GHQF精度分析及其在組合導(dǎo)航中的應(yīng)用

穆榮軍，梁浩，龐寶君，崔乃剛

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

星光導(dǎo)航(CNS)、合成孔徑雷達(dá)(SAR)和捷聯(lián)慣導(dǎo)(SINS)組成的CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)是一種有發(fā)展前途的自主導(dǎo)航方式［1-2］。在組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，當(dāng)姿態(tài)失準(zhǔn)角為大角度時，系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程呈現(xiàn)非線性。遞推貝葉斯估計為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計提供了最優(yōu)解決方案，然而貝葉斯估計需要傳播整個概率密度，很難獲得解析解。高斯系統(tǒng)是一種最為常見的系統(tǒng)，人們基于貝葉斯估計和最小方差準(zhǔn)則，推導(dǎo)了非線性高斯濾波公式，并利用相應(yīng)的近似策略對非線性高斯系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)均值、方差等進(jìn)行近似，提出了許多近似非線性濾波方法，如 UKF，KF 和 GHQF 等［3-5］。

UKF作為一種常用的非線性濾波被廣泛研究并應(yīng)用于飛行器組合導(dǎo)航系統(tǒng)，理論上UT變換能夠以至少二階Taylor精度逼近非線性系統(tǒng)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差。與 UKF濾波過程類似，CKF根據(jù)spherical-radial cubature準(zhǔn)則，利用具有相同權(quán)重的采樣點(diǎn)并通過非線性方程的傳播來進(jìn)行狀態(tài)估計。

本文利用泰勒級數(shù)對GHQF，KF和CKF的性能進(jìn)行了對比分析，并以CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)為應(yīng)用背景對三種非線性濾波算法進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證。

1 高斯厄米特積分濾波算法

非線性系統(tǒng)方程和量測方程具有離散形式:

式中:f和h為非線性向量函數(shù)，可由慣導(dǎo)誤差傳播模型和觀測方程求得;wk－1和vk為不相關(guān)的零均值高斯白噪聲序列。

高斯濾波需要進(jìn)行積分運(yùn)算，單維高斯積分規(guī)則可表示如下［6］:

式中:m為單維積分點(diǎn)的數(shù)目;γi和wi分別為積分點(diǎn)和積分權(quán)值;γi和wi的計算方法如下:J是一個對稱三對角矩陣，對角線元素為零，且有為J 的第 i個特征值;wi=為J的第i個歸一化特征向量的第一個元素;R為實(shí)數(shù)集。

對于多維積分的情況，高斯積分可以通過張量積的形式進(jìn)行擴(kuò)展。

式中:P=SST。

利用式(5)，基于GHQ的積分濾波算法可表示為:

(1)預(yù)測:

式中:轉(zhuǎn)換點(diǎn) ξi由方差陣分解得到為式(4)中 n維高斯積分的積分點(diǎn);

(2)更新:

2 GHQF算法精度分析

2.1 向量函數(shù)的泰勒展開

向量函數(shù)f(x)在均值xˉ點(diǎn)處的泰勒級數(shù)［7］為:

記 δx=［δx1，…，δxn］T，? 為偏微分算子向量，則式(11)可以寫為:

根據(jù)正態(tài)分布概率密度的對稱性，奇次階矩均為0，從而式(13)可寫為:

因此，經(jīng)非線性傳播后得到f(x)的均值為:

式中:ζ1為交叉項(xiàng)，本文中 ζi(i=1，2，…)均為交叉項(xiàng)。

2.2 GHQF估計精度

其中:

只要積分點(diǎn)的數(shù)目足夠多，高斯厄米特算法的積分點(diǎn)和積分權(quán)值具有如下性質(zhì)［8］:

因此有

2.3 估計精度比較

由式(19)和式(26)對比可以看出，利用高斯厄米特積分可以逼近任意階精度的非線性系統(tǒng)的后驗(yàn)均值，而UKF和CKF只能精確傳播至二階項(xiàng)，從四階項(xiàng)開始出現(xiàn)截斷誤差。

為了比較UKF，KF和GHQF的估計精度，只需比較非線性傳播的四階矩精度［9］，比較結(jié)果如下:

式中:n≤3，k=2，n+λ =3，各項(xiàng)分別為 CKF，UKF和GHQF的四階矩系數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)不超過三維時，GHQF與UKF的捕獲精度相當(dāng);當(dāng)狀態(tài)變量維數(shù)較大時，UKF和CKF均會產(chǎn)生較大的截斷誤差。

3 CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航模型

3.1 捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差傳播模型

以東北天地理坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)在大失準(zhǔn)角條件下的非線性慣導(dǎo)誤差傳播模型［10-11］為:

取狀態(tài)向量為:

式中各分量依次分別為三向姿態(tài)失準(zhǔn)角、東向速度誤差、北向速度誤差、經(jīng)度誤差、緯度誤差、三向陀螺常值漂移和三向加速度計零偏。

3.2 量測方程

星光導(dǎo)航系統(tǒng)中星光矢量的實(shí)際測量值和理論測量值分別表示為:

星敏感器對星光矢量的實(shí)際測量值rb與理論測量值pb有一定的偏差:

星光導(dǎo)航系統(tǒng)中一般將兩個星敏感儀正交安裝，把星敏感器實(shí)際測得的兩個星光矢量rb1，rb2與理論測量值pb1，pb2相減可以得到CNS/SINS的觀測量，SAR/SINS組合量測信息由INS輸出的水平位置與SAR圖像匹配輸出的水平位置之差構(gòu)成，則CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航系統(tǒng)量測方程為:

式中:vk為量測噪聲。

4 仿真分析

利用UKF，CKF和GHQF設(shè)計CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航濾波器，對濾波估計精度進(jìn)行比較分析。仿真條件為:飛行器初始位置為東經(jīng)100°，北緯45°，飛行高度10 km，速度150 m/s，航向角35°，俯仰和橫滾角均為0°，飛機(jī)有1 m/s2的加速度和0.2(°)/s的轉(zhuǎn)彎角速度;捷聯(lián)慣導(dǎo)陀螺常值漂移0.1(°)/h，加速度計零偏100μg;星敏感器精度為20″(1σ)，SAR位置精度20 m(1σ);仿真時間500 s。

圖1～圖3給出了基于三種非線性濾波算法的CNS/SAR/SINS組合導(dǎo)航濾波器對姿態(tài)、速度和位置誤差的估計效果。由仿真結(jié)果可以看出，基于GHQF的組合導(dǎo)航濾波器對姿態(tài)、速度和位置的估計誤差最小，驗(yàn)證了在三種濾波算法中，GHQF的精度最高。

圖1 姿態(tài)失準(zhǔn)角估計誤差Fig.1 Estimation error of misalignment angle

圖2 速度估計誤差Fig.2 Estimation error of velocity

圖3 位置估計誤差Fig.3 Estimation error of position

根據(jù)式(28)，當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)n≤3時，UKF的精度優(yōu)于CKF，而在處理高維系統(tǒng)(本算例n=13)時，CKF比UKF具有更好的精度和數(shù)值穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

本文利用泰勒級數(shù)展開對GHQF，UKF，CKF三種非線性高斯濾波算法進(jìn)行了精度比較分析。研究結(jié)果表明，GHQF能夠逼近任意階精度的非線性系統(tǒng)的后驗(yàn)均值，與UKF和CKF相比，GHQF具有更高的估計精度，并以CNS/SAR/SINS非線性組合導(dǎo)航為應(yīng)用背景驗(yàn)證了上述結(jié)論。然而，GHQF存在計算量大的問題，如何在保持估計精度的同時降低其計算量是對GHQF算法開展下一步研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

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