一類完全由內積構造的多任務核的幾個性質

劉建強

(寧夏大學數學計算機學院，寧夏銀川750021)

1 問題的提出

多任務核的泛函分析框架由C.A.Micchelli等提出［1－2］.我們首先介紹多任務核的概念.

假設X是一個集合，Y是一個實希爾伯特空間，對任何y，z∈Y，其內積記為 ＜y，z＞，H為從X到Y的映射組成的線性空間.用L(Y)表示所有從Y到Y的有界線性算子，對于任何A∈L(Y)，用 表示其共軛算子，L+(Y)表示所有非負有界算子，即任何A∈L+(Y)，＜y，A(y)＞0.

定義1 稱算子K:X×X→L(Y)為一個多任務核，如果

(A1)對任何 t1，t2∈ X，K(t1，t2)∈ L(Y)，K(t1，t2)=K(t2，t1)*;

(A2)對任何自然數 m，tj∈ X，yj∈ Y，1≤ j≤ m，都有

如果多任務核K(·，·)同時是從X×X到L(Y)的一個有限秩算子，則稱其為有限秩多任務核.傳統的再生核是多任務核的一部分，下面將傳統的再生核稱為標量值核.在文獻［3］中，給出了如下的有限秩多任務核的刻畫定理.

定理1 設φj(t)是X上的函數，1≤j≤m.有限秩算子

關于乘積的多任務核的構造是考慮這樣的問題:對t1，t2∈X，K1，K2，K是關于t1，t2的多項式，K是一個多任務核且K1(t1，t2)K2(t1，t2)=K(t1，t2)，則K1，K2是否為多任務核?本文將討論輸入空間中兩個元素t1，t2內積x=(t1，t2)的多項式所構成的多任務核.這時，多任務核的特征矩陣C為對角矩陣，要成為多任務核，只需要系數為非負值.因此，在下文中，令

f1(x)=K1(t1，t2)，f2(x)=K2(t1，t2)，f(x)=K(t1，t2).

則上述問題變成:

多項式f1(x)，f2(x)，f(x)的首項系數均為1，f(x)所有系數均非負，是否至少有一個fi(x)(i=1或2)系數均非負，或f1(x)，f2(x)系數均可為負數?

定理2 K1，K2必有其一為多任務核，如果下面的條件之一成立:

定理3 設f1(x)=x2－px+q，p＞0，q＞0，f2=n.是否存在K2使得K為多任務核的條件僅與p2/q的值有關.記在f1=n時，存在K2使得K為多任務核的p2/q最大數為θn，則θn是關于n的單調增數列.

2 定理2的證明

考慮乘積的各項系數必須為非負且首項系數為正，uai+1+ai≥0，i=0，…，N－1.若u=0，根據參考文獻［3］多任務核的平移性質得知K2是多任務核;若u＜0可以推出ai＞0，因此K2是多任務核;若u＞0，K1是多任務核.故K1，K2至少有一個為多任務核.

根據定理1可得不等式組

先考慮q＜0的情況，這時由不等式組(4)第一式得到a0＜0，結合不等式組(4)第三式得pa1＞0，再結合不等式組(4)最后一式得p＞0，a1＞0，因此qa1+pa0＜0，而這與不等式組(4)第二式矛盾.

再考慮q=0的情況，這時f中含有因子x，根據多任務核平移性質，K/x仍然是多任務核，而這將回到f1=1的情況，可以證明K1，K2中至少有一個為多任務核.

最后考慮q＞0的情況.這時如果p＜0，從不等式組(4)第一式解得a0＞0，第四式得到a1≥－p＞0，這時K2是一個多任務核.在q＞0且p≥0時K1已是多任務核.

3 定理3的證明

證明 首先，證明是否存在K2使得K為多任務核的條件僅與p2/q的值有關.事實上，取θ=p2/q，則f1(x)/p2=(x/p)2－(x/p)+1/θ，是否存在K2使得K為多任務核的條件與x2－x+1/θ相同，而后者僅與θ的取值有關.

接下來用數學歸納法證明θn為單調增數列.n=1時，設

f2(x)=x+a0，f1(x)f2(x)=x3+(a0－p)x2+(q－a0p)x+a0q.

這要求a0≥p，a0≤q/p。要使a0有解則需要p2/q≤1.也就是說，當p2/q＞1時不存在K2使得K為多任務核，即命題對n=1時成立，且由定義有θ1=1.

當n=2時，設 f2(x)=x2+a1x+a0，由(4)知 a1，a0需滿足qa0＞0，qa1－pa0≥0，－pa1+q+a0≥0，－p+a1≥0.

要使a1有解則需要p2－q≤a0，(p2－q)a0≤q2.由于θn是尋求滿足條件的最大數，故假設p2＞q尋求a0的解(無解時可設p2≤q繼續求解).這時若要a0有解則需要(p2－q)2≤q2，解得p2/q≤2，也就是說，當p2/q＞2時不存在K2使得K為多任務核，即命題對n=1時成立，且由定義即得θ2=2.

對更一般的情況，假設對小于n的情況命題都是成立的，也即對所有k＜n，找到了θk，當p2/q＞θk時，不存在K2使得K為多任務核.

現證明對于n的情況也成立.考慮乘以一個正常數不改變是否為多任務核的性質，不妨設

K1(t1，t2)=f1(x)=qx2－px+1，

K2(t1，t2)=f2(x)= αn－1xn－1… + α1x+1，

K3(t1，t2)=f3(x)= αnxn+an－1xn－1+ … + α1x+1.

這樣就有

f1(x)/q=x2－p/qx+1/q且(p/q)2/(1/q)=p2/q.

考慮到一個正數倍不影響是否為多任務核，因此這里θn仍定義為p2/q可能的最大值.為使K2，K3成為多任務核，需滿足的條件分別為

易見，不等式組(5)和(6)中部分式子相同.下面對比兩組不等式中不同的部分，即考慮不等式組(5)最后兩式和不等式組(6)最后三式.

從不等式組(6)看，最后一式表明 αn＞ 0，由倒數第二式知 αn≤qαn－1/p，由倒數第三式知 αn≥ pαn－1－qαn－2，要使 αn有解則需要 αn－1＞ 0 且(p2－ q)αn－1≤pqαn－2.考慮到 θn是上界，故只需在 p2－q ＞ 0 時找到合適的θn即可.根據歸納假設，p2－q=0對應θn=1的情況，在n=1時已經達到，即p2－q＞0.由此可得不等式

從不等式組(5)看，其最后一式表明αn－2＞0，再由其倒數第二式可得

因此，為了使不等式組(5)有解，要求αn－2＞0.至此，不等式組(5)和(6)的不同要求在于(7)和(8).然而，將這兩不等式的右端相減，得到

pqαn－2/(p2－q)－ qαn－2/p=q2αn－2/p/(p2－q)＞ 0.

因而，(7)上界大于(8)上界，也就是說，在不等式組(6)中αn－1被允許的存在范圍大于其在不等式組(5)中的存在范圍.由于其他條件相同，因此不等式組(6)刻畫的條件較不等式組(5)更加寬松，或者說不等式組(5)刻畫的條件滿足不等式組(6)，因此θn≥θn－1.

根據歸納法原理，對于所有的自然數n，有θn≥θn－1.

4 θn的計算

可以看出，所有θn都由對應于不同n的不等式組(5)解出.事實上，將所有αk按照k減小的次序消去，得到一個關于θ的方程gn(θ)=0，而θn則是這個方程的最大根.篇幅所限，這里僅列舉當n≤4時，gn(θ)的表達式及θn的值如下:

g1(θ)= θ－ 1;g2(θ)= θ－ 2;g3(θ)= θ(θ－ 2)2－1;g4(θ)= θ5－7θ4+17θ3－17θ2+6θ.

θ1=1，θ2=2，θ3=(3+)/2，θ4=3.

［1］Micchelli C A，Pontil M.On learning vector－ valued functions［J］.Neural Computation，2005(17):177 －204.

［2］Caponnetto A，Micchelli C A，Pontil M，Ying，Yiming:Universal multi－ task kernels［J］.J.Mach.Learn.Res，2008(9):1615－1646.

［3］Liu Jianqiang，Micchelli C A，Wang Rui，et al.Finite rank kernels for multitask learning［J］.Advances in Computational mathematics，2014，38(2):427 －436.