一類延遲微分方程Rosenbrock方法的數值Hopf分支

岳 雙，張永坡，馮 雪

(空軍航空大學基礎部，吉林長春130022)

1 提出問題

延遲微分方程是泛函微分方程的一個重要分支，近年來很多學者研究了常微分方程的離散化格式對原連續的系統動力學性質的保持性，而對延遲微分方程相關內容的研究較少.英國V.Wulf等采用了Poincaré規范形進行計算［1］，目前很多學者將這種方法應用到各種模型中.張春蕊等證明了顯式Euler方法對一類二維延遲微分系統Hopf分支結構的保持［2］;王秋寶等研究了Runge－Kutta方法對一類延遲微分系統Hopf分支性質的保持［3－4］.

考慮如下時滯為τ的延遲微分方程(其中時滯τ＞0，y∈Rd，是連續的初始函數):

本文將討論延遲微分系統(1.1).

將S級Rosenbrock方法:

應用于系統(1.1)，得到數值離散格式:

下列條件將保證在τ=τ*處系統(1.1)的零平衡點經歷一個非退化的Hopf分支［1］.

(A1)f(0，0，τ)=0，當τ∈N(τ*)，N(τ*)是τ*的一個鄰域(條件(A1)保證了對所有的τ∈N(τ*)，系統(1.1)的零點是平衡點);

(A2)當 τ∈ N(τ*)時，對于函數 f(x，y，τ)有

(A3)系統(1.1)在零點處的線性化的特征方程為(記μ=lnλ)

當 τ∈ N(τ*)時，該特征方程有一對簡單的復共軛根 λ1，2= η(τ)e±iω(τ)，并且存在0 ＜ r ＜ 1，使得所有其他根的模小于r;

(A4)對于 τ= τ*，有 η(τ*)=1，ω(τ*)= ω0＞ 0;

(A5)η'τ(τ*)＞ 0;

(A6)非退化條件成立.

若假設(A3)～(A6)成立，則系統(1.1)經歷一個Hopf分支;則零解在τ經過τ*時不是漸進穩定的(不失一般性，當從左到右時，由條件(A5)可知有一個小振幅的吸引周期軌出現(超臨界Hopf分支)或一個排斥軌消失(下臨界Hopf分支)).

2 數值Hopf分支的分支方向與分支不變曲線的穩定性

延遲微分方程Hopf分支分析的方法來自于Hassard等人眾所周之的思想［5］.令τ=s+τ*，則可將系統(1.2)變換為 C=C(［－ 1，0］，Rd)上的延遲微分方程.

定義

由文獻［6］可知，Re c1(τ*)的符號確定了分支周期解的穩定性.

3 數值試驗

為了驗證得出的結論，考慮下列方程［7］:

此系統有唯一的正平衡點E*(1，1，1)，可求出分支點τ*=1.0663，且有

(1)當τ＜τ*時，E*是穩定的(圖1);(2)當τ經過τ*時，E*失去穩定性，經歷Hopf分支，分支出周期解，且Hopf分支是超臨界的，分支方向為τ＞τ*，且分支周期解是穩定的(圖2).

圖1 τ=0.9 ＜ τ*，平衡點E*(1，1，1)是漸近穩定的

圖2 τ=1.2＞τ*，平衡點E*(1，1，1)處產生分支周期解，并且是漸進穩定的

將2級2階Rosenbrock方法應用到方程(3.1)，其中，b1=0，b2=1，2，經計算可知其滿足定理2.6的條件.得到相圖如圖3與圖4所示，數值Hopf分支保持了分支方向與分支不變曲線的穩定性.

圖3 應用2階Rosenbrock方法，τ=0.9 ＜ τ*，h=0.01 時平衡點 E*(1，1，1)漸進穩定

圖4 應用2階Rosenbrock方法，τ=1.2 ＞ τ*，h=0.01時平衡點E*(1，1，1)處產生分支周期解，并且是漸進穩定的

［1］Ford NJ，Wulf V.Numerical Hopf bifurcation for the delay logistic equation［R］.Manchester Center for Computational Mathematics:Technical Report，1998，323.

［2］Zhang Chunrui，Liu Mingzhu，Zheng Baodong.Hopf bifurcation in numerical approximation of a class delay differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，146:335 －349.

［3］Qiubao Wang，Dongsong Li.Numerical Hopf bifurcation of Runge – Kutta methods for a class of delay differential equations［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，42:3087 －3099.

［4］M.Z.Liu，Qiubao Wang.Numerical Hopf bifurcation of linear multistep methods for a class of delay differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，208:462 －474.

［5］Hassard BD，Kazarinoff ND，Wa YH.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1981.

［6］Wulf V，Ford NJ.Numerical Hopf bifurcation for a class of delay differential equations［J］.J Comput Appl Math，2000，115:601－616.

［7］馬占平.幾類非線性生物數學模型的動力學行為研究［D］.蘭州:蘭州理工大學，2008.