前后向時間序列模型聯合估計的時變結構模態參數辨識

2015-12-30 03:43:27楊武,劉莉,周思達等

振動與沖擊 2015年3期

第一作者楊武男，博士生，1986年生

通信作者劉莉女，教授，1964年生

楊武，劉莉，周思達，馬志賽

(北京理工大學宇航學院飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京100081)

摘要：為提高時變結構模態參數辨識精度和抗噪聲能力，提出一種前后向泛函向量時變自回歸滑動平均(FS-VTARMA)時間序列模型聯合估計的模態參數辨識方法。首先建立前后向FS-VTARMA模型聯合估計的均方誤差形式的費用函數，其次引入非平穩信號中前向模型和后向模型估計系數的近似共軛關系，再利用兩步最小二乘法(2SLS)得到時變模型系數，最后把時變模型特征方程轉換為廣義特征值問題提取出模態參數。利用時變剛度系統非平穩振動信號驗證該方法，結果表明：能有效地克服前向模型估計中模態參數一步延遲以及起始時刻無法準確獲得，以及后向模型估計中模態參數一步超前以及終止時刻無法準確獲得的缺點，具有更高的模態參數辨識精度和更強的抗噪聲能力。

關鍵詞：時變結構；模態參數辨識；前后向時間序列；向量；泛函

收稿日期：2013-10-09修改稿收到日期：2014-03-02

中圖分類號:V414；N945.14文獻標志碼：A

Modal parameter identification of time-varying structures using a forward-backward time series model based on joint estimation

YANGWu,LIULi,ZHOUSi-da,MAZhi-sai(MOE Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vechile, School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Abstract:To improve modal parameter identification precision and anti-noise performance for time-varying structures an identification approach using a forward-backward functional series vector time-dependent ARMA time series model (FS-VTARMA) based on joint estimation was presented. Firstly, a cost function in the form of mean square error for joint forward-backward estimation of FS-VTARMA model was established. Secondly, the estimated parameters of forward and backward models for a non-stationary signal were approximately complex conjugate. Then, the time-varying model coefficients were obtained using the two-stage least square (2SLS) method. Finally, its modal parameters were extracted from a generalized eigenvalue problem transformed from an eigenvalue equation of the time-varying model. The identification approach was validated with non-stationary vibration signals of a system with time-varying stiffness. The results indicated that the proposed method can not only overcome shortages of one-step delay and initial prediction error in the forward model’s modal parameter estimation, but also overcome shortages of one-step step lead and terminal prediction error in the backward model’s modal parameter estimation, it has higher modal parameter identification precision and better anti-noise performance.

Key words:time-varying structures; modal parameter identification; forward-backward time series; vector; functional series

工程實際中，工作中的機械臂、車輛通行中的橋梁、發射中的運載火箭、帆板展開中的航天器等結構都存在隨時間變化的動力學特性。由于這些結構常常在工作中才表現出時變動力學特性且所作用的激勵力未知或隨機，因此采用工作模態分析(僅輸出模態分析，OMA)來辨識模態參數。

現有時變結構模態參數辨識按照辨識域分為頻域和時域。時域辨識方法主要分為隨機子空間法[1]和時間序列法。其中時間序列法近80年以來得到長足發展，已經從時不變結構拓展到時變結構。最近參數化時域模態參數辨識是一個熱點問題[2-3]。為提高辨識精度和抗噪聲能力，Sodsri[4]把運用在平穩信號中的前后向線性預測(FBLP)[5]擴展到非平穩信號，提出一種前后向泛函時變自回歸(FS-TAR)模型聯合估計的瞬時頻率辨識方法。蘆玉華等[6]在對滾動軸承故障診斷中運用前后向FS-TAR模型聯合估計方法，采用遞推最小二乘(RLS)技術提取出特征頻率。Kazlauskas等[7]運用前后向FS-TAR模型聯合估計方法辨識噪聲環境中調制信號的瞬時頻率。同時，為讓模型參數簡約，且能辨識工作參考向量和反共振點，Spiridonakos等[8]提出泛函向量時變自回歸滑動平均(FS-VTARMA)模型，但是該模型是一種前向模型，對辨識的模態參數產生一步延遲，且無法準確地獲得起始時刻的模態參數。

本文結合FS-VTARMA模型和前后向FS-TAR模型各自的優點，提出一種模型參數簡約、辨識精確、抗噪聲強、能辨識工作參考向量和反共振點的前后向泛函向量時變自回歸滑動平均模型(FS-VTARMA)聯合估計的模態參數辨識方法。首先建立前后向FS-VTARMA模型聯合估計的均方誤差形式的費用函數，再根據非平穩信號中前向模型和后向模型估計系數的近似共軛關系，利用兩步最小二乘方法得到時變模型系數，最后把時變模型特征方程轉換為廣義特征值問題提取出模態參數。利用時變剛度系統非平穩振動信號對該辨識方法的有效性進行驗證。

1前向和后向FS-VTARMA模型的建立

(1)

(2)

其中:t為離散時間，上標“f”和“b”分別為前向和后向估計標識符，x[t]k×1為非平穩復時間序列，w[t]k×1為滿足零均值和協方差Σ[t]k×k的不相關復殘差序列，p和q分別為自回歸(AR)和滑動平均(MA)階數，且滿足p≥q，而Ai[t]k×k和Ci[t]k×k分別為相應的復時變系數。把Ai[t]、Ci[t]和Σ[t]分別在函數子空間

(3)

上展開，得到泛函向量時變自回歸滑動平均模型FS-VTARMA(p,q,k)[l,m,n]，其中，l、m和n分別為子空間Υ、Γ和Ψ的維度，而下標ar(i)(i=1,…,l)，ma(i)(i=1,…,m)，co(i)(i=1,…,n)為對應子空間的基函數標識。該基函數可以從任何函數族(如三角函數、切比雪夫、勒讓德等)中選擇。而Ai[t]、Ci[t]和Σ[t]在函數子空間上展開形式為：

(4)

?Af[R,t]·x[t]=Cf[R,t]·wf[t]

?Gf[R,t]·x[t]=wf[t]

(5)

?(Af[L,t])*·x[t]=(Cf[L,t])*·wb[t]

?(Gf[L,t])*·x[t]=wb[t]

(6)

其中:定義多項式算子矩陣

Gf[R,t]?(Cf[R,t])-1。Af[R,t]=

(Gf[L,t])*?((Cf[L,t])*)-1。(Af[L,t])*=

(7)

2前后向模型聯合估計

根據參數估計原理[13]，建立前后向模型聯合估計的費用函數，再最小化費用函數得待估參數。

2.1聯合估計的費用函數

把前向和后向模型的殘差序列均方誤差(MSE)求和，得到聯合估計的費用函數為

(8)

一般地，含MA的費用函數，估計參數θ是一個非線性優化過程，十分耗時且可能為局部最優。需要把該過程轉化為線性求解過程，主要方法包括[12]：多項式-代數法(P-A)、遞推擴展最小二乘法(RELS)和兩步最小二乘法(2SLS)。P-A法精度高但耗時；RELS法精度不高；2SLS法精度較高且計算效率高。

2.2AR和MA時變系數矩陣估計

2SLS法的基本思想為利用逆函數把FS-VTARMA模型轉化成兩個可以線性求解的FS-VTAR模型：第一步對FS-VTARMA模型相等價的無限階時變FS-VTAR逆函數模型進行o階截斷，求出該模型的殘差序列值；第二步利用該殘差序列值把原FS-VTARMA模型轉換成一個MA已知的可線性求解的FS-VTAR模型。

2.2.1第一步：逆函數估計

對式(5)中Gf[R,t]取o階截斷得逆函數模型為

t=1～N-o

(10)

其中:

。

利用wb[t,g]和wb[t,g])*不會改變費用函數值的特性，得前后向逆函數模型聯合估計的費用函數為

(11)

(12)

(13)

2.2.2第二步：AR和MA系數估計

其中:

Φf[t]=φf[t]?Ik,

φf[t]=[(-x[t-1]?Υar[t])T,…,

(-x[t-p]?Υar[t])T,

Υar[t]=[Υar(1)[t],…,Υar(l)[t]]T,

Γma[t]=[Γma(1)[t],…,Γma(m)[t]]T

同理，后向模型轉化為一個后向的線性估計過程為，

x[t]=(Φb[t])T·θ*+wb[t,θ],

t=1～N-p

(15)

其中:

Φb[t]=φb[t]?Ik,

(16)

2.3協方差時變系數矩陣投影系數估計

(18)

(19)

3模型結構選擇

模型結構選擇基本過程為：根據經驗和信號變化特性，選擇一個恰當的函數族，再對信號進行分析，確定FS-VTARMA(p,q,k)[l,m,n]模型參數p，q，l，m，n，ar(i)，ma(i)和co(i)的值。函數族類型的選擇沒有一個固定準則，只要函數空間維度足夠大，任何變化形式的模型都可以得到很好近似。模型結構的確定分解為兩個子問題：①模型階數(p,q)選擇；②函數子空間(l,m,n,ar(i),ma(i),co(i))選擇。

3.1模型階數(p,q)選擇

目前確定模型階數的準則很多，包括AIC、BIC和FPE等[10]，本文采用向量模型的BIC準則[14]，

(w[t,θ])H·(∑(t,σ))-1·w[t,θ])+

(20)

其中:d為模型獨立估計參數個數k·k·(p·l+q·m+n)。

3.2函數子空間(l,m,n,ar(i),ma(i),co(i))選擇

考慮到(ar(i),ma(i),co(i))才是獨立變量，若以“1”表示存在，“0”表示不存在，從而可以把函數子空間的選擇問題轉換為求BIC最小的離散變量優化問題。

4時變模態參數估計

4.1“時間凍結”的功率譜密度函數

其中:ω為圓頻率，Ts為采樣周期，j為虛數單位。

4.2“時間凍結”的模態參數

在t時刻“時間凍結”，取R=z-1(z變量)，得到離散系統特征多項式為

(22)

為了避免求解非線性方程組，該多項式的根可以轉換為一個廣義特征值問題[15]，

(D-λrI)·Vr=0

(23)

其中:λr為特征根(r=1,…,k·p)，系統特征矩陣

特征向量

Lr為工作參考向量。相應的，連續系統的模態頻率和模態阻尼比為

fr[t]=2π|lnλr[t]|/Ts

ζr[t]=-Re(λr[t])/|lnλr[t]|

(24)

5精度與抗噪聲測試

選擇三角余弦函數族：

(25)

圖1　無噪聲周期變化正弦信號模態頻率辨識結果對比 Fig.1 Comparation with modal frequency identification of the noise-free sine signal

圖2　含噪聲周期變化正弦信號模態頻率辨識結果對比 Fig.2 Comparation with modal frequency identification of the noisy sine signal

圖3　時變剛度系統 Fig.3 A system with time-varying stiffnesses

由圖1可知，前向估計中模態頻率一步延遲，且在起始時刻出現很大的偏差；后向估計中模態頻率一步超前，且在在終止時刻出現很大的偏差；然而前后向聯合估計中模態參數在起始時刻和終止時刻均有很好的估計精度。由圖2可知，加入噪聲后，前向估計和后向估計中模態頻率精度均降低，而前后向聯合估計具有一定的抗噪聲能力，模態參數精度依然較高。

表1　估計誤差對比

由表1可知，噪聲會導致估計誤差的增加，而前后向聯合估計誤差比前向和后向均小，抗噪能力強。

6非平穩振動下時變剛度系統模態參數辨識

以時變剛度系統非平穩振動[12](如圖3所示)對前后向FS-VTARMA模型聯合估計模態參數辨識方法進行驗證。

該時變系統的運動學方程為

(26)

其中:x(t)為位移響應，r(t)為白噪聲隨機激勵，

ki(t)=ki,0+ki,1·sin(2πt/Pi,1)+ki,2·sin(2πt/Pi,2),(i=2,3)。系統的各個參數值如表2所示。

表2　時變系統參數

為消除初始影響取t=[-16.67,850]s，采用變積分步長龍格-庫塔法對時變系統的運動學方程式(26)求解，再進行48 Hz重采樣、6 Hz濾波和12 Hz重采樣，最后取t=[0,850]s(N=10 200)為分析信號。利用Monte Carlo分析，產生50組白噪聲激勵，重復以上過程，生成50組分析信號，該信號不含測量噪聲。

時變剛度系數以正弦變化，故選擇三角函數族：

其中:n為基函數階數，t=1,…,N。選擇逆函數模型的截斷階數o=20，滑動時間窗長度L=256。確定前向、后向和前后向估計的初始模型都為FS-VTARMA(6,6,3)[50,10,40]，以前向估計為例(隨機選擇一個分析信號)，以BIC為準則的模型階數選擇過程如圖4所示。

圖4　前向估計模型階數選擇 Fig.4 Modal order selection for forward estimation

由圖4可知，AR階數從p=2，MA階數從q=1開始趨于平緩。確定出前向估計的模型階數為(2,1)，同理，確定出前向估計和前后向估計的模型階數均為(2,1)。利用遺傳算法(GA)，基函數子空間優化得到：

前向FS-VTARMA(2,1,3)[35,6,15]、后向FS-VTARMA(2,1,3)[37,4,14]和前后向FS-VTARMA(2,1,3)[28,4,8]。

利用所確定的模型結構，對50組信號分別進行模態參數辨識，前向、后向和前后向辨識的模態頻率分別如圖5、6和7所示(圖中“○”為“時間凍結”理論值)，估計誤差E(50組均值/方差)如表3所示。

由圖5～7可知：在起始時刻和終止時刻，少數組分析信號對第2和3階模態的前向和后向估計誤差都較大，這是由于白噪聲激勵的隨機性影響模態參數辨識精度；而前后向估計在整個時段中受白噪聲激勵隨機性影響小、魯棒性好。

圖5 前向模型估計模態頻率值Fig.5Modalfrequenciesofforwardmodelestimation圖6 后向模型估計模態頻率值Fig.6Modalfrequenciesofbackwardmodelestimation圖7 前后向模型估計模態頻率值Fig.7Modalfrequenciesofforward-backwardmodelestimation

表3　估計誤差均值和方差對比

由表3可知，三種估計方法對第1階模態的估計誤差均值近似相等，前后向聯合估計對第2和3階模態的誤差均值比前向和后向估計誤差均值略大，這是由于前向估計中模態頻率一步延遲和后向估計中模態頻率一步超前與采樣頻率相關，隨著采樣頻率的增加，延遲和超前值減小[4]。本算例中采樣頻率相對較高，故三者的誤差值相近。三階模態中前后向聯合估計的方差均最小，受白噪聲激勵隨機性影響小。

為了研究噪聲對前后向聯合估計的影響，分別在50組無噪聲信號中加入SNR為30 dB和20 dB的白噪聲，選擇與無噪聲相同的模型結構參數值，分別進行模態參數辨識，估計誤差E如表4所示。

表4　含噪聲估計誤差均值/方差對比

由表4可知，加入噪聲后前后向估計誤差的均值和方差較無噪聲情況有較小增加，估計結果受測量噪聲激勵影響小且魯棒性好。

7結論

針對時變結構模態參數辨識中辨識精度和抗噪聲問題，提出一種前后向泛函向量時變自回歸滑動平均模型聯合估計的模態參數辨識方法。通過頻率周期變化的實正弦信號和時變剛度系統非平穩振動信號對該方法進行驗證，結果表明：能有效地消除前向估計中模態參數一步延遲以及起始時刻無法準確獲得，后向估計中模態參數一步超前以及終止時刻無法準確獲得的缺點；具有更高的模態參數辨識精度和更強的抗噪聲能力。該方法可以進一步應用于工作參考向量和反共振點的辨識。

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