淺談如何上好高等數學的第一堂課

俞美華

（東南大學成賢學院基礎部，江蘇 南京210088）

1 高等數學的重要性

高等數學是大學新生在一年級必修的一門基礎課程，高等數學即微積分，它的建立具有劃時代的意義，它對科技的進步和發展具有極大的推動作用。它是學生走上工作崗位的必備工具。它不僅是學習其他數學課程，比如線性代數，概率統計，復變函數等課程的基礎，也是以后學習專業課程的基礎，它同時還是研究生入學考試的必考科目。另外，高等數學還可以更好地培養學生的邏輯思維能力。

2 高等數學的主要研究對象與研究思想

高等數學的主要研究對象仍然是函數，但是它研究的是變量，即函數的變化趨勢,而初等函數也研究函數，但是它研究的是常量，對于函數y=ax2+bx+c，初等數學主要是討論該函數對應曲線的開口方向，對稱軸，頂點坐標等，而高等數學主要討論該函數當x→x0時，y趨向于什么？也就是討論一個變化趨勢；當然高等數學會研究復雜一點的函數，比如分段函數，研究分段函數在分界點的變化趨勢。

高等數學的思想，即極限的思想，也可以稱為是無窮小分析，高等數學研究的是函數的變化趨勢，如何討論這種變化趨勢呢？那就要用到極限的思想，極限的思想貫穿于整個高等數學，極限是討論函數的極限，討論當自變量進行某種變化時，對應的函數值的變化趨勢；自變量變化趨勢不一樣，函數值的變化趨勢可能就不相同，所以，討論函數極限時一定要注意自變量的變化情況，比如下面兩個極限：,,可見，同一個函數，在x→0時，是無窮大，在x→∞時，是無窮小，同一個函數在不同的自變量的變化下，它的極限可能是不相同的。

3 高等數學（即微積分）的發展歷程

高等數學的整個內容可以用三個字來概括，即微積分。微積分是在數學內部的矛盾運動和數學外部的科學數學化的相互作用下，在當時所處時代背景和數學發展的主流思想支配與指導下，經歷了一個漫長的孕育、創立、演變與發展的歷史過程。微積分即微分學與積分學，早期，微分學與積分學是兩門獨立的學科，微分學是與導數相關的，導數是來源于求曲線的切線斜率以及求即時速度的實際問題；定積分是來源于求曲邊梯形的面積的實際問題，定積分的思想很好，它可以用一個和式的極限來求得一些未知量；但是它的計算卻相當麻煩，大約在17世紀，英國科學家牛頓與德國科學家萊布尼茲先后找到了簡便計算定積分的方法，即牛頓-萊布尼茲公式，該公式將定積分的計算轉化成求原函數的問題，而求原函數即求導數的逆運算，從而簡化了定積分的計算，同時也將積分與微分統一起來了，自此，微分學與積分學就合二為一，也就有了微積分。微積分學的產生具有劃時代的意義，20世紀杰出的數學家約翰.馮.諾伊曼在論述微積分時寫道：“微積分是現代數學取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的。”這也稱為第一代微積分，第一代微積分，原理的表達與證明不夠嚴謹。第一代微積分大約發展了130多年后，柯西和魏爾斯特拉斯等建立了嚴謹的極限理論，鞏固了微積分的基礎，形成了第二代的微積分，微積分的理論變得嚴謹了，但是，由于概念和推理繁瑣迂回，對絕大多數學習高等數學的人來說，不容易理解，到現在為止已經發展了170多年，就是我們今天學習的微積分。第三代的微積分，是正在創建發展的新一代的微積分，人們希望微積分不但嚴謹，而且直觀易懂，簡易明快，讓學習者用較少的時間和精力就能夠明白其原理，國內外都有人在從事第三代微積分的研究以至教學實踐，已經有了一些成績，但是還有待完善，不便于推廣，所以，我們現在學習的還是第二代的微積分。

4 高等數學的主要內容

高等數學主要研究函數的三大分析性質，即連續性，可導性，可積性，都是通過極限的思想來討論的。高等數學分上下兩冊，上冊討論的函數是一元函數（只有一個自變量的函數），主要討論一元函數的極限與連續的概念，一元函數的導數與微分的概念、導數的計算與導數的應用，一元函數的定積分等；下冊討論的函數是多元函數（含有兩個或兩個以上的自變量的函數），主要討論多元函數的極限與連續的概念，多元函數的偏導數、全微分的概念及其計算，還研究二重積分與三重積分，曲線積分與曲面積分等，另外，還有兩個相對獨立的章節，即無窮級數與微分方程。無窮級數被認為是高等數學中的最難學的一個章節。

5 總結

本文主要從四個方面來闡述如何上好高等數學的第一堂課，即高等數學的重要性，高等數學的主要研究對象與研究思想，高等數學（微積分）的發展歷程，高等數學的主要內容。通過以上內容的介紹使得學生對高等數學（微積分）的發展歷史以及高等數學的思維方法有個大致的了解，同時對高等數學這門課程的重要性也有清醒的認識，因而能夠激發他們學習高等數學的熱情，使得他們能夠喜歡高等數學并且進一步地學好高等數學。

［1］袁相碗.微積分基本方法[M].南京:南京大學出版社,2010.

［2］[美]William Dunham.微積分的歷程：從牛頓到勒貝格[M].李伯民,汪軍,張懷勇,等,譯.北京:人民郵電出版社,2010.

［3］張景中.直來直去的微積分[M].北京:科學出版社,2010.

［4］同濟大學應用數學系.高等數學[M].5版.北京:高等教育出版社,2012.