利用數學技巧處理斜面上的平拋運動

繆志興

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0162-01

高中物理是一門綜合性比較高的學科，尤其是與數學學科的交叉應用比較多，大量應用到一些數學中的處理技巧與方法。應用數學處理物理問題的能力是高考考綱所列的五種能力之一，學生利用數學知識研究物理問題也是高考考查的重點內容。本文以斜面上的平拋運動為例，讓學生體會數學在物理中的應用。

例：從傾角為θ的斜面上A點，以初速度V0沿水平方向拋出一個小球，落在斜面B上，求：從拋出到落到斜面上時，小球離斜面的最遠距離。

【解法一】平拋運動的基本公式和推論

從拋出點開始計時，經過時間t小球與斜面的距離最在；如圖1所示，當小球的速度V與斜面平行時，小球離斜面距離達到最遠，即此時速度與水平面的夾角為θ。此時=tanθ=，則t=

作速度的反向延長線，交初速度方向的延長線交于M點，根據平拋運動的結論：M點為水平位移的中點，所以，小球距離斜面的最大距離：

MN=AMsinθ=sinθ=v0tsinθ=v0sinθ=

【解法二】運動的分解

如圖2所示，將平拋運動的初速度v0和加速度g沿著斜面和垂直于斜面分解，在垂直于斜面方向vx=v0 sinθax=gcosθ小球做勻變速直線運動，平行于斜面方向vx=v0cosθ vy=v0sinθ小球做勻加速直線運動。

所以，當小球在垂直于斜面方向的速度減為0的時，小球距離斜面最遠。

hmax==

【解法三】解析幾何法

（1）切線方程法

由于做平拋運動的小球的數學解析式為：x=vot y=gt則做平拋運動的小球的解析式為： y0=同理可設斜面0A的解析式為y1=xtanθ

如圖3，將直線OA沿y軸方向向上移動b個單位，得到一個新的解析式為：y2=xtanθ-b。

當y2與y0只有一個交點時，xtanθ-b=即-xtanθ+b=0由于方程只有一個解，所以△=（tanθ）-4×=0則b=最大高度h=bcosθ==

（2）點到直線距離法

根據點到直線的距離公式：xtanθ-y=0，拋物線上的任意一點的坐標是（x0，）則點到直線的距離d==cosθx-將x0視為未知數，剛dmin=cosθ·==

【解法四】平面幾何法

如圖4所示，取平拋運動過程中一點A，過A點作水平線與斜面分別交于C、D兩點。過A點作斜面的垂線交斜面于B點，由幾何關系可知，AC sinθ=AB，若AC越大，則AB也越大。

由平拋運動規律可知：AD=v0t CD==

則AC=AD-CD=V0t-，可將其看成關于時間t的二次函數。

當t=-=時，AC有最大值

ACmax==則ABmax=ACmax·sinθ=