名校金卷：杭州學軍中學杭州外國語學校月考試卷調研

本套試卷是嚴格依據高考考試說明命制的，把握了高考數學試卷“起點低、坡度緩、層次多、區分好”的命題特色，系統、全面地考查高中數學的基礎知識、基本技能、基本方法和基本數學思想. 整卷從學科結構上設計試題，全面覆蓋了中學數學教材中的主干知識模塊，多數試題源于課本而高于課本. 在試題的具體設計上，注重在知識交匯處命題，如第3，4、7、8、10、14、16、17、19、21、22題等；第7、8、9、10、13（文）、14、16、19、21、22題等突出對函數與方程、數形結合、分類討論、轉化與化歸等基本數學思想方法的考查；第21、22等題對運算能力、思維能力進行了深度地考查；第12、17（理）、20題主要突出對空間想象能力的考查；第10、17、21（理）、21（文）題等形式新穎，富有挑戰性，凸顯創新意識和基本數學素養的考查；絕大多數試題為原創題或改編題，并且難度適中.

難度系數：

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.

1. 設集合P={2，3a}，Q={a，b}，若P∩Q={1}，則P∪Q等于（ ）

A. {2，0} B. {2，1，0} C. {3，2，0} D. {3，2，1，0}

2. 若復數z與其共軛復數z滿足z=，z+z=2，則z+等于（ ）

A. 2 B. -2 C. 4i D. -4i

3. 若a，b是實數，則“a2+b2>2”是“a+b>2或a>”的（ ）

A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

4. 若某程序框圖如圖1所示，則該程序運行后輸出的值是（ ）

A. B.

C. D.

5. 設a，b是兩個非零向量，（ ）

A. 若a∥b，則a-b=a+b

B. 若a∥b，則a+b=a+b

C. 若a-b

D. 若a，b不共線，則a+b

6. （理）若從1，2，3，…，14這14個整數中同時取3個數，其中任何兩數之差的絕對值不小于3，則不同的取法有（ ）

A. 1320種 B. 720種 C. 220種 D. 120種

（文）甲、乙、丙三人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外2個人中的任何1人，經過3次傳球后，球仍在甲手中的概率是（ ）

A. B. C. D.

7. 設λ>0，不等式組x≤3，λx-y-λ≥0，x+2λy-1≥0所表示的平面區域是W. 給出下列三個結論：①若W的面積為3，則λ=1；②？堝λ>0，使W是等腰三角形區域；③設點P（x，y），對于？坌P∈W有-x2+≤0. 其中，所有正確結論的序號是（ ）

A. ①③\tB. ②③ C. ①② D. ③

8. 已知函數f（x）=lnx+-2，g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，將函數g（x）的圖象向右平移a（a>0）個單位，再向下平移b（b>0）個單位，若對于任意的a，平移后g（x）和f（x）的圖象最多只有一個交點，則b的最小值為（ ）

A. B. 1 C. 2 D. 4

9. 已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的離心率為，過右焦點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點，與雙曲線的一個交點為P，O為坐標原點，若=m+n，則mn的值為（ ）

A. B. C. D.

10. 已知方程x+log（y+1）=2，若對任意x∈[a，b]（a，b∈Z），都存在唯一的y∈[0，3]使方程成立；且對任意y∈[0，3]，都有x∈[a，b]（a，b∈Z）使方程成立，則滿足條件的有序整數對（a，b）的個數為（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.

11. （理）若C+2C+22C+…+2C+2=40，則n的值為________.

（文）若數列{an}滿足a1=1，=+2（n∈N？鄢），則a=__________.

12. 一個幾何體的三視圖（單位：cm）如圖2所示，則該幾何體的表面積是________cm2.

圖2

13. （理）在袋子中裝有5張大小相同的卡片，其中紅色卡片1張、黃色卡片3張、藍色卡片1張，規定每次摸出一張卡片，且摸到紅色卡片得4分，摸到黃色卡片得2分，摸到藍色卡片不得分. 在每次摸出卡片，記下結果后就不再放回的情況下，用X表示摸3次的得分，則E（X）=_______.

（文）設定義域為R的函數f（x）=lgx，x>0，-x2-2x，x≤0.若關于x的函數y=f（x）-m有4個不同的零點，則實數b的取值范圍是_______.

14. 函數y=2sinπx+φ0<φ<的部分圖象如圖3所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，則·=_______.

15. 圓C1：x2+y2+2x+6y+6=0，圓C2：x2+y2-4x-2y+4=0，Q，P都是到兩圓的切線長相等的兩點，設直線QP將兩圓的圓心連線分成的兩段長分別為m，n（m>n），則=_______.

16. 設a∈R，若x∈[1，2]時均有（x-a）（x2+2a）<0，則a的取值范圍是_______.

17. （理）如圖4，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長為3，C在平面α內，B是直線l上的動點，則O到AD的距離的最大值為 _______.

（文）已知平面向量α，β（α≠β）滿足α=，且α與β-α的夾角為150°，t∈R，則（1-t）α+tβ的最小值是_______.

三、解答題：本大題共5小題，共72分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18. （本小題滿分14分）在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且tanA=2tanB，sin（A-B）=.

（1）求角C的大小；

（2）若3ab=25-c2，△ABC的面積為，試判斷△ABC的形狀.

19. （本小題滿分14分）設等差數列{an}的各項均為整數，其公差d>0，a3=4，若a1，a3，ak（k>3）構成等比數列{bn}的前三項.

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）將數列{an}和{bn}的相同的項去掉，剩下的項依次構成新的數列{cn}，設其前n項和為Sn，求使不等式+++…+>成立的最小正整數n.

20. （本小題滿分14分）如圖5，已知平行四邊形ACC1A1與矩形BCC1B1所在平面互相垂直，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=，D是A1C上的點，且CD=CA1，點E是B1C1上的點.

（1）試確定點E的位置，使DE∥平面A1BB1；

（2）（理）在（1）的條件下，求平面ABC與平面BDE所成的銳二面角的余弦值.

（文）如圖6，在（1）的條件下，求直線AC1與平面A1DE所成角的正弦值.

21. （本小題滿分15分）（理）設F1，F2分別是橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點，C上的動點M到兩點F1，F2的距離之和為10，且cos∠F1MF2的最小值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P為橢圓C的長軸上一個動點，過P且斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點，是否存在常數k，使PA2+PB2為定值？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.

（文）拋物線C的頂點在原點，對稱軸為x軸，若拋物線C上的動點到直線l：4x-3y+6=0的最短距離為.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過拋物線C的焦點F作動直線m與C交于兩點A，B，過原點O作直線m的平行直線交C于另一點N，是否存在正常數λ，使AB2-ON2=λAB？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.

22. （本小題滿分15分）設函數f（x）=mlnx++1，曲線y=f（x）在點（1， f（1））處的切線方程為y=3x-4.

（1）求函數f（x）的解析式.

（2）設函數g（x）=af（x）-x2在（0，1）上有極大值點x0.

①求實數a的取值范圍；

②若m∈Z，且存在x0∈（0，1）使g（x0）>am成立，求m的最大值.