基于GERT 模型的新產品試制項目概率優化分析

唐超 龍子泉

(武漢大學經濟與管理學院，湖北 武漢 430027)

0 引言

新產品試制是企業面向市場需求進行研究與開發的重點內容，也是企業生存和發展的戰略核心之一。它既有創新成功的潛在收益，也有創新失敗的潛在損失。新產品試制活動可以視為一項風險投資行為，是指新產品在完成設計與工藝準備之后、正式投產之前進行的試制生產。

目前國內外對于圖形評審技術 (Graphical Evaluation and Review Technique，GERT)運用于工程項目風險管理方面的研究比較多，然而將其運用于新產品試制項目的研究則比較少。其中吳艷霞(2007)等從企業技術創新項目群風險的角度提出了其串聯、并聯和混聯三種不同的組合模式，為企業如何正確客觀地把握企業技術創新狀態提供了理論依據和算法依據［1］。何正文(2003)等以新產品研發項目的研發過程為背景，利用隨機網絡技術建立了該項目的GERT 模型，并運用簡化遞推算法對項目完成時間的各種統計特征值和概率分布進行了模擬計算［2］。李社會(1998)運用均值網絡將隨機網絡看成肯定型網絡來對GERT 模型中的時間費用問題進行優化［3］。這些研究有的只給出了項目耗費的期望時間的一個具體算法，有些在處理時間費用優化問題時沒有考慮到活動實現成功概率的變化。而本文在考慮增加項目費用導致項目成功的概率變化的情況下，以新產品試制項目為背景從概率優化的角度進行分析，做出更進一步的研究，對于企業做出更好的決策具有重大意義。

1 新產品試制項目的GERT 時間費用優化問題

1.1 圖形評審技術簡介

GERT 是1966 年在執行阿波羅登月計劃時開發的一種新技術。它是一種能反映多種隨機因素及隨機變量之間相互關系的網絡技術。在GERT模型中，可以包含多種隨機成分如時間、費用、質量、效益等，并可以處理系統中各種活動及其相互影響的隨機性問題，從而為許多復雜的、包含多種隨機因素問題的研究提供了有效的途徑。

在GERT 中，其傳輸矢線如同一般網絡的箭線，但其包含的參數意義卻不同，本文引入以下四個方面的參數:①緊前節點i 實現的情況下該箭線 (i，j) 發生概率pij;②該箭線完成其所表示的工序所需作業時間tij;③作業時間的概率分布形式fij;④該箭線完成其所表示的工序所需作業費用cij。工序網絡仿真圖如圖1 所示。

圖1 工序網絡仿真圖

1.2 新產品試制項目的GERT 屬性

科學技術的發展加劇了產品的升級換代，新產品試制的周期越來越短。同時為了盡可能滿足現實和潛在需求，新產品試制的目標也越來越高，對于新產品試制項目的投入也不斷增大。GERT 模型是包含時間、費用、效益、成功概率等多種隨機成分并可以處理系統中各種活動及其相互影響的隨機性問題的模型，因此，本文結合新產品試制項目的特點與GERT 的基本網絡知識做出新產品試制的GERT 模型圖(圖2)，并從時間、費用及概率的角度對新產品試制項目進行優化分析。

一個新產品由幾個部分或者零件組成，每個零件由不同的小組進行試制，將整個產品的生產看作一個總系統，將每個零件的生產看作各個子系統。如圖2 所示，產品由粗坯開始進入試制過程，用節點0 表示。以零件a 為例，零件a 經試制1 完成后再進行檢測1;檢測1 持續的時間擬服從概率分布，其持續時間的概率密度函數為f1(t)，其中t 表示持續時間;經檢測1 后的產品有一部分需要送到加工2 進行再加工，其余的送加工3 進行最后加工。經加工2 進行再加工的零件還要經過檢測2，檢測2 持續的時間也服從一定的概率分布，其概率密度函數可表示為f2(t)。此時也有一部分的產品不成功，因而造成試制失敗，其余的加工成功(即通過了檢測)，也送到加工3 進行最后加工，經過檢測3 仍有一部分產品成為廢品，而剩下的則為成功的產品。

其他子系統的零件試制過程也類似于零件a，可以有更多或者更少的試制或者加工過程，最終有一部分產品會試制失敗，即不管經過幾條路徑到達最后的成功產品是有一定的概率的。

圖2 新產品試制的GERT 模型圖

在所有的子系統的各零件試制成功后進行組裝成為最終的產品，到達節點1。

新產品試制項目(總系統)只有在各個子系統全部試制成功的情況下才能夠完成，各子系統的試制成功建立在每一個試制活動全部通過檢測的基礎上。各個活動的完成時間是隨機的，通過測試的概率也受到投入其試制過程的費用決定。因此，如何合理分配追加的費用到各個子系統及各子系統的各個活動中，使得新產品試制項目在規定的時間完成的概率最大是本文所要解決的問題。

2 新產品試制項目的概率優化分析

2.1 優化問題的提出

新產品試制項目主要由各個子系統組成，各個子系統的實現又以子系統內部各階段活動通過測試為基礎。實際生產中，由于行業間的競爭，企業會通過追加一定的費用來提前完成新產品試制項目，追加費用同時又會使得項目完成的概率增大。因此，本文主要研究如何在各子系統之間及子系統內部的各活動中合理分配一定的追加費用，使得項目總體在規定的時間完成的概率最大。

通過對測試活動的緊前活動分配追加費用使得活動通過檢測的概率得到提高。項目活動概率變化機理如圖3 所示(p0為通過檢測的概率)，通過將費用分配至各個加工活動使得總項目完成的概率最大是本文研究的目標。

圖3 活動概率變化機理

在GERT 網絡中，活動的作業時間是隨機變量。因此假設在GERT 網絡中活動 (i，j) 的正常期望作業時間為Tij，如果增加追加費用，那么活動(i，j)期望作業時間可能最大限度地縮短到T′ij，同時此階段的產品通過檢測的概率pij也會隨之發生變化。

2.2 優化模型

2.2.1 優化模型的大系統結構

本文采用大系統協調技術，建立新產品試制項目的二級遞階單目標優化模型，建立新產品試制項目的大系統結構。由圖2 可知，將費用在總項目各子系統間的分配看作是對上層總系統追加費用，而將費用在各子系統的各個活動間的分配看作是對下層子系統追加費用。本文分別建立上級協調器的動態規劃模型和下級子系統的非線性規劃模型對目標進行求解。

2.2.2 上層總系統追加費用優化的動態規劃模型

設新產品試制項目提前至T0時間完成，上層總系統的優化目標是合理分配追加費用到各個子系統使得總系統完成的概率最大，即

式中，p(m)為第m 個子系統完成的概率。

當已知分配給各子系統不同費用所對應子系統的實現概率的情況下，用動態規劃模型可實現總系統的追加費用優化分配，具體如下。

模型假定:

(1)若追加的費用不足以使得項目完成的時間縮短至規定時間，不用討論，即項目失敗。

狀態轉移方程用下式表示，代表分配給第m +1 個子系統至第n 個子系統的費用。

式中，sm是狀態變量，為分配給第m 個子系統的第n 個子系統的費用，且s1= c;cm是決策變量，為分配給第m 個子系統的費用。

由優化目標可知，指標函數為階段指標積的形式，即

式中，pm(cm)是cm分配給第m 個子系統后其完成的概率，將cm分配至第m 個子系統各試制加工活動可以得到不同的完成概率，取其中的最大值作為pm的值。

動態規劃方程用以下遞推關系表示

式中，φm(sm)是sm分配給第m 個子系統至第n個子系統后其完成的最大概率。

2.2.3 子系統優化的非線性規劃模型

因此，子系統的優化模型為

顯然，該模型為非線性規劃模型。

3 案例分析

3.1 案例

假設一個新產品試制項目由三個子系統組成，子系統編號為a、b、c，其GERT 模型如圖4所示。在不追加費用的情況下，各活動完成時間的概率分布、實現概率假設如表1 所示;各活動在有追加費用的情況下，時間與費用的關系及活動實現概率與費用的關系假設如表2 所示?，F假設對總系統追加費用為100 萬元，要求項目必須在60d 內完成，根據上述模型求解步驟求出該項目的追加費用最優分配方案。

圖4 某新產品試制的GERT 模型圖

表1 新產品開發項目的網絡參數說明

(續)

表2 時間費用關系與概率費用關系

用GERT 技術的基本解法可知，在不追加費用時，此新產品試制項目完成概率為65.3%，完成時間為79d。

3.2 模型求解

(1)對于子系統a，將總追加費用離散化，以不同的追加費用c(m)為約束，求解子系統a 的非線性規劃模型，可得到相應的子系統a 最大可能實現概率p(a)。對子系統b 和子系統c 做同樣的操作，可得到如表3 所示的各子系統最大可能實現概率、完成時間與追加費用的關系。

表3 子系統最大可能實現概率、完成時間與追加費用關系表

(續)

(2)由表3 中給出的數據，在規定完成時間為60d 的情況下，利用大系統動態規劃模型求出使總系統實現概率最大的追加費用分配方案。求解結果為:最優追加費用分配方案為子系統a、子系統b 和子系統c 分別分配30 萬元、40 萬元和30 萬元，系統實現概率為0.808 3。

(3)將30 萬元分配到子系統a 的非線性規劃模型中，利用lingo 軟件可得到活動1、活動2和活動3 的最優追加費用分配方案分別為11 萬元、7 萬元和12 萬元，實現概率為0.929。類似的利用子系統b 和子系統c 的非線性規劃模型可得到相應的最優分配方案，具體結果見表4。

表4 費用概率優化分配表

由上述模型可求得最佳方案如下:將100 萬元費用分給a 系統30 萬元(其中試制1 活動11 萬元，加工1 活動7 萬元，加工2 活動12 萬元)，b系統40 萬元(其中試制2 活動17 萬元，加工3 活動2 萬元，加工4 活動21 萬元)，c 系統30 萬元(其中試制3 活動13 萬元，加工5 活動1 萬元，加工6 活動16 萬元)，使得總系統完成的概率最大為80.8%，完成時間為59d。當項目規定的完成時間不同，追加費用的分配方案也不同。

4 結語

本文結合GERT 屬性和新產品試制項目的特點建立了新產品試制項目的GERT 模型，主要分析了追加費用對活動概率的影響，同時建立了新產品試制項目概率優化分析的大系統結構模型，對大系統中不同的層次采用不同的方法進行費用的合理分配，最終使得項目能在規定的時間內完成的概率最大。然而對于增加費用使得活動通過測試的概率發生變化這一函數關系在不同的產品試制項目中是不同的，這種函數關系還有待進一步的研究和確定。

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