含區間參數的齒輪系統扭振固有特性研究

第一作者魏莎女，博士生，1988年2月生

通信作者褚福磊男，博士，教授，博士生導師，1959年9月生

郵箱：chufl@mail.dtinghua.edu.cn

含區間參數的齒輪系統扭振固有特性研究

魏莎，韓勤鍇，褚福磊(清華大學摩擦學國家重點實驗室，北京100084)

摘要：為研究嚙合剛度等動力學參數的波動性對齒輪傳動系統固有特性影響，以四自由度扭轉振動齒輪傳動系統模型為例，利用區間模態分析方法對含區間動力學參數齒輪系統模態特性進行分析。通過算例給出齒輪系統固有頻率波動區間，并通過上下邊界相對不確定量與曲線凹凸性分析區間參數對系統固有頻率影響。結果表明，參數波動導致的區間固有頻率并非關于確定性模型下固有頻率中心對稱，而存在上下偏差，導致該偏差的主要原因為曲線凹凸性；通過上下邊界相對不確定量及凹凸性可判斷固有頻率隨系統參數的波動規律，上下邊界相對不確定量間差異越大曲線凹凸性越明顯。在單區間參數分析中，不同區間動力學參數對系統固有頻率影響不同。當所有參數區間波動均考慮時系統區間固有頻率范圍最大，超過工程能接受結果，因此設計分析時參數的區間波動性不可忽略。

關鍵詞：齒輪；固有頻率；模態；區間分析

收稿日期：2014-03-10修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號:TH132.41；TH113.1文獻標志碼：A

Natural characteristics analysis for torsional vibration of a geared transmission system with uncertainties

WEISha,HANQin-kai,CHUFu-lei(State Key Laboratory of Tribology, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract:The torsional vibration model of a geared transmission system with 4-DOF was developed to study the natural characteristics of a gear system considering fluctuations of tooth mesh stiffness and other dynamic parameters. The interval modal analysis method, relative uncertainties and the curve concavity and convexity analysis were used to investigate the modal characteristics of the gear system with interval varying dynamic parameters. The fluctuation intervals of its natural frequencies were obtained with a numerical example. The results showed that the natural frequencies of the deterministic model are not the central values of the interval varying natural frequencies caused by parameter fluctuations, there are upper and lower deviations caused by the curve concavity and convexity; the fluctuating laws of the natural frequencies with fluctuating parameters can be determined with the relative uncertainties of the upper and lower bounds and the curve concavity and convexity; the greater the differences between the relative uncertainties of the upper and lower bounds, the more obvious the corresponding curve concavity and convexity; the effects of different interval dynamic parameters on the natural frequencies are different in a single interval parametric analysis; the interval natural frequencies are largest and exceed the acceptable results of engineering when the fluctuations of all the corresponding parameters are taken into account; therefore, the effects of the interval fluctuations of system parameters on the natural frequencies of the gear system can not be ignored.

Key words:gear; natural frequencies; modal; interval analysis

齒輪傳動系統廣泛用于風力發電機組、直升機、汽車等機械設備。對其進行深入的動力學研究可為設備的安全、優化設計及可靠性評估奠定基礎。目前齒輪系統動力學研究大多處理為確定性問題[1-3]，但制造、裝配、潤滑、沖擊及溫度等因素會導致齒輪系統參數具有不確定性，且理論分析的動力學模型往往進行一定簡化，與實際模型存在誤差，因此須進行不確定參數下的特性分析。齒輪系統動態特性不確定分析主要采用基于統計模型的分析方法[4-6]，而不確定性不等同于隨機性，統計分析方法并非研究齒輪不確定問題的唯一方法。實際上，不確定分析的相關數學模型有統計模型、區間模型及模糊模型等，需針對具體問題據已知相關信息程度選擇相應數學模型進行不確定性分析。其中區間模型無需大量樣本實驗或參數分布假設，在已知參數邊界信息情況下，用相關區間算法給出結果所在區間及結果誤差估計。區間分析方法在土木結構的模態特性分析中已有研究成果，如陳塑寰[7]提出的矩陣攝動法給出在小擾動下區間特征值的近似計算方法。Sim等[8]給出的計算結構系統模態區間分析方法，將n個區間特征值問題轉化為2n個確定性特征值求解。而區間分析方法用于齒輪傳動系統固有特性分析的相關研究較少。本文針對貧信息、小樣本下已知參數信息，利用區間分析方法對具有區間參數的齒輪系統固有特性進行研究，并給出固有頻率所在區間，分析區間參數對系統固有頻率影響。

1系統模型及固有特性分析

圖1為單對齒輪傳動系統示意圖，輸入原動機、主被動齒輪及輸出負載均等效為圓柱體，其中主被動齒輪等效圓柱厚度相同。圖中Im、I1、I2、IL分別表示輸入原動機、主動齒輪、從動齒輪、負載的轉動慣量，km為齒輪副嚙合剛度，ks1、ks2分別為主、被動連接軸扭轉剛度，θm、θ1、θ2、θL為輸入原動機、主動齒輪、從動齒輪、負載的扭轉角位移，Tm、TL分別為作用于原動機、負載的外力矩。

圖1　齒輪傳動系統純扭轉振動模型 Fig.1 Schematic diagram of torsional vibration model

本文僅研究齒輪傳動系統的固有特性，其自由振動方程[9]為

(1)

式中：θ為振動位移向量；m，k分別為質量、剛度矩陣。具體表達式為

θ=[θmθ1θ2θL]T

(2)

(3)

(4)

主被動齒輪基圓半徑R1、R2及轉動慣量I1、I2以及主被動連接軸扭轉剛度ks1、ks2計算式為

R1=mz1cos(α0/2),R2=mz2cos(α0/2)

(5)

(6)

(7)

式中：ρ為質量密度；b為有效齒寬；G為剪切模量，可由式(8)求得；m為齒輪模數；α0為壓力角；z1，z2為主、被動輪齒數；Ra1，Ra2為主、被動連接軸半徑；la1，la2為主、被動連接軸長。

G=E/(2(1+υ))

(8)

式中：E為彈性模量；υ為泊松比。

確定性參數下的第i階特征值λi滿足

kΦi=λimΦi

(9)

式中：Φi為λi對應的主振型(質量正則化)。

取齒輪傳動系統基本參數[10]見表1，計算得確定參數下固有頻率為0 Hz、266 Hz、524 Hz、3362 Hz，振型見圖2。圖2中點劃線表示模態參考位置，實線表示由確定性參數計算所得模態陣型。由圖2看出，二階模態在負載處振動最大，其次為原動機，而主被動齒輪處振動不明顯。

表1　基本計算參數

圖2　齒輪系統振型圖 Fig.2 Mode shapes of the gear system

2區間模態分析

以上為齒輪傳動系統扭轉振動的確定性模態分析。而材料不均勻性、制造誤差、測量誤差及潤滑等因素會導致系統的剛度、質量參數只能給出其近似值及絕對誤差界限。本文中用區間參數表示為

aI=[ac-βac,ac+βac]

(10)

式中：aI為區間參數；ac為區間參數近似值；β為區間參數波動誤差。

考慮參數的區間波動，原自由振動方程(1)轉化為區間約束下振動方程為

(11)

式中：m，k為質量、剛度矩陣，滿足

(12)

(13)

Chen等[11]基于Rayleigh商給出用于計算區間特征值問題的非迭代方法，其中第i階特征值上下邊界值可直接由計算式獲得，即

(14)

為考察各系統參數存在區間波動時系統固有頻率變化，取相應參數為區間參數。區間原動機轉動慣量可表示為

(15)

為分析方便，定義上、下邊界相對不確定量μupper，μlower分別為

(16)

式中：

(17)

(18)

為驗證本文齒輪系統動力學模型的正確性及區間分析方法精度及效率，考慮Im、I1、I2、IL均為區間參數，采用Monte Carlo分析方法對該算例固有頻率模擬計算。其中區間參數近似值由表1取得。波動誤差均為5%，統計分析樣本數分別取1000、10000、100000，計算效率比較結果見表 2。由表2看出，區間分析方法耗時最短，而Monte Carlo分析方法計算時間隨樣本數增加而增加。較Monte Carlo分析方法，區間分析方法大大節省計算時間。Monte Carlo仿真取樣100000次與區間分析方法對比結果見圖3。由圖3看出，區間分析方法結果較好包絡Monte Carlo仿真分析結果。

表2　兩種不確定分析方法計算效率比較

考慮Im、I1、I2、IL、km、ks1、ks2均為區間參數時，波動誤差均取5%，利用各矩陣對區間參數的單調性可得對應區間質量、剛度矩陣分別為

圖3 區間分析方法與蒙特卡洛仿真方法結果對比Fig.3ComparisonbetweentheintervalmethodandtheMonteCarlomethodwithfluctuationsofmomentsofinertia圖4 齒輪系統區間固有頻率及不確定量隨β變化規律Fig.4Curvesofnaturalfrequenciesandrelativeuncertaintieswithfluctuationerrors

由式(14)所得第二階固有頻率見表 3。由表3看出，固有頻率并非確定值，而是一個區間，且當相關動力學參數均考慮為區間參數，β取5%時，計算所得fn2的相對不確定量已達6%，超出工程能接受限值。圖4為fn2隨β及μlower、μupper隨β的變化規律。由圖4看出，隨β增大齒輪系統固有頻率區間寬度線性增大。當β達到15%時fn2的相對不確定量達18%，遠超工程接受范圍。因此在設計階段，參數的區間波動性分析不可忽略。

表3　齒輪系統區間固有頻率

2.1區間質量參數對固有頻率影響

Im、I1、I2、IL分別為區間參數時所得fn2及μlower、μupper隨β變化規律見圖 5～圖8。由4圖看出，不同區間動力學參數對系統固有頻率影響亦不同。其中區間參數波動誤差對齒輪系統區間固有頻率影響明顯，隨β增大fn2線性增大；在Im、IL對fn2影響中，μlower、μupper不相等。該差異主要由參數的凹凸性所致，具體分析見圖9。由圖9看出，當函數曲線為凹弧時，對稱參數區間對應的函數結果并非關于確定性模型下結果對稱，而是上邊界相對不確定量大于下邊界；當函數曲線為凸弧時，對稱參數區間對應的函數結果亦非關于確定性模型下結果對稱，而是下邊界相對不確定量大于上邊界；且凹凸性越明顯對應上下邊界相對不確定量間差異越大。因此圖5中μupper> μlower現象主要因Im與fn2間曲線關系為凹弧導致。由圖5(c)看出，Im與fn2間曲線關系為凹弧，驗證了通過上下邊界相對不確定量得

圖5　各種變化規律 Fig.5 Curves of natural frequencies

圖6　各種變化規律 Fig.6 Curves of natural frequencies

圖7　各種變化規律 Fig.7 Curves of natural frequencies

圖8　各種變化規律 Fig.8 Curves of natural frequencies

到的推斷。圖8現象原因相同，不再贅述。圖6(b)中當I1為區間參數時，fn2的相對不確定量隨β線性增加；在相同波動誤差下，上下邊界相對不確定量相等。主要因I1與fn2間為線性關系，見圖6(c)。圖7(b)中，當I2為區間參數時fn2的相對不確定量隨β線性增加；在相同波動誤差下，上下邊界相對不確定量近似相等，主要因I2與fn2間曲線關系近似線性，見圖7(c)。

圖9　曲線凹凸性分析 Fig.9 Concavity and convexity analysis

2.2區間剛度參數對固有頻率影響

由于誤差、碰撞及潤滑等原因導致嚙合剛度在齒輪嚙合轉動過程中存在不確定性波動，且在嚙合剛度解析計算中所得結果與實測值誤差一般在20%內[12]?？紤]km、ks1、ks2為區間參數時，可得相應的fn2隨β變化規律及μlower、μupper隨β變化規律見圖10～圖12。由圖10(a)、(b)看出，隨β增大fn2非線性增大；在相同波動誤差下μlower與μupper間差異較大，且μlower明顯大于μupper，主要由嚙合剛度與固有頻率間曲線關系為凸弧引起，見圖10(c)。由此表明齒輪嚙合剛度對系統固有特性影響顯著，應予以考慮。而ks2對fn2影響最明顯，且為線性，見圖12(c)。當β < 5%時km、ks1對fn2影響較小，而β繼續增加時fn2的區間上下界差異明顯。圖11(b)中表現為μlower> μupper，主要因ks1與fn2的曲線關系為凸弧，見圖11(c)。

圖10　各種變化規律 Fig.10 Curves of natural frequencies

圖11　各種變化規律 Fig.11 Curves of natural frequencies

圖12　各種變化規律 Fig.12 Curves of natural frequencies

3結論

(1)較Monte Carlo仿真等統計分析方法，區間模型無需大量樣本實驗及概率假設，結果可靠，節省計算成本。對具有不確定參數的動力學系統特性，據已知系統信息程度選擇不同分析方法。系統參數信息無法獲得或只能進行有限實驗時，區間分析方法可直觀給出計算結果的區間范圍及相應誤差估計。

(2)考慮系統動力學參數存在區間波動時所得固有頻率也在一個區域內波動。且參數波動導致的區間固有頻率并非關于確定性模型下固有頻率中心對稱，而存在上下偏差，主要原因為參數的凹凸性。通過凹凸性、上下邊界相對不確定量可判斷系統參數波動規律，進而推斷區間固有頻率受參數波動應注意的地方。

(3)當考慮所有參數區間波動時，系統區間固有頻率范圍最大。雖各動力學參數波動誤差均較小，但累加后對固有頻率影響較顯著。設計時參數的區間波動性分析不可忽略。

(4)不同區間動力學參數對系統固有頻率影響不同。區間參數的波動誤差對齒輪系統區間固有頻率影響明顯。第二階固有頻率主要受負載轉動慣量及被動連接軸扭轉剛度影響。

(5)分別在原動機轉動慣量、負載轉動慣量、主動連接軸的扭轉、嚙合剛度對固有頻率影響分析中，上下邊界相對不確定量不相等，由凹凸性可判斷其與固有頻率間關系。主被動齒輪的轉動慣量、被動連接軸扭轉剛度與第二階固有頻率變化規律均為線性關系。

參考文獻

[1]Han Q, Zhao J, Chu F. Dynamic analysis of a geared rotor system considering a slant crack on the shaft [J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(26): 5803-5823.

[2]Parker R G, Wu X. Vibration modes of planetary gears with unequally spaced planets and an elastic ring gear [J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(11): 2265-2275.

[3]楊通強，宋軼民，張策，等. 斜齒行星齒輪系統自由振動特性分析[J]. 機械工程學報, 2005, 41(7): 50-55.

YANG Tong-qiang, SONG Yi-min, ZHANG Ce,et.al. Property analysis of free vibration of helical planetary gear trains [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(7): 50-55.

[4]李潤方，王建軍. 國外齒輪系統動態特性的統計分析[J]. 機械傳動, 1995, 19(4): 45-47.

LI Run-fang, WANG Jian-jun. Statistical analysis of characteristics for gear system at overseas[J]. Journal of Mechanical Transmission, 1995, 19(4): 45-47.

[5]Driot N, Perret-Liaudet J. Variability of modal behavior in terms of critical speeds of a gear pair due to manufacturing errors and shaft misalignments[J]. Journal ofSound and Vibration, 2006, 292(3): 824-843.

[6]魏永祥，陳建軍，王敏娟. 隨機參數齒輪-轉子系統扭轉振動固有頻率分析[J]. 工程力學, 2011, 28(4): 172-177.

WEI Yong-xiang, CHEN Jian-jun, WANG Min-juan. Natural frequency analysis for torsional vibration of a gear-rotor system with random parameters [J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(4): 172-177.

[7]陳塑寰. 結構動態設計的矩陣攝動理論[M]. 北京: 科學出版社, 1999.

[8]Sim J, Qiu Z, Wang X. Modal analysis of structures with uncertain-but-bounded parameters via interval analysis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 303(1/2): 29-45.

[9]李潤方，王建軍. 齒輪系統動力學-振動、沖擊、噪聲[M]. 北京: 科學出版社, 1997.

[10]Kahraman A, Ozguven H N, Houser D R, et al. Dynamic analysis of geared rotors by finite elements[R]. DTIC Document, 1990.

[11]Chen S, Qiu Z, Song D. A new method for computing the upper and lower bounds on frequencies of structures with interval parameters [J]. Mechanics Research Communications, 1994, 21(6): 583-592.

[12]李明，孫濤，胡海巖. 齒輪傳動轉子-軸承系統動力學的研究進展[J]. 振動工程學報, 2002, 15(3): 5-12.

LI Ming, SUN Tao, HU Hai-yan. Review on dynamics of geared rotor-bearing systems[J]. Journal of Vibration Engineering, 2002, 15(3): 5-12.