微裂紋相互作用有限元分析

陳躍欣 任中俊

摘 要：該文利用有限元模擬有微裂紋的均質彈性材料，在承受拉應力時，微裂紋的裂紋面法向張開位移，分析指定裂紋在植入不同數目裂紋情況下的裂紋面法向張開位移變化，分別計算植入五種不同的裂紋數目時，指定裂紋所引起的平均應變，并將其中4種裂紋數目下的平均應變與裂紋數目為2時的平均應變進行了比較。計算結果表明，在僅有兩條微裂紋情況下，裂紋面法向的張開位移隨離裂紋面中線距離呈現對稱的拱形變化，且變化平滑；裂紋數量逐漸增多，裂紋間發(fā)生相互作用，使得裂紋面法向的張開位移增大，張開位移曲線也呈拱形但是變化不平滑。由指定裂紋引起的平均應變差值隨裂紋數量的增加而變大，且裂紋面法向與應力成一定夾角的比裂紋面法向與應力方向平行的要大。

關鍵詞：微裂紋相互作用 有限元分析 損傷 有限元建模

中圖分類號：TU452 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（a）-0211-02

材料的微觀缺陷是引起材料的損傷原因之一，而微裂紋又是微觀缺陷的最常見的形式。微觀缺陷存在會導致材料的力學性能的弱化，如強度、剛度、硬度、穩(wěn)定性以及壽命的改變，并最終引起材料的破壞。研究材料中微裂紋之間的相互作用對材料的性能影響具有十分重要的意義。

馮西橋[1]指出材料在復雜加載情況下的微裂紋損傷演化是一個復雜問題，尤其在考慮微裂紋相互作用時是很困難的。Budiansky[2]將自洽方法應用于計算微裂紋體的有效彈性模量，并采用能量等效原理，認為微裂紋體的應變能由無裂紋基體的應變能與裂紋能組成，分析了含隨機分布橢圓形微裂紋的彈性固體的有效彈性模量。Huang[3]將廣義自洽方法用于描述微裂紋體。Mori-Tanaka[4]將單個微裂紋置于無損的彈性基體中，使微裂紋受到的載荷不再是遠場應力，是考慮了微裂紋損傷的有效應力方法。Benvensite[4]將Mori-Tanaka方法用于描述微裂紋體，假設微裂紋置于彈性基體中且承受有效的應力，總的應變由基體的平均應變與微裂紋引起的平均應變組成，計算了微裂紋體的有效彈性模量。Hashin[5]將微裂紋體的有效彈性模量用基體的彈性模量與微裂紋密度參數，下一狀態(tài)的有效彈性模量則由當前狀態(tài)的有效彈性模量與新增的微裂紋密度決定再利用初始條件通過微分方法計算含隨機分布橢圓形微裂紋的彈性固體的有效彈性模量。閆相橋[6]提出了平面彈性介質中主裂紋與微裂紋相互作用問題的有效數值計算方法。夏曉舟[7]等對裂紋間作用機制及微裂紋區(qū)對主裂紋的作用效應進行了探討。袁小平等[8]研究了特定巖石材料考慮微裂紋相互作用的細觀力學彈塑性損傷模型。楊衛(wèi)[9]研究了隨機分布共線微裂紋的強相互作用。

該文通過在均質彈性正方形薄板材料中植入五種不同數目的微裂紋，運用有限元分別模擬五種不同數目的微裂紋情況下承受一定拉應力時薄板中指定裂紋的裂紋面法向張開位移變化。第一種情況在薄板中植入一條方向與水平方向平行和一條與水平方向夾角為45°的位置相隔一定距離的兩條微裂紋，并確定這兩條裂紋為分析對象。其他情況的裂紋植入都以前一種情況為基準，在原有裂紋數的基礎上增加相同數目的裂紋，裂紋的方向和位置隨機布置布置在薄板中，分析對象同樣為第一情況的確定的兩條裂紋。在垂直于水平方向的薄板兩邊施加均布拉應力。輸出五種不同數目的微裂紋情況下，指定裂紋的裂紋面法向張開位移，計算指定微裂紋引起的平均應變。通過比較不同數目下原裂紋張開位移和引起的平均應變來分析微裂紋之間的相互影響。

1 有限元建模

有限元幾何模型為一正方形薄板，板的邊長為50 mm。在薄板上分別植入微裂紋條數為2、4、8、16和32，微裂紋長度取為2 mm，選取2條不同方向的微裂紋a、b來分析，其余的微裂紋隨機分布在微裂紋a、b周圍。其中裂紋條數為32的情況如圖1所示，圖中紅色的為裂紋a，方向與水平方向平行；圖中黃色的為裂紋b，方向與水平方向成45°夾角。該模型為各向同性彈性模型，均質薄板的彈性模量取為40 GPa、泊松比取為0.25。荷載和邊界條件，在方形上下兩端均勻施加100 MPa的拉應力，為滿足有限元積分的收斂性要求，在將模型中心一個節(jié)點在水平和鉛垂兩個方向的位移進行約束。將幾何模型一共劃分了86163個四邊形單元。

2 有限元分析

薄板受到均勻拉應力時裂紋將產生張開位移，而一條裂紋中張開位移在裂紋中線兩邊呈對稱性，取裂紋的一半來分析。將裂紋a張開位移與裂紋位置變化分別在裂紋條數為2、4、8、16、32的情況下輸出并繪圖如圖2所示。同樣裂紋b張開位移與裂紋位置的變化如圖3。從圖2和圖3可以看出，薄板中只有裂紋a、b的情況下，裂紋a、b的裂紋面法向張開位移呈現拱形對稱變化，曲線變化比較平滑；裂紋a張開位移比裂紋的b稍大。從圖2、圖3中還可以看到裂紋數目為4、8、16、32下裂紋a、b的張開位移隨裂紋位置曲線都在裂紋數目為2的曲線之上，且曲線為不平滑的拱形曲線，說明隨著裂紋數目的增加，新增的裂紋對原有裂紋面法向張開位移會產生相互作用的影響，裂紋數目的增加增大了裂紋面的法向張開位移。圖2中裂紋a的張開位移在裂紋條數為32比裂紋條數為4、8、16 h；而圖3中裂紋b張開位移隨裂紋數的增加是增大的。

運用公式[10]（1）計算單個裂紋引起的平均應變：

（1）

式中ui、uj為裂紋在水平和鉛垂兩個方向的張開位移；nj、ni為裂紋面法線的方向余弦；V為正方形板的面積；da為裂紋長度的微分。在植入不同裂紋數目的情況下，裂紋a的鉛垂方向的張開位移如圖2所示，裂紋b的鉛垂方向的張開位移如圖3所示；裂紋a的裂紋面法線的方向余弦為（0，1），裂紋b的裂紋面法線的方向余弦為（-0.707，0，707）。該文分別計算了植入5種不同的裂紋數目時，裂紋a和裂紋b所引起的平均應變，并將其中4種裂紋數目下的平均應變與裂紋數目為2時的平均應變進行了比較，其計算結果如表1、表2所示。

從表1可以看出，由裂紋a引起平均應變隨周圍分布的裂紋的數量增加而增大，且隨著裂紋數遞增的而遞增，當裂紋條數為4時和裂紋條數為2時的平均應變差值已達到了11.22%；當裂紋數為32時裂紋a平均應變差值已達到了18.48%。同樣從表2也可以看出，由裂紋b引起的平均應變隨周圍分布的裂紋的數量增加而增大的，但未呈現遞增關系，裂紋條數為8比裂紋條數為4的裂紋b引起平均應變差值要小1.38%。從表1、表2能看出裂紋數目的增加對裂紋b引起的平均應變的影響比對裂紋a引起的平均應變的影響要大，當裂紋數為4時裂紋a的平均應變差值為11.22%而裂紋b的平均應變差值為13.79，當裂紋數為32時，裂紋a的平均應變差值為18.48%，裂紋b的平均應變差值為20.69%，平均應變差值裂紋b比裂紋a已經大了2.21%。

3 結語

該文基于有限元軟件，模擬植入不同數量的微裂紋均質彈性薄板材料施加一定拉應力作用下，指定裂紋的裂紋面法向張開位移。通過模擬計算發(fā)現裂紋數目的變化會影響裂紋面法向張開位移變化。在僅有2條微裂紋的情況下，裂紋面法向的張開位移隨離裂紋中線距離呈現對稱的拱形變化，在裂紋面中線張開位移最大并向裂紋兩端逐漸變小。裂紋的方向與應力方向的夾角也會影響裂紋面法向張開位移的變化，當裂紋面法向方向和應力方向平行時裂紋面張開位移最大，當裂紋面法向方向和應力方向有夾角時裂紋面張開位移變小。當裂紋數量逐漸增多的情況時，裂紋間產生相互作用，從而使得原裂紋面法向張開位移增大，裂紋面法向的張開位移隨離裂紋中線距離也是呈現的拱形變化，但曲線變得不平滑。裂紋數量的增加使得原有裂紋引起的平均應變增大，裂紋面法向方向與應力方向成一定夾角的比裂紋面法向方向與應力方向平行的影響更大。從這些可以看到材料中微裂紋之間會產生相互影響，使材料的力學性質發(fā)生了改變，如強度的降低剛度的變小變形等。我們在使用材料時必須考慮材料中的裂紋數量的對正常使用的影響，減少由微裂紋相互作用引起的故障和事故。

參考文獻

[1] 馮西橋，余壽文.包含微裂紋相互作用效應的準細觀損傷力學模型[C]//第十屆全國疲勞與斷裂學術會議，中國廣州.2000.

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[10] 任中俊，萬玲.復雜應力下脆性巖石材料的微裂紋損傷特性[J].應用力學學報，2013（2）：7-13.