輕軌錨固螺桿單位脈沖響應信號的稀疏徑向基函數網絡提取

輕軌錨固螺桿單位脈沖響應信號的稀疏徑向基函數網絡提取

楊丹周宇葉慶衛王曉東

寧波大學，寧波，315211

摘要：輕軌錨固螺桿是輕軌交通中連接軌道梁和墩臺的關鍵受力部件，脈沖響應函數的提取是其健康監測的關鍵和核心技術。引入稀疏優化算法取代經典徑向基網絡的最小二乘法，構建網絡的輸入輸出方案，引入二維DCT基對學習權值矩陣進行稀疏表示并通過正交匹配追蹤算法來獲得盡可能稀疏的網絡訓練權值。將單位脈沖激勵信號輸入該網絡即可獲得系統的單位脈沖響應函數。實驗結果表明，所構建的稀疏徑向基網絡能準確提取單位脈沖響應函數，對工程應用具有參考價值。

關鍵詞：徑向基函數(RBF)網絡； 輕軌錨固螺桿；正交匹配追蹤算法； 脈沖響應函數

中圖分類號：TP391.4

收稿日期：2015-04-27

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61071198)；浙江省自然科學基金資助項目(LY13F010015)；寧波市自然科學基金資助項目(2012A610019)

作者簡介：楊丹，女，1990年生。寧波大學信息科學與工程學院碩士研究生。主要研究方向為振動信號處理。周宇，男，1962年生。寧波大學信息科學與工程學院教授。葉慶衛，男，1970年生。寧波大學信息科學與工程學院副教授。王曉東，男，1969年生。寧波大學信息科學與工程學院副教授。

Extraction of Unit Pulse Response Function Based on Sparse RBF

Network Applyed in Rail Anchor Screw

Yang DanZhou YuYe QingweiWang Xiaodong

Ningbo University,Ningbo,Zhejiang,315211

Abstract:Light rail anchoring screw is a key force component for connecting rail girder and piers.The extraction of the impulse response function is the key premise and the core technology to the screw anchor’s health monitoring.Sparse optimization solution was introduced to replace the RBF network’s classical least square method.The sparse RBF network with input and output calculation scheme was constructed.Two-dimensional DCT-basis was introduced to represent the weight and the orthogonal matching pursuit(OMP) algorithm was used to get sparser network weights training value.A unit excitation signal was taken as the network’s input and the output of the network was the unit impulse response function of the system.The experiments show that optimization solution of the RBF network in the paper can accurately extract the impulse response function.The work herein has reference value in engineering applications.

Key words: radial basis function(RBF) network;light rail anchor screw;orthogonal matching pursuit(OMP) algorithm; impulse response function

0引言

輕軌交通系統是一種現代化水平高、主要面向旅客運輸的中等客運量城市公交系統，而錨固螺桿是連接軌道梁和墩臺的關鍵受力部件，若其出現松動、斷裂等現象，將嚴重威脅輕軌列車的運行安全。因此對輕軌在役錨固螺桿進行健康監測具有重要意義[1]。利用結構的動態響應識別結構損傷是近年發展起來的結構損傷診斷新方法，其中模態參數是決定結構動力特性的主要參數，而單位脈沖響應函數的提取是振動信號模態分析理論的重要組成部分，許多算法(如SSI、ERA、ITD等)都是以單位脈沖響應函數為基礎進行模態參數提取[2-3]。目前國內外對振動信號單位脈沖響應函數的提取方法有：基于FFT的功率譜法，直接求得頻響函數；基于Duhamal積分的時域法，直接獲得系統的單位脈沖響應函數；小波變換法，試圖克服FFT功率譜法要求輸入信號的頻率成分豐富、只適用于穩態信號、存在能量泄露等固有的缺陷[4-5]來提取單位脈沖響應函數。而在實際應用中，常見的方法是NExt法、隨機減量法等，但很多時候受環境影響信號中會夾雜著很多非線性噪聲，這就使得NExt法、隨機減量法等方法的應用受到一定限制，同時給識別精度帶來影響。

文獻[5]的徑向基網絡設計中先對網絡輸入層的輸入樣本矩陣采用LU變換，學習層的權值矩陣運用規則化最小二乘法來提取單位脈沖響應函數。本文在文獻[5]的基礎上提出對徑向基網絡學習層的權值矩陣用稀疏優化求解算法取代規則化最小二乘法。由于該權值矩陣不一定稀疏，本文先用二維DCT基對學習權值矩陣進行稀疏表示；其次通過稀疏優化的正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法來求解盡可能稀疏的網絡權值矩陣，再通過稀疏反變換求解實際的學習權重；最后將單位激勵脈沖信號輸入此系統提取單位脈沖響應函數。

1稀疏徑向基網絡

RBF徑向基神經網絡[6]是一種性能優良的前饋型神經網絡，它結構簡單，只有一個隱層，具有全局的非線性逼近能力，可以以任意精度逼近任意的非線性函數，學習速度快，應用較為廣泛。但是，對于非線性系統的建模,該神經網絡的預測結果誤差較大，而且抗噪性能較差。

1.1經典徑向基及其權重學習

徑向基函數神經網絡首先要選擇K個基函數，各基函數形式為φi(u-ci),i=1,2,…,K;j=1,2,…,N。由于距離是徑向同性的，因此稱為徑向基函數。‖u-ci‖2表示差向量的模(即歐氏范數)。徑向基神經網絡的結構如圖1所示。圖中，u和Y分別為徑向基網絡的輸入信號和輸出信號， T為徑向基網絡的教師信號。徑向基網絡由三層即輸入層、隱含層和輸出層組成，其中輸入層僅僅起到傳輸信號的作用，隱含層節點一般由高斯核函數作為徑向基函數，輸出層節點通常是簡單的線性函數。

圖1　徑向基高斯函數的網絡結構

基函數采用高斯函數[6]時，可表示為

(1)

式中，ci為高斯函數的中心；σ為高斯函數的方差。

設計隱含層單元數為K,且K

即

(2)

滿足

Y(u)=yj

記

yT=[y1y2…yN]

φT=[φ1(u-c1)φ2(u-c2)…φN(u-cK)]

WT=[w1w2…wK]

φij=φi(uj-ci)

則上述方程組可以改寫成如下形式：

(3)

令φ表示元素為φij的K×N階矩陣，W和Y分別表示權值向量和期望輸出向量，上式可以寫成：

Wφ=Y

(4)

顯然φ是個對稱矩陣，且與u的維度無關，當φ可逆時，可求得權值矩陣W，有：

W=Yφ-1

(5)

當輸入的隱層神經元個數大于輸入樣本維數，且樣本數目很大時，計算的權值矩陣會很大，容易產生病態問題，權值矩陣W的求解就不能用求逆W=Yφ-1，而用最小二乘法[7-8]求權值W：

W=Y×φT×(φ×φT)-1

(6)

另一種規則化最小二乘法的基本思想是通過加入一個含有解的先驗知識的約束來控制映射函數的光滑性，使得相似的輸入對應相似的輸出，尋找逼近函數Y(u)通過最小化以下目標函數來實現：

(7)

式(7)中，第一項是均方誤差，尋找最優的逼近函數，使均方誤差最小，dj為Yj(u)的實際值，第二項用來控制逼近函數光滑程度，即為規則化項，λ是規則化參數，D是一個線性微分算子，代表了對Y(u)的先驗知識，于是式(7)的解為

(8)

則權向量為

W=(φ+λI)-1d

(9)

徑向基網絡學習算法中用經典最小二乘法和規則化二乘法求解網絡權值W時存在以下問題[8]：①在訓練數據中存在較大噪聲時，神經網絡將擬合一個錯誤的曲面，從而使網絡的泛化能力下降；②當輸入樣本數目過大時，權值矩陣成員值之間差距會很大，從而產生病態問題，可能就會導致求解不穩定。

為了提高網絡的泛化能力，使得在有噪聲的情況下也能較準確的提取脈沖函數，本文下面提出利用稀疏優化的OMP算法來獲得穩定的網絡權值W。

1.2徑向基網絡權重的稀疏求解算法

Donoho[9]指出，在某個基上具有稀疏描述信號的少量線性投影包含了重構和處理該信號的足夠信息，也就是僅僅利用信號稀疏的先驗和少量全局的線性測量就可以獲得精確的重建。因此，對權系數W矩陣的重建過程可以看做是輸出信號在徑向基函數網絡φ上的稀疏分解過程[10]。OMP算法[11-13]就是通過遞歸對已選擇原子集合進行正交化以保證迭代的最優性，從而減少達到收斂的迭代次數。

徑向基神經網絡學習算法需要求解的參數有3個：基函數中心、方差和隱含層到輸出層的權值。學習過程分為2個階段：一是自組織學習階段，此階段為無導師學習過程，求解隱含層基函數的中心和方差；二是有導師學習階段，這一階段就是求隱含層到輸出層之間的權值，本文利用稀疏優化的OMP算法求解權值矩陣W的最稀疏解,其步驟如下：

(10)

S就是W在二維DCT變換下的投影系數，由于一般矩陣在二維DCT變換下系數值集中在低頻，一般來說S是稀疏[12]的。由此把問題從求解一般非稀疏的W變換成求解稀疏的S。

A×S=B

(11)

(3)構造隨機觀測矩陣G，對A和B隨機采樣，得到Ar=G×A，Br=G×B，式(11)表示為

Ar×S=Br

(12)

(4)令初始余量R0=Br,迭代次數ks=1,索引值集合Λ0=?；

(5)計算相關系數，找到滿足下述最優化問題的指標λks:

λks=arg max|Rks-1Arks|

(13)

(6)擴充指標集和矩陣，即令Λks=Λks-1∪{λks}，Arks←[Arks-1Arks],Ar0為空矩陣；

(7)解決如下最小乘問題：

(14)

(8)更新殘差值：

Arks×S=BrksRks=Br-Brks

(9)ks←ks+1,若ks

(10)恢復信號S中的非零值指標為Λm1中的元素，第λj個元素的值等于Sks的第j個元素。

2基于稀疏徑向基網絡的單位脈沖響應函數提取算法

振動系統在單位脈沖激勵信號作用下的自由響應稱為單位脈沖響應函數，簡稱脈沖響應。在一個因果時不變線性系統中，系統的輸出y(t)表示為脈沖響應函數h(t)與輸入的卷積，寫成積分形式為

(15)

簡化整理為

Hu=Y

(16)

其中，H為系統的單位脈沖響應信號系數矩陣，u為輸入信號組成的系數矩陣，Y為該因果時不變系統的響應信號矩陣。

從上式可以知道，用最小二乘法可以求脈沖響應信號H，當系統的輸入信號存在較多的零值如脈沖信號等，求逆容易出現奇異矩陣，因此使用求偽逆的方法，但在噪聲大的情況下，會使得最終提取的脈沖響應信號不可用。因此本文選擇更加穩定可靠的算法來提取單位脈沖響應函數，構建稀疏徑向基神經網絡的輸入輸出方案，以及單位脈沖激勵方案來提取脈沖響應信號。

已知輸入信號矩陣u=[u1u2… uN],輸出信號矩陣為Y=[y1y2… yN]，N代表樣本輸入信號數，每條樣本信號的維數為m，第一條樣本輸入信號u1=[u11u12…u1m]，假設該徑向基網絡的輸入信號矩陣u為N條輕軌錨固螺桿的采集信號，而輸出信號Y是該輸入信號矩陣u與理想單位脈沖信號h的卷積并加入白噪聲得到的。

本文設計的稀疏徑向基神經網絡結構有3層[13-14]，輸入層、隱層和輸出層，輸入的N條采集的信號矩陣u作為該徑向基網絡的輸入，由理想的單位脈沖信號h和式(15)得到N條輸出信號，將該輸出信號加入信噪比RSN=5dB的白噪聲Y作為該徑向基網絡的最終輸出，即用這兩個大量的信號矩陣對網絡進行訓練學習，其中用OMP算法得到隱層的權值矩陣W。這個網絡就是一個已經訓練好的神經網絡，等同于一個物理系統。

訓練完成后，采用單位脈沖激勵方案，即取一條單位脈沖信號σ(t)輸入到該訓練好的網絡中，那么該網絡的輸出就是系統對應的單位脈沖響應函數h(t)。具體過程如下：

(1)將采集的N條輕軌錨固螺桿的輸入信號矩陣u輸入到該網絡中，由理想的單位脈沖信號h據下式可得到N條輸出信號矩陣Y′:

Y′=u*h

(2)將得到的輸出信號矩陣Y′添加RSN=5dB的白噪聲后的Y作為網絡的目的輸出，輸入信號矩陣u作為網絡的輸入，對該徑向基網絡進行訓練學習，由最終輸出為隱層節點輸出的線性組合，已知輸出信號矩陣Y和隱層輸出的高斯函數φ，用稀疏優化的OMP算法可求得隱層的權值W：

(3)再取一條單位脈沖信號作為該網絡的輸入，那么最終網絡的輸出就是系統對應的理想的單位脈沖響應函數h(t)，即：

σ(t)*h(t)=h(t)

本文稀疏徑向基網絡提取單位脈沖響應函數的算法流程圖和OMP算法流程圖如圖2所示。

(b)OMP算法 圖2　算法流程圖

3仿真與測試

3.1仿真理想脈沖響應函數時域分析

在MATLAB環境下進行仿真計算，每條信號的采樣點數為1024，采樣頻率為8kHz，假設式(17)為仿真的理想單位脈沖信號h也就是教師信號：

h=0.9exp(-5t)cos(2π1300t+0.1)+

0.5exp(-3t)cos(2π1500t+0.05)

(17)

式(17)是雙模態時不變因果線性系統。本文采用傳感器采集到的輕軌錨固螺桿的激勵信號作為輸入信號uk，N為訓練網絡的樣本數為72，徑向基函數的隱層點數K=30。

由式(15)可以精確的計算系統的輸出響應信號，然后把不同強度噪聲信號與系統的激勵信號和響應信號疊加，以輸入信號矩陣和求解的加噪聲的輸出信號矩陣對徑向基神經網絡進行訓練，理想的脈沖信號為教師信號，隱層徑向基函數采用高斯徑向基φ(u-ci)=exp(-λ‖u-ci‖2)，其中λ=1×10-5。

圖3a和圖3b是輸入信號uk和該輸入信號與仿真單位脈沖響應函數卷積的響應信號Yk,圖3c是仿真的雙模態理想單位脈沖響應信號h，圖3d和圖3e分別是本文算法獲得的單位脈沖響應函數和經典徑向基網絡學習算法中的規則化最小二乘法提取的單位脈沖響應函數圖形。本文仿真的脈沖響應信號h是雙模態的，輕軌錨固螺桿的脈沖響應函數是顯著雙模態的，因此選用雙模態信號[15]進行模擬仿真具有實際意義。

(a)輸入信號(b)響應信號

(c)理想單位脈沖響應信號

(d)稀疏求解的單位脈沖響應函數

(e)規則化最小二乘法的單位脈沖響應函數 圖3　兩種算法提取的單位脈沖響應函數和 理想脈沖響應函數對比圖

通過多次實驗，結果顯示徑向基網絡學習算法中的經典最小二乘法出現了很大的誤差，提取不到單位脈沖響應函數。這是由于經典最小二乘法在求逆過程中出現了奇異矩陣，導致誤差變大，所以在提取脈沖響應函數時經典最小二乘法不可行。通過圖3d和圖3e對比分析，利用提取到的單位脈沖響應函數與仿真理想信號的差值的均方根來計算誤差，稀疏優化算法的誤差是0.0290，而規則化最小二乘法的誤差為0.0301，程序的運行時間是28.4283s。根據以上仿真驗證稀疏優化的徑向基網絡提取單位脈沖響應函數算法是可行的，其中經典最小二乘法和規則化最小二乘法是經典徑向基網絡學習算法中的兩種不同方法。

3.2仿真理想脈沖響應函數頻域分析

在MATLAB環境下分別用本文提出的稀疏徑向基網絡算法獲得的單位脈沖響應函數的頻譜及規則化最小二乘法獲得的單位脈沖響應函數的頻譜如圖4所示，采樣頻率是8kHz。圖4a是仿真的理想脈沖響應函數實際頻譜圖，圖4b是稀疏優化算法提取脈沖響應函數的頻譜圖，圖4c是規則化最小二乘法提取脈沖響應函數的頻譜圖。經過10次仿真實驗，規則化最小二乘法才能提取出如圖4c所示的脈沖響應函數的兩個顯著模態頻率，而稀疏優化算法更容易獲得理想脈沖響應函數的兩個顯著模態，再次證明稀疏優化算法的優越性。

(a)理想單位脈沖函數頻譜

(b)稀疏算法獲得單位脈沖函數頻譜

(c)規則化最小二乘法獲得的單位脈沖函數頻譜 圖4　理想脈沖響應函數和兩種算法的頻譜圖

4輕軌在役錨固螺桿的脈沖響應信號

本文研究對象是在役輕軌錨固螺桿[16]，因此選取一根長975mm，直徑為36mm的不銹鋼雙頭螺桿。錨固螺桿暴露在錨箱外的一端有一個用于在安裝時定位的長度為25mm的扁方，在錨箱內的另一端則焊接了一個用于固定的球面螺母。通過傳感器采集得到振動信號，分別采樣獲得一條激勵信號uk和振動響應信號yk，其中采樣頻率為8kHz，每個信號的采樣點數為1024，徑向基函數神經網絡的隱層節點數K=30，其錨固螺桿采集圖如圖5所示。

圖5　測量轉置示意圖

圖6是由傳感器采集獲得的一組實際激勵信號uk和相應的振動響應信號yk，信號采樣點數為1024。先將采集獲得的多組激勵信號和振動響應信號加噪后輸入到網絡進行訓練，即可以獲得脈沖響應函數。隨后利用本文算法和規則化最小二乘法對單位脈沖信號進行測試，將單位激勵脈沖信號輸入到此訓練好的網絡中，得到網絡輸出即為輕軌錨固螺桿的單位脈沖響應函數。圖7是稀疏徑向基網絡獲得的輕軌錨固螺桿脈沖響應函數與經典徑向基網絡的規則化最小二乘法獲得的輕軌錨固螺桿脈沖響應函數的時域圖和頻譜圖。

(a)激勵信號(b)響應信號 圖6　激勵信號和響應信號

(a)稀疏算法時域圖(b)稀疏算法頻域圖

(c)規則化最小 (d)規則化最小 二乘法時域圖 二乘法頻域圖 圖7　稀疏算法與經典規則化最小二乘法的脈沖響應函數

從圖7a和圖7c的時域圖對比可得，稀疏優化算法和規則化最小二乘法都能提取輕軌錨固螺桿的單位脈沖響應函數，且準確性較高。根據已知的錨固螺桿結構設計的物理參數，其在1000Hz、1300Hz、1500Hz和1800Hz附近都存在真實模態，具體的模態主頻跟實際的錨固螺桿結構參數有關，并非確切的整數值。從理論值分析，稀疏優化算法得到的主頻值更加精確，其它幾個模態峰的結果也反映出稀疏優化算法得到的主頻值更加接近理論值。從頻譜圖的對比可得，稀疏優化算法能獲得輕軌錨固螺桿的脈沖響應函數1000Hz、1300Hz、1500Hz、1800Hz等多個顯著模態；而規則化最小二乘法較難提取輕軌錨固螺桿的模態，經過8次實驗才得到如圖7d所示的頻譜，且在1000Hz和1800Hz的模態峰值微弱，很不明顯，容易造成頻率泄漏。稀疏算法能提取頻譜圖中1000Hz處的模態峰，而規則化最小二乘法對1000Hz處的模態峰無法提取，會導致后期的模態參數識別有很大誤差。因此，本文提出的稀疏徑向基網絡能更好提取錨固螺桿單位脈沖響應信號的顯著模態，特別是較弱小的顯著模態。

顯著模態的提取直接影響單位脈沖響應函數中有效的模態參數的提取。對比發現，徑向基函數神經網絡的稀疏優化算法對提取實際信號的單位脈沖響應函數是可行的，并且效果較好；而使用經典最小二乘法提取輕軌錨固螺桿的脈沖響應函數時，由于求逆過程中奇異矩陣的出現，導致提取的脈沖響應函數誤差極大，所以這一方法不可行。

損傷識別包含模態參數識別和損傷指標構造兩個步驟，因此首先要獲得結構的模態參數。獲得錨固螺桿的單位脈沖響應函數后，利用隨機子空間算法(SSI)提取其模態參數。將獲得的模態參數輸入到分類器中進行故障診斷。由于神經網絡是非線性映射，所以在本文中，使用的訓練樣本都是通過真實錨固螺桿在有故障和無故障的情況下通過實驗采集振動信號而來的，保證實驗的可靠性。

5結論

綜上所述，基于稀疏徑向基網絡RBF的單位脈沖響應函數提取算法具有可行性。相較于經典徑向基函數神經網絡學習算法的傳統最小二乘和規則化最小二乘法，稀疏優化的OMP算法能夠較好的提取單位脈沖響應函數，準確的獲得脈沖響應函數的顯著模態參數，而不用考慮最小二乘法中的奇異矩陣問題，可以應用于實際信號的脈沖響應函數提取。

參考文獻：

[1]左鶴聲, 彭玉鶯. 振動實驗模態分析[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 1995.

[2]林礪宗, 徐曉莉. 單位脈沖響應函數的測量技術[J]. 振動與沖擊, 1994, 13(3): 56-60.

Lin Lizong，Xu Xiaoli.The Measurement Technology of Unit Impulse Response Function[J].Journal of Vibration and Shock,1994, 13(3): 56-60.

[3]陳恩偉, 劉正士, 王勇. 提取脈沖響應函數的小波變換法及時域法分析[J]. 振動工程學報, 2005, 18(2): 189-193.

Chen Enwei，Liu Zhengshi，Wang Yong.Wavelet Transform in Time Domain Method Analysis to Extract the Impulse Response Function[J].Journal of Vibration Engineering,2005,18(2):189-193.

[4]陳恩偉, 劉正士, 陸益民, 等. 一種提取系統脈沖響應函數的高效的去噪算法[J]. 振動工程學報, 2006, 18(4): 475-479.

Chen Enwei，Liu Zhengshi，Lu Yimin，et al. A Noising Algorithm of Extraction System Impulse Response Function with Efficient[J].Journal of Vibration Engineering,2006, 18(4): 475-479.

[5]周凱, 王曉東, 葉慶衛, 等. 基于神經網絡解卷積的脈沖響應函數提取[J].中南大學學報(自然科學版)2011,42(S1): 67-71.

Zhou Kai， Wang Xiaodong,Ye Qingwei，et al.Extraction of Impulse Response Function Based on Deconvolution of Neural Network[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2011,42(S1): 67-71.

[6]任遠，白廣忱. 徑向基神經網絡在近似建模中的應用研究[J].計算機應用，2009,29(1):115-118.

Ren Yuan，Bai Guangchen.Radial Basis Neural Network in the Application of Approximation Modeling Research[J]. Journal of Computer Applications, 2009,29(1):115-118.

[7]周偉. 基于非負矩陣稀疏分解和徑向基神經網絡的人臉識別方法[D]. 成都：電子科技大學, 2006.

[8]潘立登, 吳寧川. 徑向基函數神經網絡正交最小二乘改進算法的實現[J]. 北京化工大學學報, 2002, 29(4): 82-84.

Pan Lideng，Wu Ningchuan.RBF Neural Network Algorithm to Achieve Improved Orthogonal Least Squares[J].Beijing University of Chemical Technology,2002, 29(4): 82-84.

[9]Donoho D L.Compressed Sensing[J].IEEE Transaction Theory,2006,52(4):1289-1306.

[10]楊予昊, 陳衛東, 王東進. 基于 RBF 網絡與 OMP 重構算法的空間自旋目標成像[J]. 中國科學技術大學學報, 2012, 41(11): 941-949.

Yang Yuhao，Chen Weidong，Wang Dongjin. Spatial Target Imaging Reconstruction Algorithm with OMP Based on RBF Network[J].University of Science and Technology of China.2012, 41(11): 941-949.

[11]Wu X, Deng W, Dong Y. A Weighted OMP Algorithm for Doppler Superresolution[C]//Antennas & Propagation (ISAP), 2013 Proceedings of the International Symposium on. IEEE, Dayton,2013: 1064-1067.

[12]韓紅平. 壓縮感知中信號重構算法的研究[D]. 南京：南京郵電大學, 2012.

[13]石光明, 劉丹華, 高大化, 等. 壓縮感知理論及其研究進展[J]. 電子學報, 2009, 37(5): 1070-1081.

Shi Guangming， Liu Danhua， Gao Dahua，et al.Compressed Sensing Theory and Its Research Progress[J].Journal of Electronics, 2009, 37(5): 1070-1081.

[14]Ye Qingwei，Sun Yang，Wang Xiaodong，et al. An Improved LLE Algorithm with Sparse Constraint[J]. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, 2013, 10(12):2872-2876.

[15]王丹丹，周宇，葉慶衛. 基于譜聚類的振動多模態信號頻譜分割研究與應用[J]. 中國機械工程，2013, 24(13):1719-1723.

Wang Dandan，Zhou Yu，Ye Qingwei. The Research and Application of Spectral Clustering Based on the Vibration Signal Spectrum Division Multimoda[J].China Mechanical Engineering,2013, 24(13):1719-1723.

[16]王琦, 汪同慶, 葉慶衛. 輕軌錨固螺桿振動信號EMD處理研究[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(6): 178-181.

Wang Qi，Wang Tongqing，Ye Qingwei.Ratment for Vibration Signal of Light-rail’s Screw with EMD[J].Journal of Vibration and Shock,2008, 27(6): 178-181.

(編輯王旻玥)