葉變換是能將滿足狄里赫萊條件的某個函數表示成三角函數（正弦或余弦函數）的線性組合，把信號從時域變換到頻域，在頻域上分析是信號分析處理。相當于對一個諧波傅里葉變換就是把這個波形分解成許多不同頻率的正弦波之和。其傅里葉變換可表示：

式中ω 是角頻率。傅里葉反變換公式為：

離散傅里葉變換（DFT）是傅里葉變換在時域和頻域上都是離散的形式，將時域信號的采樣轉換到在DFT 頻域上的采樣。將函數xn點定義在離散點上，還要滿足有限性以及周期性條件。這種情況下，使用DFT 將函數xn表示為下面的求和形式，n＝0，1，2….N-1；離散傅里葉變換把有限長序列的頻域離散化，但計算量大，快速傅里葉變換FFT 是根據離散傅里葉變換的奇、偶、虛、實等特性，對其進行改進產生的。FFT 將一個長度為N 的離散傅里葉變換逐級分解為較短的序列進行計算，而這些較短的序列又可重新組合成原序列，這樣計算次數比直接用離散傅立葉變換計算要少很多，從而可以提高計算速度。但是傅里葉變換是在所有的時域上分析信號，不具有局部時域特性，因此在檢測非穩態信號時明顯不具有優勢。

2 小波變換基本原理

小波變換是對傅里葉變換的重大突破，其提供了一個可以變動的時間-頻率窗。當分析高頻信號時，時間窗會自動變窄；當觀察低頻信號時，時間窗會自動變寬，具有局部時頻特性。小波變換還能表征信號的奇異性，在不同的尺度上模極大值能很好的反映諧波信號的畸變情況。同時小波變換不僅實現了信號的時頻局部化的分析研究，而且還可以在多尺度下對信號進行觀察分析，即具有多分辨分析能力。

若ψ∈L2(R)滿足條件，則稱ψ 是一個基小波，或者是母小波，因此信號x（t）的連續小波變換（CWT）可表示為

式中：a，b∈R，a>0 是和頻率變量對應的尺度因子，b 是和時間變量對應的位移因子；ψa,b(t)是基小波平移與伸縮后形成的小波函數族，叫小波基函數。

若小波ψ∈L2(R)滿足重構條件，則可以得到信號的小波變換重構公式：

將尺度因子a 和位移因子b 進行離散化，就能得到離散小波變換（DWT）。ψa,b(t)小波基中，尺度因子a 的作用是將基小波進行伸縮變動；位移因子b 的作用是將其在時間上進行平移變動來確定對x（t）分析時的時間位置。在ψ(t)換成ψ(t/a)情況下，當a>1 時a 越大ψ(t/a)的時域就越寬；當a＜1 時a 越小ψ(t/a)的時域就越窄。這樣就可以用一族寬度不斷變化的基小波來來對信號x（t）進行分析處理時在不同頻率范圍里有不同的分辨率。具體可以理解為在小波變換中的分析窗口可自動變化，其在高頻范圍的頻率分辨率不好，而時域分辨率很好；在低頻范圍時域分辨率不好，而頻率分辨率很好。在a 值變化時，分析窗口的面積不變，也就是說時頻分辨率會相應地作出變化。一般情況下，諧波信號中的高頻部分對應著諧波的非穩態信號，而諧波的低頻部分對應著諧波的穩態信號。對于高頻部分，要求時域分辨率很高，頻域分辨率可以不高；對于低頻部分，要求頻域分辨率較高，時域分辨率不高，這也正是小波不換的時頻局部性的優勢所在。

3 FFT 與DWT 的綜合分析及其MATLAB 仿真

電力系統諧波存在大量穩態諧波分量的同時也存在著少量非穩態的突變分量。應用傅立葉變換處理諧波信號可以計算出穩態分量中各次諧波的幅值、頻率和相位等參數，但是對突變信號就無法準確地檢測了。而小波變換由于其局部時頻特性，對非穩態的突變時刻有很好的定位功能。在對比研究了FFT 和DWT 的諧波檢測方法以及各自的優勢的基礎上，提出了將FFT 和DWT 相結合的電網諧波檢測算法。其基本思路為首先將采樣到的原信號進行小波變換，使原信號分解成高頻分量和低頻分量，其中低頻分量就是諧波中的穩態部分，高頻分量是諧波中暫態部分。然后對低頻分量適用FFT 進行計算，可以快速準確地得到穩態諧波的幅值和頻率等。再對高頻分量進行小波分析，可以確定突變信號的時刻和位置。

電網工作時諧波主要有3 次，5 次，7 次，11 次，13 次，17 次等穩態諧波，同時還存在一些畸變暫態諧波信號。因此在MATLAB 上建立如下諧波模型：

其中含有頻率為50Hz 電壓為220V 的基波以及3、5、7 諧波信號，還有按指數規律衰減的突變信號。該原始信號波形在MATLAB 上仿真波形如圖1 所示。

圖1 原始信號波形

由于建立的模擬信號的頻率較低，根據采樣定理，采樣頻率可以定為3200Hz，取1000個采樣點數，再應用小波變換就能很容易地將高頻部分和低頻部分分離，因此分解層數只需4 層就夠了。首先，對原始信號用db10 小波進行小波變換，將其分解為高頻部分和低頻部分，其中a1 對應的頻率寬度為0～800Hz，d1 為800～1600Hz，a2 為0～400Hz，d2 為400～800Hz，a3 為0～200Hz，d3 為200～400Hz，a4 為0～100Hz，d4為100～200Hz。在MATLAB 上進行仿真所得仿真波形如圖2 所示。

圖2 db10 小波分解系數

從圖2 中可以看出，將原始信號進行分解后再重構得到的a2 為穩態分量，a4 為基波分量，d1 為衰減的非穩態分量，同時根據圖形證明了小波變換對穩態與暫態信號分解的有效性。然后，對穩態分量a2進行快速傅里葉變換，可以快速得出各次頻率的幅值，其FFT 頻譜圖如圖3。

圖3 FFT 穩態頻譜圖

從上圖里可以看出對由小波變換分解重構得到的穩態分量進行FFT 分析可以得到比較準確的頻譜圖，諧波包含3 次、5 次、7 次，其仿真所得幅值分別是159.53、108.97、50.14，與模型給出的值很近似。

4 結論

通過將FFT 與DWT 的優勢相結合，對含有穩態分量和非穩態分量的諧波信號進行分析，并在MATLAB 平臺上建立模型進行仿真分析。從仿真結果可以得出小波變換能有效地將高頻部分與低頻部分分離，并對畸變信號能進行準確的定位，再對分離出來的穩態部分FFT 分析能提高對諧波（包括穩態信號和突變信號）的檢測速度和精度。

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