一類二階中立型微分方程的振動性＊

秦國紅

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

1 引言

考慮如下二階非線性中立型微分方程

其中，z（t）=x（t）+p（t）x（τ（t））。

本文討論中總假定下列條件成立

（H5）f（t，u）∈C（［t0，∞）×R，R），且存在函數q（t）∈C（［t0，∞），［0，∞）），使得f（t，u）signu≥q（t）｜u｜，u≠0，t≥t0。

通常，一個解稱為是振動的，如果它有任意大的零點；稱為是非振動的，如果它最終為正或最終為負。

一個方程稱為是振動的，如果它的一切解振動。

2 主要結果

引理1 如果x（t）是方程（1）的一個最終正解，則

證明：設x（t）是方程（1）的一個非振動解，不妨設x（t）是方程（1）的一個最終正解，從而存在t1≥t0，使得對所有t≥t1有x（t）＞0，x（σ（t））＞0，x（τ（t））＞0。由條件（H5）得

則方程（1）變形為

從而

因而（r（t）φ（x（t））φ（z′（t））在［t1，∞）上是單調遞減的。下面證明z′（t）≥0對t≥t1都成立。若不然存在t2≥t1使得z′（t）＜0，t≥t2。注意到條件（H4），則有φ（z′（t））＜0，于是存在常數N＞0有

因此

由條件（H4）知［φ（z′（t））］2≤λz′（t）φ（z′（t）），并注意到φ（z′（t））＜0，t≥t2，則有

將（4）式從t2到t積分得

則有條件（H1）知（t）=-∞，這與z（t）＞0矛盾，于是有z′（t）≥0，t≥t1

定理1 若存在函數h∈C1（［t0，∞），R+），使得

則方程（1）是振動的。

證明：設x（t）是方程（1）的一個非振動解，不妨設x（t）是方程（1）的一個最終正解，從而存在t1≥t0，使得對所有t≥t1有x（t）＞0，x（σ（t））＞0，x（τ（t））＞0。由引理1知z′（t）≥0及條件（H2）τ（t）≤t知

又因為z（t）=x（t）+p（t）x（τ（t）），則

則方程（2）變形為

即

令

則

將（6）式與（7）式應用于（8）式得

又r（t）φ（x（t））φ（z′（t））在［t1，∞）上是單調遞減的，σ（t）≤t，則

所以有

將（10）式應用于（9）式得

則有

由于u2（t）+h2（t）≥2h（t）u（t），則（12）式變為

從而有

對（14）式兩邊從t1到t積分得

（15）式中當t→∞時，有

這與

矛盾，所以假設不正確，所以結論成立。

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