矩陣Hadamard積和Fan積特征值的新界

矩陣Hadamard積和Fan積特征值的新界

李艷艷,蔣建新

(文山學院數學學院,云南文山663000)

摘要：給出了非負矩陣的k次Hadamard冪和M矩陣的r次Fan冪的定義，并對關系式應用Cauchy-schwitz不等式(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)得到了非負矩陣A，B的Hadamard積的譜半徑ρ(A°B)和M矩陣A,B的Fan積最小特征值τ(A*B)的一些新界，這些結果包含了方茂中對于該類問題給出的相應結論。

關鍵詞：非負矩陣；M矩陣；Hadamard積；Fan積；特征值

收稿日期:2014-11-13

基金項目:國家自然科學

作者簡介:李艷艷(1982-)，女，甘肅慶陽人，講師，碩士，主要從事矩陣理論及其應用方面研究。

中圖分類號：O151.21文獻標志碼：A

0引言

令N={1,2,…,n}；Rm×n(Cm×n)為m×n階實(復)矩陣集；σ(A)為矩陣A的譜，ρ(A)為n階方陣A的譜半徑；τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}為A的模最小特征值[1]。

設矩陣A=(aij)∈Rn×n，1)若A的所有元素非負即aij≥0，i,j∈N, 則稱A為非負矩陣，記A≥0; 2) 若A的非主對角元素非正即aij≤0，i≠j，i,j∈N，且A-1≥0, 則稱A為非奇異M矩陣，記Mn為n階非奇異M矩陣全體所成之集合[1]。

r×r子矩陣，A22是(n-r)×(n-r)子矩陣，1≤r

對于不可約非負矩陣一定有正向量u使Au=ρ(A)u；對于不可約非奇異M矩陣，一定有正向量v使Av=τ(A)v， u，v統稱為這兩類矩陣的右perron特征向量[1]。

1相關引理

這部分給出文章要用到的一些引理

引理1[1](Cauchy-schwitz不等式)

設a=(a1,a2,…,an)T≥0, b=(b1,b2,…,bn)T≥0,k=1,2. 則有

(1)

引理2[2]設n階矩陣P≥0且不可約，若存在不為零的非負向量z使得Pz≤kz，則ρ(P)≤k。

引理3[2]設Q∈Mn且為不可約，若存在不為零的非負向量z使得Qz≥kz，則τ(Q)≥k。

2主要結果

這部分給出ρ(A°B)和τ(A*B)新的上界

定理1：設A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，k=1,2；則

(2)

證明：令C=A°B，下面分兩種情況證明。

(3)

令z=uv(向量乘積)，則對于任意i∈N

再由引理2知

注1當定理1中的k=1時該結論就是文獻[3]中的估計式

aiibii+(ρ(A)-aii)(ρ(B)-bii)=2aiibii+ρ(A)ρ(B)-aiiρ(B)-biiρ(A)。

推論1設A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，則

≤{2aiibii+ρ(A)ρ(B)-aiiρ(B)-biiρ(A)}n。

定理2設A=(aij)，B=(bij)∈Mn，k=1,2；則

(4)

分別為A,B，A[k],A[k]的右perron特征向量，且

A[k]u[k]=τ(A[k[[k],B[k]v[k]=τ(B[k[[k]。

于是

(5)

若D可約，設T=(tij)，t12=t23=…=tn-1,n=tn1=1，除此之外所有的tij=0，因為A,B∈Mn，則對任意給定的正數ε，當ε充分小時構造的新矩陣A+εT,B+εT∈Mn，進一步用A+εT，B+εT替換A,B同時讓ε趨近于0，由上面證明的A*B不可約的結果及連續性得此時結論仍然成立。

注2當定理2中的k=1時，就是文獻[3]中的結論

推論2設A=(aij)，B=(bij)∈Mn，則

總結：注1和注2說明了本文定理1，定理2給出的結果從理論上改進了文獻[3]中的估計式。

下面用數值算例說明當定理1，定理2中的k=2時，所得的結果優于方茂中在文獻[3]中給出的相應結果

3數值算例

應用文獻[3]中的結果得ρ(A°B)≥54.4156，應用本文定理1得ρ(A°B)≥22.3739，事實上ρ(A°B)=15.7878。

應用文獻[3]中的結果得τ(A*B)≥1.5730，應用本文定理2得τ(A*B)≥2.8720，事實上τ(A*B)=3.2296。

參考文獻:

[1]Horn R A,Johnson C R.Topics in matrix analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press, 1991.

[2]杜琨.矩陣Hadamard積和Fan積特征值的界[J].華東師范大學學報(自然科學版), 2008(5):45-50.

[3]Fang M Z. Bounds on eigenvalue of the Hadamard product and the Fan product of matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2007(425):7-15.

[4]李艷艷,李耀堂.矩陣Hadamard 積和Fan 積的特征值界的估計[J]. 云南大學學報(自然科學版),2010,32(2):125-129.

[5]李艷艷.非奇異M矩陣的Hadamard積的特征值界的進一步研究[J]. 云南民族大學學報(自然科學版), 2012,22(3):186-189.

[6]高美平.M-矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值下界新的估計式[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2014,(01):90-97.

[7]楊曉英,劉新.M-矩陣及其逆矩陣的Hadamard積的最小特征值下界的估計式[J]. 山東大學學報(理學版),2012,47(8):64-67.

[8]盧飛龍,何希勤.M-矩陣與其逆的Hadamard積的特征值下界[J]. 遼寧科技大學學報,2010,33(5):555-560.

責任編輯：程艷艷

New Bounds of Eigenvalues of Hadamard Product and Fan Product of Matrices

LI Yanyan， JIANG Jianxin

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract：The paper gives the definitions of k Hadamard power for nonnegative matrix and r Fan power for M matrix., it uses Cauchy-schwitz inequality (ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)to obtain the spectral radius ρ(A°B)of Hadamard product for nonnegative matrices A and B, as well as some new bounds of minimum eigenvalue τ(A*B)of Fan product for M matrices A and B. These results contain the corresponding conclusions that Fang Mao-zhong gives for this kind of problems.

Keywords：nonnegative matrix; M matrix; Hadamard product; Fan product; eigenvalue