關于LTI系統零點跳變問題的研究

宋慧超 叢夢龍 孫丹丹

摘 要：在確定性輸入信號作用下的集總參數線性時不變系統簡稱LTI系統，包括連續時間系統與離散時間系統。在連續時間系統分析中，由于激勵信號的加入，系統狀態在零時刻可能發生跳變，從而無法利用原有的起始儲能確定系統響應的初值，為系統分析增加了難度。針對于此，文中提出了解決零點跳變的兩種方法：沖激函數匹配法與拉普拉斯變換法。從時域、頻域角度，通過實例驗證討論了兩種方法各自的特點，對理解信號與系統理論的基本概念與分析方法有一定幫助。

關鍵詞：時域分析 拉普拉斯變換 0-狀態 0+狀態

中圖分類號：TP31 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（a）-0038-02

Research on the Problem of Initial State Change in LTI System

Song Huichao Cong Menglong Sun Dandan

（College of Physics and Electronic Information， Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao Inner Mongolia，028000，China）

Abstract：Under the action of deterministic input signals，the lumped parameter linear time-invariant system is called LTI system for short，which includes continuous-time system and discrete-time system.In the continuous time system analysis， the system state may change at the initial moment because of the excitation signal.We can not use the original starting storage to determine the initial value of the system response，which adds difficulty to the system analysis.Two methods are proposed to solve the problem：Impulse function matching method and method of Laplace transform. The characteristics of the two methods are described by examples from time domain and frequency domain.It helps us to understand the basic concepts and analysis methods of signal and system theory.

Key Words：Time-domain analysis；Laplace transform；State of 0-；State of 0+

在信號與系統的研究中，線性時不變（LTI）系統的數學模型是常系數線性微分方程，輸出響應通過求解微分方程得出。基本解法是時域經典法，它將方程的完全響應分為自由響應和強迫響應[1]，其中自由響應是指函數的線性組合，通過齊次方程的特征根確定，而強迫響應與輸入激勵有關，可通過方程自由項得出。但僅憑微分方程和輸入激勵是無法得到最終的完全響應的，還需要一組求解區間內的邊界條件，用以確定完全響應中的未知常數A，這組邊界條件我們稱之為初始條件。由于輸入激勵在零時刻加入，常使初始條件在瞬間（即零點）發生變化，為系統分析帶來一定麻煩，當零點跳變存在時，如何求出系統的完全響應一直是系統分析中的難點，也是該文的研究重點。

1 0-到0+狀態的跳變

在系統分析中，常認為激勵信號是在t=0時刻加入的，完全響應區間定義為。如果在激勵加入前的瞬時，系統完全響應的狀態定為，這組狀態稱為系統的起始狀態（即狀態），它表示在激勵加入前，系統原有的起始儲能情況。激勵信號加入的瞬時，起始狀態在到時刻可能發生跳變，跳變后的狀態定為，稱為初始條件（即狀態）[2]。在用時域經典法求解系統響應時，必須通過系統的起始儲能（狀態）和激勵求出初始條件（狀態），從而確定完全響應的待定系數A。為了從線性角度更好的理解LTI系統，我們常將完全響應分解為零輸入響應和零狀態響應，其中，沒有外加激勵作用，僅由系統的起始儲能（狀態）引起的響應稱為零輸入響應；沒有起始儲能，完全由激勵信號引起的響應稱為零狀態響應。以下的討論都以這種分解方法為準。

2 沖激函數匹配法

從時域角度看，當系統已經用微分方程表示時，系統的狀態到狀態有無跳變取決于微分方程右端自由項是否包含沖激函數δ（t）及其各階導數，如果包含說明狀態到狀態發生跳變，，這時確定可用沖激函數匹配法。其原理為t=0時方程左右兩端沖激函數δ（t）及其各階導數對應相等[3]。下面通過實例具體分析。

【例】已知一LTI系統微分方程為，激

勵信號，起始狀態，，試求出它的完全響應及零輸入、零狀態響應。

解：（1）零輸入響應：零輸入響應是方程齊次解的一部分，其形式為，其中α為特征根。

已知系統的特征方程為，

則特征根為

初步確定：

（1）

其中待定系數A須通過初始條件（狀態）確定。由于無外加激勵作用，系統在t=0時刻沒有跳變，由題給條件可知

（2）

將式（2）代入式（1）得出：

（2）零狀態響應：零狀態響應由齊次解的另一部分（形式與零輸入響應相同）與特解構成的，因此可以初步判定：

（3）

其中可通過自由項得出，而待定系數B由初始條件（狀態）確定。

①的求解：將激勵信號代入微分方程右端，得出

當時自由項為0，因此特解=0。

②狀態的判斷：由于等式右端自由項含δ（t），在零點產生跳變，即，。同時對于來說，不考慮起始儲能，認為。那么初始條件需用沖激函數匹配法來確定[4]。

在t=0時刻，方程右端包含沖激函數δ（t），根據方程左右兩端沖激函數δ（t）及其各階導數對應相等，可以斷定中必定包含δ（t），由此推出包含，其中，稱為單位跳變函數[5]，指由于函數內部包含階躍信號，在零時刻產生的從0到1的跳變。在零時刻不含沖激信號及單位跳變函數，因此對于t=0時刻，可設

（4）

將式（4）帶入原微分方程得：，解出：a=1

在t=0時刻，沒有跳變，但中包含了一個，從狀態到狀態產生了一個單位跳變。因此

（5）

將式（5）代入式（3）可以得出：

零輸入響應與零狀態響應相加可以得到系統的完全響應

通過以上例子看出，對于存在零點跳變的系統來說，從時域角度利用沖激函數匹配法求解初始條件（狀態），進而確定完全響應的方法是特別復雜難懂的。下面給出另一種系統分析方法——拉普拉斯變換法，從頻域角度去分析系統，可以越過零點跳變問題直接求出系統響應。

3 拉普拉斯變換法

拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）是由傅里葉變換演化而來的，其性質、定義與傅里葉變換類似，拉氏變換建立了時域與復頻域（s域）間的聯系，變換式更為簡潔。利用拉氏變換求解微分方程，原有的微積分運算被轉換成了乘除法運算，微分方程化為了代數方程，求解步驟得到簡化。

為便于研究零點跳變的問題，我們規定單邊拉氏變換的積分下限從時刻開始，將沖激信號δ（t）在零時刻的作用直接考慮在變換之中。系統分析過程中，可以直接利用起始儲能的狀態來求得系統響應，無需再考慮到狀態的轉換。

仍以上題為例，對微分方程兩端同時求拉氏變換[6]，根據拉氏變換的微分性質，可以得出

（6）

將式（6）代入原方程后，時域微分方程變為了復頻域（s域）的代數方程。

整理得：

（7）

可以看出，在式（7）系統響應的拉氏變換中，前一部分只與在時刻狀態（起始儲能）有關，與激勵無關，是零輸入響應，記為；后一部分只與激勵有關，不考慮起始儲能的影響，是零狀態響應，記為。

根據題給條件，可以求出兩者的拉氏變換，，

分別求拉氏逆變換得：

，

相加得出系統完全響應

此結果與時域分析中得到的系統響應完全相同，但運算過程大為簡化。

4 結語

從以上分析可以看出，用時域方法研究零點跳變問題，雖然有些復雜，但物理概念清晰，能幫助我們更好的理解信號處理過程。利用拉氏變換從復頻域角度分析，則可以簡化計算過程，不需要考慮零點跳變，直接利用時刻狀態（起始儲能）得出系統響應。該文通過實例討論，從時域、頻域角度總結了系統分析的基本解法，對深入認識連續時間系統零點跳變問題有一定的參考價值。

參考文獻

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[2] 張登奇，張璇.沖激函數匹配法在初始條件計算中的應用[J].湖南理工學院學報，2011，24（3）：31-34.

[3] 鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000：50.

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[5] 翟亞芳.沖激函數匹配法在時域分析法中的應用[J].安陽工學院學報，2013，12（4）：53-55.

[6] 張楠，李慶華，孫明燦.LTI連續時間系統零狀態響應的求解方法[J].齊魯工業大學學報，2014，28（4）：27-29.