飛機中性速度穩定性PIλDμ控制律設計

王海濤，董新民，周倩，程建鋒，王哲

(1.空軍工程大學 航空航天工程學院，陜西 西安710038;2.中航工業南京機電液壓工程研究中心，江蘇 南京211100;3.空軍西安飛行學院 理論訓練系，陜西 西安710300)

0 引言

現代高性能戰斗機電傳控制系統的控制律設計中，中性速度穩定性控制律［1］已成為標準化配置。采用中性速度穩定性控制律的主要目的是為了解決用桿力作為輸入信號時，輸入到比例式控制增穩操縱系統中對駕駛員造成的配平困難。其核心優點是可實現飛機自動配平，從而大大簡化飛行員操縱程序、降低勞動強度，如單獨推油門實現平飛加速和松桿穩定飛行等。最常見的實現形式是在桿力指令與過載反饋信號綜合處的下游插入“比例+積分”環節［1］，即整數階PI控制器。然而，傳統PID控制器存在控制效果差、對飛行狀態過于敏感、參數整定工作繁重等缺陷，限制了控制性能的提高;另外中性速度穩定性沒有明確的標準要求，PI控制器通常只作為控制增穩控制律的一個動態環節，其參數根據控制增穩性能準則確定后僅針對外部擾動和自動配平性能進行有限的驗證與改進。這些都大大限制了中性速度穩定性的性能。

分數階微積分與整數階微積分幾乎同時起源，它將微積分階次推廣到任意實數甚至復數，因其計算復雜且無明確物理意義，長期局限于數學理論研究，而未得到廣泛應用［2］。數學基礎理論和計算機技術的發展，為分數階控制器的設計應用提供了可能，其中 Podlubny［3］提出的 PIλDμ控制器是分數階控制應用的一個里程碑?？紤]到大氣粘性、壓縮性等也具有分數階微積分性質，因而文獻［4-6］已將分數階控制理論引入飛行控制，并已取得一定成效。

考慮到分數階PIλDμ控制器更多的控制自由度和更精確的頻域調整能力，本文將設計PIλ控制器，對傳統PI控制器實現中性速度穩定性的不足加以改進。

1 分數階微積分定義

分數階微積分的定義方法很多，本文介紹兩種適用于控制應用的定義方法［7］。

(1)Caputo定義為:

式中:α =m+r，m 為整數，0 ＜ r≤1;Γ(z)為伽馬函數，是階乘n!的推廣。對式(1)進行拉氏變換得:

若f(k)(0)=0，則式(2)中的和式部分可以忽略。Caputo定義使Laplace變換更為簡潔，便于分數階微分方程的求解。

由定義(1)可知，連續函數在某點上的分數階微分不是求該點處的極限，而是與從初始時刻到該點的所有時刻的函數值有關，因此分數階微積分具有較強的記憶性，這是分數階微積分異于整數階微積分的最大優點。

(2)Grunwald-Letnikov(G-L)定義為:

依此定義可推導出分數階微分近似計算公式:

當步長h足夠小時，式(5)即可較為準確地近似函數的分數階微積分。G-L定義可直接用于分數階微積分的離散化和數值計算。

2 分數階PIλDμ控制器原理與實現

2.1 分數階PIλDμ與整數階PID的關系

由Caputo定義可知，零初始條件下的分數階PIλDμ控制器［2］傳遞函數可表示為:

式中:λ，μ＞0為任意實數。與整數階PID控制器相比，分數階PIλDμ控制器的積分與微分項階次可變，即將整數階PID控制器推廣為無限維“空間”，二者之間的關系如圖1［7］所示。

圖1 PIλDμ階次取值平面Fig.1 Plane of the order value of PIλDμ

由圖可知，分數階PIλDμ取值空間為整個平面，而整數階PID只是其特例。由于取值空間的大大擴展，使分數階PIλDμ調節自由度更多，為獲得更佳的控制效能帶來了可能性［2］。

從頻域特性來看，整數階PID只能使系統的幅頻曲線斜率以20 dB/dec(分貝/十倍頻程)的整數倍變化，而分數階Laplace算子sr的幅頻曲線斜率為20r dB/dec(r為任意實數)，因此分數階PIλDμ對系統幅相特性的調整更加靈活精細。

2.2 分數階微積分算子sr的頻域近似擬合

目前現有計算工具無法直接進行分數階運算，因此用整數階系統近似擬合分數階系統成為折中的研究思路。方法之一是利用G-L定義，直接進行離散化，該方法適用于數值仿真，但迭代計算量與擬合精度的矛盾往往難以調和。因此本文以Caputo定義為出發點，對Oustaloup頻域擬合算法［7］進行研究與改進。

Oustaloup算法［8］的實質是用一組串聯的整數階濾波器在選定的頻段內對分數階Laplace算子sr進行近似擬合，其對任意時間函數f(t)的分數階微積分相當于f(t)經該組濾波器后的輸出0Dαtf(t)，算法原理如圖2所示。

圖2 Oustaloup算法功能示意圖Fig.2 Function of the Oustaloup algorithm

Oustaloup算法對分數階Laplace算子sr的頻域近似擬合原理如圖3［8］所示。

圖3 Oustaloup算法的近似擬合原理Fig.3 Principle of the approximate fitting function of the Oustaloup algorithm

由圖3可知，Oustaloup算法的基本思路是合理選取各級濾波器的交接頻率ω'i和ωi，以使整體濾波器的頻域特性近似擬合理想分數階Laplace算子sr。因而假定選定的擬合頻率段為(ωb，ωh)，則Oustaloup算法的整數階多級濾波器傳遞函數模型可表示為:

其中ωbωh=1，經推導得各級濾波器交接頻率和增益值為:

式中:r為擬合分數階Laplace算子sr的階次;N為濾波器級數。這種多級濾波器串聯結構，對擾動具有很強的抑制作用。通常，N≥5時即可保證較好的擬合效果，綜合復雜度考慮，本文選取N=5。

2.3 分數階微分算子sr的仿真實現

本文在Simulink環境下，對上述算法進行仿真，實現了任意頻段的精確擬合，并從時域輸出響應和頻域特性兩個方面，將所設計的分數階Laplace算子sr模塊與Simulink的積分模塊進行了仿真對比分析，其結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 Oustaloup微積分模塊的時域輸出特性Fig.4 Time field output characteristics of the Oustaloup calculus module

圖5 Oustaloup微積分模塊的頻域輸出特性Fig.5 Frequency field output characteristics of the Oustaloup calculus module

圖4 與圖5中，擬合頻率段均為(ωb=10－5Hz，ωh=105Hz)。由此可知，本文設計的分數階sr模塊，當r=－1時積分效果與Simulink積分模塊近乎完全相同;在選定的頻域段內，頻域特性與理想分數階Laplace算子sr基本一致。即具有較好的時域和頻域特性，進而可方便地實現PIλDμ控制器。

3 飛機中性速度穩定性PIλ控制器設計

本文將分數階PIλ控制器替換傳統PI控制器應用于飛機中性速度穩定性控制律的設計。為便于對比分析，本文采用文獻［9］所述的F-16飛機及其電傳控制律仿真模型為控制對象。假定初始狀態為巡航，高度為3 000 m，空速為260 m/s。針對縱向小擾動飛機模型，引入分數階PIλ控制器后，升降舵偏角δe的控制律為:

為對比分析PIλ控制器與PI控制器的優劣，使kq=0.334，kα=0.5，二者完全相同，僅根據控制增穩性能的要求對分數階PIλ控制器進行調參，其結果為:

3.1 PIλ控制器的控制增穩性能

中性速度穩定性實現的前提是滿足控制增穩性能要求。對于Δnz，c=1的法向過載指令，兩種控制器下的飛機法向過載短周期響應過程如圖6所示。

圖6 飛機法向過載響應過程Fig.6 Response of aircraft normal load

由圖6可知，分數階PIλ控制器的控制增穩效果與原整數階PI控制器幾乎相同，完全滿足控制增穩性能標準要求。

3.2 PIλ控制器的自動配平性能

為驗證分數階PIλ控制器的自動配平性能，采用作用時間為1～2 s，幅值為1°的方波信號模擬陣風造成的迎角擾動，擾動前后的法向過載和迎角的動態響應如圖7所示。

圖7 PIλ控制器的自動配平性能Fig.7 Automatic trimming performance of the PIλ controller

由圖7可知，兩種控制器對于陣風造成的迎角擾動均可實現自動配平，但分數階PIλ控制器的自動配平性能較整數階PI控制器有較大提高，其法向過載擾動峰值下降了25%。因此，當飛機受誤操縱或氣流擾動擾動后，分數階PIλ控制器可使飛機迅速自動配平，大大降低飛行員的勞動強度。

3.3 PIλ控制器的平飛加速性能

為驗證單獨操縱油門時的平飛加速性能，始終保持法向過載指令為0，油門推力指令增大13%時，兩種控制器下的飛機速度、高度和法向過載的動態響應如圖8所示。

圖8 飛機平飛加速性能Fig.8 Level flight acceleration performance of the aircraft

由此可知，單獨增大油門推力指令而不進行推桿操縱時，兩種控制器均可實現平飛加速，但相比PI控制器，PIλ控制器使飛機高度降低更少，法向過載振蕩更小，即具有更優的平飛加速性能。因此，PIλ控制器可大大簡化飛機平飛加減速時的操縱程序，減輕飛行員的操縱負擔。

4 結束語

本文研究了分數階PIλDμ控制器的理論基礎、近似擬合方法，并進行了仿真實現，進而用于改進飛機中性速度穩定性控制律的設計，取得了較好的效果。分數階微積分在控制領域的研究與應用還處于剛剛起步階段，基于分數階微積分理論的PIλDμ控制器就已經顯示了良好的應用前景，并取得了較大進展。但由于起步較晚，分數階控制的數學理論基礎、分數階控制系統建模以及分數階控制方法等領域還有諸多空白，需要今后開展大量的研究與應用探索。

［1］ 徐鑫福.飛機飛行操縱系統［M］.北京:北京航空航天大學出版社，1989:424.

［2］ 朱呈祥，鄒云.分數階控制研究綜述［J］.控制與決策，2009，24(2):161-169.

［3］ Podlubny I.Fractional-order systems and PIλDμcontrollers［J］.IEEE Transaction on Automatic Control，1999，44(1):208-214.

［4］ 王飛，雷虎民.基于分數階微積分PDμ比例導引制導規律［J］.控制理論與應用，2010，27(1):126-129.

［5］ 張邦楚，王少鋒，韓子鵬，等.飛航導彈分數階PID控制及其數字實現［J］.宇航學報，2005，26(5):653-656.

［6］ 王海濤，董新民，王建剛.分數階控制理論及其在飛機俯仰控制中的應用［J］.飛行力學，2011，29(5):44-48.

［7］ 薛定宇.控制系統計算機輔助設計［M］.第二版.北京:清華大學出版社，2006.

［8］ Oustaloup A，Levron F，Mathieu B，et al.Frequency-band complex noninteger differentiator:characterization and synthesis［J］.IEEE Transaction on Circuit and Systems-I:Fundamental Theory and Applications，2000，47(1):25-39.

［9］ Nguyen L T，Ogburn M E，Gilbert W P，et al.Simulator study of stall/post-stall characteristics of a fighter airplane with relaxed longitudinal static stability［R］.NASA Technical Paper 1538，Washington D C:NASA，1979.