一種改進(jìn)的Bursa模型在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

陳博，黃翔，李瀧杲，邢宏文

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016；2. 上海飛機(jī)制造有限公司航空制造技術(shù)研究所，上海 200000)

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一種改進(jìn)的Bursa模型在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

陳博1，黃翔1，李瀧杲1，邢宏文2

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016；2. 上海飛機(jī)制造有限公司航空制造技術(shù)研究所，上海 200000)

摘要：在數(shù)字化測(cè)量中經(jīng)常面臨坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題，轉(zhuǎn)換參數(shù)在很大程度上影響著最終測(cè)量精度。在采用bursa模型求取轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)一般是通過3個(gè)以上公共點(diǎn)利用最小二乘法求取，但其中的系數(shù)矩陣往往是病態(tài)的，使轉(zhuǎn)換參數(shù)并不可靠。現(xiàn)采用7參數(shù)法，對(duì)布爾沙模型進(jìn)行泰勒展開，建立了適用于大旋轉(zhuǎn)角的線性化坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；最小二乘；bursa模型；轉(zhuǎn)換參數(shù)

目前數(shù)字化測(cè)量在我國飛機(jī)外形及零部件檢測(cè)中應(yīng)用越來越廣，正逐步取代舊式的、利用模線樣板等工藝裝備檢測(cè)方式。在獲取零部件外形高精度數(shù)據(jù)后與設(shè)計(jì)數(shù)模進(jìn)行分析對(duì)比，一方面為現(xiàn)有工藝下的外形品質(zhì)提供可靠的數(shù)字化評(píng)價(jià)，另一方面通過大量檢測(cè)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，可以找出影響飛機(jī)零部件品質(zhì)的關(guān)鍵因素，進(jìn)而建立檢測(cè)結(jié)果和誤差影響因素的統(tǒng)計(jì)圖表，為工藝的設(shè)計(jì)與改進(jìn)提供理論和實(shí)踐參考，從而實(shí)現(xiàn)飛機(jī)零部件的制造品質(zhì)持續(xù)提升[1]。

使用激光跟蹤儀、激光雷達(dá)等數(shù)字化測(cè)量手段可以獲取高精度的測(cè)量數(shù)據(jù)，但是當(dāng)被測(cè)工件超出其測(cè)量范圍時(shí)，測(cè)量?jī)x器不確定度也隨著測(cè)量距離的增加而增加，從而導(dǎo)致測(cè)量精度的下降。如Leica AT901 B激光跟蹤儀的測(cè)量不確定度為±15 μm+6 μm/m，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用情況，測(cè)量長(zhǎng)度一般應(yīng)<10 m。為解決這一問題常采用的方法是使用多臺(tái)測(cè)量設(shè)備建立統(tǒng)一空間計(jì)量網(wǎng)絡(luò)USMN(unified spatial metrology network)。這樣就會(huì)涉及2個(gè)空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換問題，目前最常用的空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換通常用含有7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)的布爾沙模型，這樣在轉(zhuǎn)換計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)的過程中，需要至少3個(gè)公共基準(zhǔn)點(diǎn)。但是這一模型一般是只適用于2個(gè)坐標(biāo)系小角度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。但在實(shí)際使用中公共點(diǎn)位情況比較復(fù)雜，測(cè)量設(shè)備可能會(huì)以任意的姿態(tài)放置在地面上或工件上進(jìn)行測(cè)量，所以2個(gè)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)軸之間的夾角一般不是微小角度。陳宇[2]等研究了基于7參數(shù)的非線性最小二乘法的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換算法，劉東明[3]等研究了13參數(shù)的大角度三維坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法。現(xiàn)針對(duì)傳統(tǒng)的統(tǒng)一空間計(jì)量網(wǎng)絡(luò)有檢測(cè)效率低、精度差的問題，采用激光雷達(dá)、激光跟蹤儀等測(cè)量設(shè)備建立統(tǒng)一空間計(jì)量網(wǎng)絡(luò)，利用泰勒展開將布爾沙模型線性化，建立了適用于大旋轉(zhuǎn)角的線性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型，較好地平衡了測(cè)量效率與精度問題。

1激光雷達(dá)工作原理

激光雷達(dá)是一種大尺寸、非接觸、高精度、自動(dòng)化、便攜式數(shù)字化測(cè)量設(shè)備。激光雷達(dá)擁有球形測(cè)量系統(tǒng)如圖1所示，通過運(yùn)用調(diào)頻相干激光雷達(dá)測(cè)距技術(shù)和高精度反射鏡利用紅外激光光束測(cè)得被測(cè)點(diǎn)的距離d、俯仰角α、和方位角β從而轉(zhuǎn)換得出被測(cè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)信息。被測(cè)點(diǎn)空間坐標(biāo)計(jì)算公式為：

(1)

圖1　極坐標(biāo)測(cè)量

激光雷達(dá)測(cè)距原理： 激光器在發(fā)射一束經(jīng)空氣傳播到測(cè)量點(diǎn)并且返回的外測(cè)信號(hào)的同時(shí), 又發(fā)射一束在定長(zhǎng)光纖中傳播的內(nèi)置信號(hào)如圖2所示 。光纖的長(zhǎng)度與固定測(cè)量距離S相對(duì)應(yīng), 即對(duì)應(yīng)于激光在空氣中傳播2S的距離。假設(shè)測(cè)量點(diǎn)的距離為L(zhǎng), 那么激光在空氣中傳播的距離為2L, 返回的激光信號(hào)較在定長(zhǎng)光纖中傳播的激光信號(hào)有Δt的時(shí)間延遲,Δt的時(shí)間延遲產(chǎn)生了Δf的頻率變化, 并且Δt與Δf成正比。在激光雷達(dá)中, 可以準(zhǔn)確地測(cè)出頻率變化Δf, 通過測(cè)量頻率變化計(jì)算出時(shí)間延遲, 最終得出被測(cè)點(diǎn)與激光雷達(dá)的距離d。

圖2　激光雷達(dá)測(cè)距原理

2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算方法

圖3　測(cè)量坐標(biāo)系與全局設(shè)計(jì)坐標(biāo)系關(guān)系模型

為方便描述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為微小量時(shí)有：

?“Amaritudine”（苦澀），見 Cesare Ripa,Iconologia,Roma，1603，p12.

這種布爾沙模型對(duì)旋轉(zhuǎn)參數(shù)的三角函數(shù)做了近似處理，忽略了其中互乘項(xiàng)并記sinε=ε,cosε=1，用這種近似模型得出的旋轉(zhuǎn)參數(shù)只適用于旋轉(zhuǎn)角是微小角度的情況。如果旋轉(zhuǎn)角度不是微小角度時(shí)，使用這一模型將不能得出正確結(jié)果。而根據(jù)實(shí)際應(yīng)用，測(cè)量?jī)x器可能會(huì)以任意的姿態(tài)放置在地面或者安裝在飛機(jī)零部件上進(jìn)行測(cè)量，這就意味著測(cè)量坐標(biāo)系與全局設(shè)計(jì)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角可能是任意角度。現(xiàn)將布爾沙模型進(jìn)行展開，并忽略二階及二階以上無窮小項(xiàng)，得：

其中，上標(biāo)為0的表示取近似值，d(Δx)、d(Δy)、d(Δz)、dk、dεx、dεy、dεz為參數(shù)的改正數(shù)。

上式可簡(jiǎn)化為：

Li=BiΔC

式中，ΔC為兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的改正數(shù)，Li表示公共基準(zhǔn)點(diǎn)Pi的擬合誤差，設(shè)Bi為公共基準(zhǔn)點(diǎn)Pi的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換系數(shù)矩陣。將式寫成誤差方程的形式：

Vi=BiΔC-Li

擴(kuò)展至n維形式得：

V=BΔC-L

BTWV=0

聯(lián)立式和式，解算得到坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的改正數(shù)：

ΔC=(BTWB)-1(BTWL)

由于各基準(zhǔn)點(diǎn)可視為相同精度獨(dú)立觀測(cè)值，一般取觀測(cè)權(quán)重矩陣為單位矩陣，即W=I。轉(zhuǎn)換參數(shù)改正數(shù)的協(xié)因數(shù)矩陣Qxx和單位權(quán)中誤差估值為

QΔCΔC=(BTWB)-1

利用此方法，只要已知3個(gè)或3個(gè)以上的公共基準(zhǔn)點(diǎn)的測(cè)量坐標(biāo)和全局設(shè)計(jì)坐標(biāo)，再為轉(zhuǎn)換參數(shù)選取合適的初值，加上每次求出的改正數(shù)，如此循環(huán)迭代，當(dāng)改正數(shù)滿足一定精度時(shí)，停止迭代，便可求解出坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3實(shí)例分析

為了驗(yàn)證坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換精度，現(xiàn)對(duì)若干個(gè)測(cè)量點(diǎn)，進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換算法驗(yàn)證試驗(yàn)。選擇6個(gè)不共線的公共基準(zhǔn)點(diǎn)，公共基準(zhǔn)點(diǎn)的全局理論坐標(biāo)和測(cè)量坐標(biāo)如表1，表2所示。

表1　理論坐標(biāo)和測(cè)量坐標(biāo)　單位：mm

表2　利用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法，求解出轉(zhuǎn)換參數(shù)

可計(jì)算得到公共基準(zhǔn)點(diǎn)在全局設(shè)計(jì)坐標(biāo)系中的計(jì)算坐標(biāo)，比較測(cè)量點(diǎn)全局計(jì)算坐標(biāo)與理論坐標(biāo)的差，最終考察坐標(biāo)系統(tǒng)一的計(jì)算精度如表3所示。

表3　計(jì)算精度表　單位：mm

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法相對(duì)于原有算法能在較少的迭代次數(shù)內(nèi)快速收斂，并精確的求解出坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)。該算法能行之有效的完成坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，并具有較高的轉(zhuǎn)換精度，滿足工程應(yīng)用需求。

4結(jié)語

針對(duì)傳統(tǒng)的bursa模型通過3個(gè)以上公共點(diǎn)利用最小二乘法求取轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)系數(shù)矩陣往往嚴(yán)重病態(tài)，一般只適用于小角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，當(dāng)坐標(biāo)系夾角不是微小角度時(shí)求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)并不可靠的問題，采用7參數(shù)法，對(duì)布爾沙模型進(jìn)行泰勒展開，將布爾沙模型線性化，建立了適用于大旋轉(zhuǎn)角的線性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型，較好地解決了平衡測(cè)量效率與精度問題。該方法具有數(shù)值計(jì)算精度高、計(jì)算穩(wěn)定性好、收斂速度快等特點(diǎn)，適用于任意旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，能夠?qū)崿F(xiàn)測(cè)量過程中的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。

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Application of Improved Bursa Model in Coordinate Transformation

CHEN Bo1,HUANG Xiang1, LI Shuang-gao1,XING Hong-wen2

(1. Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China; 2. Shanghai

Aircraft Manufacturing Co.,Ltd., Aeronautical Manufacturing Technology Research Institute, Shanghai 200000,China)

Abstract:In the digital measurement, the problem of coordinate transformation is often faced with. The transformated parameters may have direct influence on the measurement accuracy. These parameters can be obtained with least square at least three common points on Bursa model. Because of the ill-posed coefficient matrix, the obtained parameters are unreliable. By linearizing the model of Bursa-Wolf, Taylor is expanded and the linearized model of coordinate transformation is built, in order to be suitable for large rotation angle.

Keywords:coordinate transformation, least square, bursa model, transformation parameters

收稿日期：2014-11-27

中圖分類號(hào)：V556.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-5276(2015)03-0087-03

作者簡(jiǎn)介：陳博(1989-)，男，山東菏澤人，碩士，研究方向：數(shù)字化測(cè)量。