干摩擦懸臂梁一階等效固有頻率研究

第一作者趙峰男，博士生，1987年生

通信作者曹樹謙男，博士，教授，1964年生

干摩擦懸臂梁一階等效固有頻率研究

趙峰1,2,3，曹樹謙1,2,3，馮文周1,2,3(1.天津大學機械工程學院，天津300072；2. 天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津300072；3. 內燃機燃燒學國家重點實驗室，天津300072)

摘要：采用牛頓第二定律及拉格朗日方程，分別對干摩擦懸臂梁及等效模型建立振動控制方程，獲得兩種模型的激勵力與頻率關系式，基于能量相等建立等效方程進行一階等效固有頻率研究，獲得干摩擦懸臂梁等效固有頻率解析表達式。采用數值方法計算干摩擦懸臂梁模型一階固有頻率。結果表明，數值與解析結果一致性較好，即懸臂梁等效固有頻率隨干摩擦增大而減小。所得解析表達式能更直接獲得干摩擦力對懸臂梁固有頻率影響規律。

關鍵詞：干摩擦；懸臂梁；固有頻率；等效法

基金項目：天津市自然科學基金重點項目(11JCZDJC25400); 齊齊哈爾軌道交通裝備有限責任公司項目(2011GFW-0663)

收稿日期：2014-03-12修改稿收到日期：2014-05-08

中圖分類號:O322文獻標志碼：A

First order equivalent natural frequency for a cantilever beam with dry friction

ZHAOFeng1,2,3,CAOShu-qian1,2,3,FENGWen-zhou1,2,3(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2.Tianjin Municipal Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China; 3.State Key Laboratory of Engines, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract:Here, the first order natural frequency of a cantilever beam with dry friction was studied using an equivalent method. The motion equations of the beam and its equivalent model were established using Newton’s second law and Lagrange equation, respectively. Then, the relationships between excitation force and natural frequency of the two models were obtained. Base on the idea of inputting same energy, using the equivalent method, an analytical expression for the first order equivalent natural frequency of the cantilever beam with dry friction was derived. The numerical method for calculating the first order natural frequency of the beam was used to verify the effectiveness of the equivalent method. The results showed that the first order natural frequencies obtained with the numerical method and the analytical expression agree well under different dry frictions, the first order equivalent natural frequencies decrease with increase in dry friction; furthermore, the analytical expression for the first order equivalent natural frequency of the beam can directly reflect the effect law of dry friction on the first order natural frequency of the cantilever beam.

Key words:dry friction; cantilever beam; natural frequency; equivalent method

機械系統中干摩擦作為重要的阻尼資源，對系統振動影響頗受關注[1]，并廣泛用于航空發動機轉子葉片、貨車轉向架搖枕側架及其它結構[2]。在機械結構中，干摩擦能快速有效抑制因外部擾動致系統產生的動力學響應[3-4]，而干摩擦因素對系統動態固有特性影響關注較少。目前，非線性模態概念較難用于干摩擦結構振動固有特性研究[5-6]；而數值方法不能給出簡單直觀的解析式。因此基于等效思想，用解析方法探索庫侖干摩擦力對懸臂梁固有頻率影響規律[7-9]不失為可行的研究方法。

研究系統固有頻率等效方法一般包括微分方程法、能量法及靜變形法。本文采用微分方程法[7]及能量法[10-13]研究懸臂梁固有頻率受橫向干摩擦因素的影響規律。對此已有研究涉及，如基于單自由度質量彈簧模型為等效對象，文獻[14-16]簡略介紹求解非線性系統固有頻率等效思想；文獻[17-18]研究縱向干摩擦力對懸臂梁振動特性影響，未涉及系統固有頻率解析表達式及干摩擦力對固有頻率影響規律研究。

本文采用牛頓第二定律及拉格郎日方程，分別建立干摩擦懸臂梁模型及懸臂梁等效模型運動方程，通過等效思想求得干摩擦懸臂梁固有頻率解析式；并采用數值方法對一階等效固有頻率解析式進行數值驗證。結果表明，數值解與解析解一致較好性，故用于研究干摩擦力對懸臂梁振動固有特性影響規律。本文方法為干摩擦影響下機械結構固有振動特性研究提供可行的解析方法。

1模型運動方程

以自由端具有干摩擦阻尼的均質懸臂梁為研究對象，見圖1。系統阻尼為干摩擦，摩擦接觸點在z2處，干摩擦阻尼由摩擦界面法向壓力FN產生。采用牛頓第二定律建立運動方程，并求解方程的力頻(諧波激勵力F與固有頻率)關系。

圖1　干摩擦懸臂梁 Fig.1 Model of cantilever beam with dry friction

據牛頓第二定律，運動方程可寫為

(1)

式中：m(x)為梁單位長度質量；w(x,t)為梁橫向振動位移；F(x,t)為梁自由端點激振力(作用于z1點)；FN為摩擦界面法向壓力；EI(x)為梁抗彎剛度；μ為摩擦界面庫侖摩擦系數。

對式(1)用一階伽遼金近似，設梁位移表達式為

w(x,t)=z(t)φ(x)

(2)

將式(2)代入式(1)，進行伽遼金過程產生等效單模態模型(設φL=φ(L)>0，懸臂梁自由端振型值)為

式中：mn，mnωn2，f(t)分別為模態質量、模態剛度及力函數。

設模態幅值與模態力函數為

z(t)=Acos(ωt)

(4)

f(t)=fccos(ωt)+fssin(ωt)

(5)

對不連續的符號函數連續化處理，即對符號函數進行傅里葉級數展開，并取一階項為

sgn(-Aωsin(ωt))≈-(4/π)sin(ωt)

(6)

將式(4)、(5)、(6)代入式(3)，平衡一次諧波項系數，整理得

(7)

式中：fc為激勵力余弦力幅值；fs為激勵力正弦力幅值。

式(7)為由干摩擦懸臂梁模型推導所得激勵力正、余弦幅值與系統固有頻率關系(激勵力與懸臂梁固有頻率關系，簡稱力頻關系)。

2等效模型運動方程

據激勵能量相等原理建立等效模型，見圖2，等效模型物理、結構參數同圖1。

圖2　等效懸臂梁 Fig.2 Equivalent model of cantilever beam with dry friction

考慮懸臂梁阻尼特性，采用拉格朗日第二類方程建立等效模型運動方程。懸臂梁系統動能為

(8)

式中：ai為梁廣義坐標；Mi為梁廣義質量。

懸臂梁模型勢能與系統耗散能為

(9)

(10)

式中：ωi為懸臂梁第i階固有頻率；ζi為懸臂梁第i階阻尼。

激勵力所做虛功為

(11)

式中：F為外部激勵力；xF為激勵力F作用位置。

拉格朗日函數為

L=T-V=

(12)

由此得拉格朗日運動方程為

(13)

式(13)中假設模態函數為

a(t)=Acos(ωt)

(14)

式中：A為幅值；ω為振動頻率。

式(13)中假設模態激勵力函數為

F(t)=Fccos(ωt)+Fssin(ωt)

(15)

式中：Fc為余弦激勵力部分；Fs為正弦激勵力部分。

將式(14)、(15)代入式(13)，平衡一階諧波項系數、化簡整理，并為便于區分等效固有頻率與懸臂梁固有頻率，令方程中干摩擦作用后懸臂梁等效固有頻率Ωi=ωi，對等效模型運用拉格朗日方程及諧波平衡法建立力頻關系式為

(16)

3固有頻率解析式

干摩擦力會對系統的振動特性產生影響[19]。懸臂梁受干摩擦力后，其固有振動特性變化，本文將用激勵能量等效方法進行研究。令干摩擦懸臂梁正、余弦力fs、fc與無干摩擦懸臂梁正、余弦力Fs、Fc相等及n=i=1，可得干摩擦懸臂梁第一階等效固有頻率。消去激勵頻率ω，整理并化簡得

(17)

式中：Ω1為干摩擦懸臂梁第一階等效固有頻率。

將式(17)進一步簡化，令M1=m1，摩擦力fd=μFN。等效表達式中，為保證無干摩擦條件下等效固有頻率解析值與線性固有頻率相等，令等效固有頻率線性項部分φi(xF)=1，得等效固有頻率簡化表達式為

(18)

式中：ω1為懸臂梁第一階固有頻率。

4數值驗證

圖1、圖2模型懸臂梁結構參數見表1。

表1　懸臂梁結構參數

對式(3)進行數值計算，驗證一階等效固有頻率解析式的正確性。在不同干摩擦力下用快速傅里葉變換，獲得系統響應頻域曲線，計算曲線峰值即得各干摩擦力工況系統一階固有頻率數值解，并與解析值比較，以達驗證解析式目的。令f(t)=0，模態階數n=1，則方程(3)為

(19)

式中：m1=3.12；ω1=8.38；φ1(L)=1.1322；μFN為干摩擦力幅值(表2)。

將每個干摩擦力幅值代入方程(19)，計20個工況，對每種工況進行數值計算，獲得不同干摩擦工況下一階固有頻率值。以位移1 mm、速度0 mm/s為初始條件，設置采樣頻率fs=100 Hz，采樣點N=1024。對響應位移信號(或速度信號)用快速傅里葉變換獲得頻域曲線，取曲線峰值即可得一階固有振動頻率[20-21]。20種干摩擦力工況所得懸臂梁一階固有頻率見表2。

表2　不同干摩擦力工況下懸臂梁一階固有頻率

將表2中不同干摩擦工況一階固有頻率數值解(圖3離散點)與解析式(18)的解析值(圖3實線)對比發現，兩種方法所得結果吻合度較高，實線與離散點變化趨勢基本一致，即隨干摩擦力增大一階固有頻率降低。因此，數值計算方法驗證了一階等效固有頻率解析表達式的正確性與有效性。由圖3看出，當干摩擦力在0～1 N時兩種方法所得一階固有頻率偏差很小，且在此階段系統固有頻率受干摩擦力影響較小；干摩擦力在1～2.5 N之間時兩種方法所得一階固有頻率偏差較高，且干摩擦力對固有頻率影響較大。由數值解、解析解發現，隨干摩擦力增大一階固有頻率呈整體下降趨勢；數值結果呈非單調性，而解析結果隨干摩擦力增大單調遞減。此因解析過程中，通過一次傅里葉近似將庫侖干摩擦力模型光滑化。

圖3　解析一階等效固有頻率(實線) 與數值一階固有頻率(離散點) Fig.3 First-order equivalent natural frequency of analytic method (solid line) and numerical method (discrete points)

圖4　阻尼對等效一階固有頻率影響 (三種不同大小阻尼) Fig.4 Influence of damping on the first order equivalent natural frequency (three different damping)

式(18)中等效懸臂梁阻尼參數ζ1為給定，按已給阻尼參數所得解析結果與數值方法所得結果最佳逼近原則給定阻尼參數為0.011。整體上阻尼參數對解析值變化趨勢無影響，但對具體結果有影響，給定不同阻尼所得解析值也不同。阻尼增大或減小時對等效頻率影響見圖4。以阻尼為0.011的等效固有頻率曲線為基準，阻尼增大時等效固有頻率曲線向上偏移；阻尼減小時等效固有頻率曲線向下偏移。

5結論

(1)采用牛頓第二定律對干摩擦懸臂梁模型建立運動方程，運用拉格郎日第二方程建立等效模型運動方程，基于激勵能量相等原理求得干摩擦懸臂梁第一階等效固有頻率解析解表達式并進行數值驗證。結果表明解析值與數值解一致性較好。解析式能直觀反映懸臂梁固有頻率受干摩擦力影響規律。

(2)法向壓力只產生干摩擦阻尼力，對梁的剛度無影響。結構僅受干摩擦阻尼力影響，梁固有頻率亦僅受非線性阻尼影響。

(3)一階固有頻率解析值與數值解均表明，隨干摩擦力幅值增大懸臂梁固有頻率逐漸降低。因干摩擦力函數光滑化，解析值具有單調下降特點；數值運算中未對符號函數進行處理，數值解具有非單調特性。干摩擦力幅值較小時對懸臂梁固有頻率基本無影響；干摩擦力較大時懸臂梁固有頻率下降幅度較大。此對干摩擦結構設計具有指導意義。

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