智能柔性構件振動改進多模態正位置反饋控制

第一作者婁軍強男，博士生，1986年生

通信作者魏燕定男，教授，博士生導師，1970年生

智能柔性構件振動改進多模態正位置反饋控制

婁軍強1，魏燕定2，楊依領2，謝鋒然2，趙曉偉2(1.寧波大學浙江省零件軋制成形技術研究重點實驗室，浙江寧波315211; 2. 浙江大學現代制造工程研究所，杭州310027)

摘要：為實現較少致動器數目下柔性構件多個振動模態的主動控制，基于力學原理及模態理論建立智能柔性構件動力學方程。在研究單模態PPF控制器性能特點及穩定條件基礎上，提出考慮不同模態權重的改進多模態PPF控制器。采用根軌跡法分析系統的閉環阻尼特性確立各階PPF控制器最佳控制參數并進行數值仿真；搭建實驗平臺驗證相關分析及控制策略的有效性。結果表明，所提考慮模態權重的改進多模態PPF控制器利用單組致動器能有效抑制柔性梁構件的多階振動模態、顯著縮短柔性構件振動的衰減時間。實驗中柔性構件的衰減時間由6 s減少為2.5 s。實現較少數目致動器下柔性構件多階彈性模態的振動主動控制。

關鍵詞：智能柔性構件；改進正位置反饋；振動主動控制；壓電致動器

基金項目：國家自然科學

收稿日期：2014-02-08修改稿收到日期：2014-04-30

中圖分類號:TP24；TB32文獻標志碼：A

基金項目：國家863計劃項目(2011AA11A265)；國家自然科學基金(51205290)；中央高校基本科研業務費專項資金項目(1700219118)

Modified multi-mode positive position feedback controller for active vibration controlof a smart flexible structure

LOUJun-qiang1,WEIYan-ding2,YANGYi-ling2,XIEFeng-ran2,ZHAOXiao-wei2(1. Zhejiang Provincial Key Lab of Part Rolling Technology, Ningbo University, Ningbo 315211, China; 2. Research Institute of Contemporary Manufacturing Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Abstract:To actively suppress multi-mode vibration of a structure with less actuators, the dynamic model of a smart flexible structure was derived based on the mechanical principle and modal theory. Characteristics and stability condition for a single-mode positive position feedback (PPF) controller were studied, and then a modified multi-mode PPF controller considering different weights of each mode was proposed. Damping characteristics of a close-loop system was acquired with the root locus method, the optimal parameters for each mode of the PPF controller were determined. After some numerical simulations, the test platform was set up. The validity and feasibility of the proposed controller were demonstrated with the simulation and test results. It was shown that the multi-mode vibration of the structure with the modified multi-mode PPF controller is significantly reduced using only a pair of piezoelectric actuators, and its damping decay time is shortened to 2.5 s from 6 s. So the multi-mode vibration of the flexible structure was well suppressed using less piezoelectric actuators.

Key words:smart flexible structure; modified positive position feedback; active vibration control; piezoelectric actuators

隨工業技術與機器人技術水平提高，質量輕、功耗少、載荷/自重比高柔性構件在工業生產、土木工程、交通運輸及航空航天等領域獲得廣泛應用[1]。柔性構件低剛度、低阻尼特性導致其在外界激勵下較易激起自身的彈性振動，對柔性構件建模及振動控制技術研究成為動力學及控制學的研究熱點[2]。近年來，壓電材料、記憶合金及磁流變液等智能材料為柔性構件的振動控制技術提供了新途徑，尤以頻響寬、響應速度快、埋入粘貼均較方便的壓電材料使用最多[3]。

基于壓電材料的智能柔性構件振動控制技術研究中，速度負反饋及變結構控制等技術均應用較多，且取得較好控制效果[4]。柔性構件的彈性振動本質上由無窮模態疊加組成，而實際中為簡化控制結構、節約控制成本，常采用模型降階技術，僅對柔性構件幾階重要模態進行控制研究，導致控制/觀測溢出現象發生，甚至系統失穩。Shan等[5]將具有高階模態不敏感性及良好魯棒性的正位置反饋控制技術(Positive Position Feedback, PPF)引入柔性構件控制中。邱志成等[6-7]利用PPF控制技術分別實現柔性梁構件及板構件的振動主動控制。如何確保PPF控制系統穩定性，尤其控制多個模態多個PPF控制器同時工作[8]，尚需據實際系統特性深入研究。為節約控制成本，如何以較少數目致動器實現柔性構件多模態同時控制仍需深入探索。

1系統建模

實際中較多柔性構件均為細長均質的薄壁桿件，可視為Euler-Bernoulli梁模型。上下表面粘貼壓電致動器及應變傳感器的柔性梁構件模型見圖1。一對尺寸為lp×bp×hp的壓電陶瓷片作為致動器對稱粘貼于長×寬×高為lb×bb×hb的柔性梁構件上下表面；在近致動器位置布設一對應變傳感器組成橋接電路用于檢測梁的振動。

圖1　貼有致動器/傳感器的柔性梁構件模型 Fig.1 A flexible structure with actuators and sensors

據牛頓力平衡原理及歐拉梁變形假設，當控制電壓施加于壓電致動器時，智能柔性梁構件的橫向振動動力學方程用偏微分方程(PDE)表示[9]為

(1)

式中：w(x,t)為梁構件橫向振動位移；ρb, Ab, Eb, Ib分別為梁構件體密度、橫截面積、彈性模量及慣性矩；M(x,t)為壓電致動器控制力矩。

為獲得梁的模態函數，設其處于自由振動狀態，采用變量分離法得

w(x,t)=φ(x)q(t)

(2)

式中：φ(x)為關于位移變量x的模態振型函數；q(t)為關于時間變量t的橫向位移函數。

對圖1的梁構件模型，采用一端固定一端自由的邊界條件，得第i階固有頻率為

(3)

式中：βilb為梁構件的第i階特征頻率。

若將所有階次模態疊加，可得柔性梁構件的自由振動響應為

(4)

致動器與構件理想粘貼情況下，控制力矩為

d31bpEp(hb+2hp)V(x,t)=kpV(x,t)

(5)

式中：d31為壓電陶瓷材料的壓電應變常數；kp為壓電致動器的等效電壓系數；H(·)為關于空間坐標x的Heaviside函數；xs, xe為致動器起始及終止位置；V(t)為驅動電壓，具體表達式為

V(x,t)=V(t)[H(x-xe)-H(x-xs)]

(6)

將式(4)～式(6)結果代入式(1)，據模態正交性及Heaviside函數特性，加入結構阻尼影響，得梁構件解耦形式的常微分模態方程為

(7)

式中：ξi為梁構件第i階模態阻尼比；Ψi為與壓電致動器位置相關函數，可表示為

(8)

按圖1方式粘貼傳感器，采用半橋接法獲得應變傳感器的電壓即系統輸出為

(9)

式中：ε為傳感器靈敏度系數；U0為傳感器橋接電路的供橋電壓；ks為傳感器輸出系數。

2控制器設計

2.1單模態PPF控制器特性及穩定性

實際中柔性構件的彈性振動往往以低階模態為主，故僅需重點關注一定頻帶范圍內的振動模態。在設計多模態PPF控制器之前，先描述單模態PPF控制器行為的動力學方程[10]為

(10)

式中：q, ζ, ω分別為被控結構的廣義模態坐標、阻尼比及固有頻率；η, ζc, ωc分別為PPF控制器廣義坐標、阻尼比及固有頻率；g為PPF控制器控制增益。此時系統穩定的充分必要條件為0

通過Laplace變換得式(10) 的PPF傳遞函數為

(11)

由式(11)看出，PPF控制器實際為二階低通濾波器，亦稱PPF濾波器[12]，具有高頻剪切特性。此即PPF控制器對特定頻率具有主動阻尼控制效果原因。

2.2考慮模態權重的改進多模態PPF控制器

即使采用模態截斷技術，柔性構件的彈性振動仍由一定數目振動模態組成，且有時會出現多個主模態。為同時抑制多模態振動，需對每個振動模態分別設計PPF控制器，多個PPF控制器并行工作；而隨之產生系統穩定條件更復雜、更難達到較好控制效果等問題。

對式(7)保留n階模態的柔性構件模型，采用相同數目PPF控制器，結合傳感器輸出式(9)及致動器電壓輸入式(5)，得柔性構件及PPF控制器方程為

(12)

式中：Kc為致動器控制電壓模態系數矩陣；Ks為傳感器輸出電壓模態系數矩陣；Q=[q1, q2, …, qn]T為結構模態向量；E=[η1, η2, …, ηn]T為PPF控制器狀態向量；Zs=diag[ζ1, ζ2, …, ζn]為結構阻尼矩陣；G=[g1, g2, …, gn]為控制增益向量；Zc=diag[ζc1, ζc2, …, ζcn]為PPF控制器阻尼矩陣；Ωs=diag[ω1, ω2, …, ωn]為結構頻率矩陣；Ωc=diag[ωc1, ωc2, …, ωcn]為PPF控制器頻率矩陣。

定理：針對式(12)的閉環控制系統結構，系統穩定的充分必要條件為

(13)

雖然式(12)表明柔性構件多模態閉環控制系統在廣義模態坐標上是解耦的，但致動器的實際控制電壓通過模態控制力計算獲得，實際控制系統為內在解耦外在耦合。尤其考慮壓電致動器數目及控制力矩有限，往往希望將致動器的控制力主要作用于占比重較大的主模態。因此利用PPF控制器對多個模態并行控制，此處以反映各階模態衰減速度的振動頻率及阻尼乘積作為衡量各階PPF控制器輸出的權衡指標，提出權重系數

(14)

確定的改進多模態PPF控制器結構見圖2。為防止致動器驅動電壓過大，加入電壓飽和模塊。需指出的是，雖通過系統穩定性條件(式(12))可確定控制增益G的取值，但由于實際中致動器輸入及傳感器輸出的模態系數精確值較難獲得，故仍需具體數值分析及實驗驗證才能得到較好的控制效果。

圖2　考慮模態權重的改進PPF控制器結構圖 Fig.2 Structure of a modified PPF controller

2.3PPF控制器參數設計及計算

本文所用柔性梁構件及壓電致動器尺寸、特性參數見表1。此處僅對柔性構件的前兩階振動模態進行研究。理論計算得前兩階固有頻率分別為24.5 rad/s (3.9 Hz)及153.5 rad/s (24.4 Hz)。設模態阻尼比為0.02及0.008。由式(12)看出，控制各階模態的PPF控制器由ωc, ζc及g決定。為實現較少數目致動器下柔性構件多模態振動控制，重點考察一組致動器的振動控制效果，從控制效果、控制魯棒性兩方面考慮[13]，選對應的兩階PPF控制器阻尼ζc分別為0.6及0.4。

表1　柔性梁構件及壓電致動器基本參數

為確定對應兩階振動模態的兩個PPF控制器其它參數，采用獨立設計方法。

(15)

對控制柔性構件一階模態的PPF控制器，其頻率及結構模態頻率滿足表達式(15)時，控制增益g1從0變化到無窮大過程中，對應的閉環系統根軌跡曲線見圖3。

圖3　閉環系統的根軌跡圖 Fig.3 Root locus diagram of close-loop system

由圖3看出，當g在一段特定范圍內取值時，根軌跡曲線與虛軸平行，系統的閉環極點具有相同實部，且所有根軌跡曲線交匯于一點，該點與系統閉環衰減特性密切相關。當控制增益g取不同值時，系統一階模態閉環極點的負實部隨系統結構頻率ω1變換關系見圖4。由圖4看出，對每個固定增益g，系統的衰減特性均由上、下兩支組成。當增益大于某一值時(g≥0.36)，所有曲線均相交于一點，即根軌跡交點，此時系統具有最大的閉環阻尼。因此可設定一階PPF控制器頻率稍大于柔性結構一階固有頻率，從而保證以最小的控制增益實現最大閉環阻尼，使系統振幅最小、控制效果最優[14]。

圖4　一階PPF控制下系統閉環衰減特性 Fig.4 Damping characteristics with 1st PPF controller

對控制柔性構件二階模態振動的二階PPF控制器采用同樣設計方法，所得系統二階模態的閉環衰減特性見圖5，顯然g取最小值0.16時系統閉環增益最大。由圖4、圖5看出，當g大于1時閉環衰減特征曲線無交點，系統處于不穩定狀態。

圖5　二階PPF控制下系統閉環衰減特性 Fig.5 Damping characteristics with 2nd PPF controller

確定的兩階PPF控制器基本參數見表2。

表2　各階PPF控制器的基本參數

3數值仿真

仿真分析中，設系統初始狀態q0=[0.01 0.006]。為對比不同控制增益下各階PPF控制器的控制效果，不同控制增益的一階PPF控制器對柔性構件一階振動模態控制效果見圖6。由圖6看出，當g取值(g=0.2)小于最優增益(g=0.36)時，PPF控制器的控制作用隨之減弱；而當g取值(g=0.5)大于最優控制增益時，控制器的控制效果基本無變化。由此證明g取0.36時系統一階振動模態具有最大閉環阻尼，控制效果最佳。

圖6　一階PPF控制器單獨作用下的模態位移曲線 Fig.6 Modal displacement with 1st PPF Controller

不同控制增益二階PPF控制器對柔性構件二階振動模態的控制效果見圖7，同樣可得g取0.16時系統二階振動模態具有最大的閉環阻尼，控制效果最佳之結論，與理論推導結果一致。

圖7 二階PPF控制器單獨作用下模態位移曲線Fig.7ModaldisplacementwitpndPPFController圖8 多模態PPF控制器作用下模態位移曲線Fig.8Modaldisplacementwithmuliti-modePPFControllers

考慮不同模態權重的改進多模態PPF控制下柔性構件模態位移曲線及與相同權重多模態PPF控制器控制效果對比見圖8。仿真結果表明，改進的多模態PPF控制器由于給予系統一階模態更高權重，致動器控制力更多用于對一階模態控制，因而柔性梁構件一階振動模態抑制效果更好。雖二階振動衰減效果稍有下降，但仍得到有效控制，柔性構件多模態振動在改進的多模態PPF控制下衰減較快。

4實驗驗證

為驗證所提控制方法的可行性及控制效果，搭建智能柔性構件實驗測控系統見圖9。實驗中利用粘貼在構件根部的應變傳感器檢測柔性梁構件振動信息，傳感器輸出電壓信號經信號放大器(自制，放大增益5 000)放大為-10～+10的電壓信號，通過截止頻率為35 Hz的巴特沃斯低通濾波器濾波后，經多路數據采集卡(研華 PCI-1742U)輸送至工控機；利用NI-LabVIEW編寫測控軟件采用改進的多模態PPF控制器計算獲得致動器的控制信號，通過采集卡的D/A模塊輸出并經功率放大器(自制，放大倍數15)放大為-150～+150V的電壓信號，作用于壓電致動器，驅動壓電致動器按所設控制律實現柔性構件多模態振動的主動控制。貼有壓電致動器/傳感器的柔性梁構件實物見圖10。

圖9　智能柔性構件實驗測控系統結構圖 Fig.9 Schematic diagram of the experimental system

圖10　貼有致動器/傳感器的柔性梁構件實物圖 Fig.10 Photo of the flexible structure with actuators and sensors

利用沖擊錘敲擊激起柔性構件的彈性振動以測定其模態特性，傳感器輸出信號經放大后見圖11(a)，將該信號進行FFT變換所得頻域信號見圖11(b)。經計算獲得梁構件前兩階模態頻率為17.2 rad/s(2.73 Hz)及110.0 rad/s(17.5 Hz)，與理論計算結果有一定差異，主因在理論分析中未考慮粘貼的壓電片及引出導線對柔性梁構件質量、剛度影響所致，且梁構件的實際參數特性與標稱值亦存差異，因此對兩PPF控制器參數進行適當修正調整。

圖11 應變傳感器的輸出信號Fig.11Outputsignalsofthestrainsensors圖12 相同權重多模態PPF控制下傳感器輸出信號Fig.12Comparedoutputsignalsofthesensorswiththestandardmulti-modePPFcontroller圖13 改進多模態PPF控制下傳感器輸出信號Fig.13Comparedoutputsignalsofthesensorswiththemodifiedmulti-modePPFcontroller

為檢驗設計的多模態PPF控制器控制效果，采用相同權重的多模態PPF控制器對柔性梁構件(圖10)進行抑振控制研究。應變傳感器輸出的時、頻域信號見圖12。與自由衰減狀態相比，柔性構件振動在設計的多模態PPF控制器下得到快速衰減，一、二階振動模態均得到有效抑制(圖12(b))，且振動衰減時間從6 s縮短為3.5 s(圖12(a))。

由圖11(b)及圖12(b)看出，柔性梁一階振動模態在實驗沖擊信號激勵下占主導地位。為得到更好的控制效果，進行柔性梁構件在設計的改進多模態PPF控制器下的實際抑振控制實驗，結果見圖13。由圖13知，較相同權重的多模態PPF控制實驗結果，改進多模態PPF控制器因通過設置不同模態控制權重將更多控制力用于控制占主導地位的一階振動模態，振動抑制效果更好，進一步縮短柔性構件的振動抑制時間約為2.5。因此本文考慮模態權重的多模態PPF控制器符合實際且合理有效，利用單組壓電致動器能實現柔性構件多模態的有效控制。

5結論

(1)通過建立智能柔性梁構件系統動力學模型，在分析單模態PPF控制器特點及穩定條件基礎上，提出考慮不同模態權重的改進多模態PPF控制器。利用軌跡法分析整個控制系統的閉環阻尼特性，確立各階PPF控制器最佳控制參數，通過數值仿真及實驗驗證了相關分析及控制策略的有效性。

(2)仿真及實驗結果表明，本文考慮模態權重的改進多模態PPF控制器能有效抑制柔性梁構件的多階振動模態、顯著縮短構件振動衰減時間(6 s縮短為2.5 s)。為解決較少數目致動器下柔性構件多階振動模態的控制提供了有益的借鑒及嘗試。

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