Holder不等式再推廣的幾種形式

孫鳳慶

山東德州職業技術學院計算機系

Holder不等式再推廣的幾種形式

孫鳳慶

山東德州職業技術學院計算機系

本文主要對原Holder不等式進行了進一步的推廣，將原Holder不等式由2個實數列推廣到m(m＞=2)個實數列，同時給出推廣后的Holder不等式的幾種不同形式并對其加以數學證明.

Holder不等式；推廣的Holder不等式；引理(Young不等式的推廣)；琴生不等式；級數；Riemann積分

1.Holder不等式

設a=(a1,a2,........,an)與b=(b1,b2,..........,bn)是兩個非負實數列；?與β為兩個正數,且?+β=1

且只有當ai=0或bi=0或者存在正數k使得ai=kbi時（i=1,2,......n）等號才成立．

2.推廣的Holder不等式

且只有當a1i=0或a2i=0……或ami=0或者存在m個正數k1,k2,......km使得k1a1i=k2a2i=......=kmami時（i=1,2,......n）等號才成立．

證明：

1）引理(Young不等式的推廣)：設aj≥0(j=1,2,......m)；?1,?2,......?m為m個正數，

且只有當a1=a2=......=am時，等號才成立．

證明：

①當a1,a2......am中有一個為0時，不等式顯然成立

因此由琴生不等式可得：

且只有當a1=a2=......=am時，等號才成立

2）再證明推廣的Holder不等式(即（1）式)

①當a1i=0或a2i=0......或ami=0時（i=1,2,......n），（1）式顯然成立，且等號成立

則（1）式變為：

只需證明此不等式即可。

3.推廣的Holder不等式的級數形式

4.推廣的Holder不等式的Riemann積分形式

由（1）式可得:

再由極限保號性質可得（3）式成立.

注：對x∈[a,b]，只有當f1(x)≡0或f2(x)≡0...........或fm(x)≡0或者存在m個常數k1,k2,......km使得k1f1(x)≡k2f2(x)≡............≡kmfm(x)時，（3）式中等號才成立．

[1]李心燦的《Holder不等式的一種推廣》一書，北京航空學院出版/1957

[2]歷倩的Holder不等式的再推廣及應用，《數學通迅》，2006—05

[3]熊斌的Schur不等式和Holder不等式及其應用，《數學通訊》，2005—15

[4]陶雙平馬國順的一個廣義Holder不等式，《安康師專學報》，1992—02

[5]胡克的論Holder不等式，《江西師范大學學報.自然科學版》，1994—03

[6]文開庭的Holder不等式的新推廣，《畢節師范高等專科學校學報》，2002—01

[7]張天德韓振來的數學分析同步輔導及習題精解，天津科學技術出版社，2009，7

孫鳳慶（1963-），男，副教授，大學本科（工學學士）