多維VG過程下的一籃子期權定價

杜子平　邱虹

【摘 要】 一籃子期權屬于多標的資產的一個投資組合期權。由于不能明確地知道股票間的相依結構，因此一籃子期權的定價結果需要采用逼近或者通過Monte Carlo數值仿真的方法獲得。經典的Black & Scholes模型不能描述對數收益率“尖峰厚尾”等特征，而Variance Gamma（VG）過程卻能很好地擬合觀測到的對數收益率。文章提出了一種在多維VG過程下的一籃子期權的定價方法。一籃子中的股票價格是由帶有共同Gamma從屬因子的變時幾何布朗運動構造的。選取德國DAX指數進行檢驗，結果表明多維VG過程可以很好地匹配德國DAX指數的市場觀測值。

【關鍵詞】 一籃子期權； Lvy過程； 多維VG過程

中圖分類號：F831.59 文獻標識碼：A 文章編號：1004-5937（2015）23-0064-05

一、引言

如今，多資產衍生品的交易量日益增多，一籃子期權就是金融市場上一類新型的多資產期權，是多標的資產的一種投資組合，經常用來對一籃子資產進行套期保值，其收益是由一籃子標的資產的加權算術平均價格來決定，并且比單一資產進行投資組合所花的費用更少。由于投資者追求風險最小化，故對這種投資組合分散化的期權進行定價研究有一定的現實意義。

1973年Black & Scholes提出了經典的期權定價理論，同年Merton利用偏微分方程求解期權定價公式的解。其假定標的資產服從幾何布朗運動，此種方法給出了封閉形式下的vanilla期權定價公式。但現實中的金融市場可能由于突發戰爭、國家發生政治經濟等政策變化、人為投機事件以及投資者心理變化導致金融市場發生跳躍現象，使得金融時間序列呈現“尖峰厚尾”非高斯、非對稱的特征。故Black & Scholes模型（下文簡稱B-S模型）出現“波動率微笑”定價偏差。因此本文引進一個更加靈活的Lvy過程來描述金融市場的信息。

國內方面，奚煒（2003）在期權定價解析解的基礎上，用恒生指數期權進行實證分析，結果顯示VG期權定價模型比傳統的B-S模型更能準確地描述金融市場，是一種理想的改進模型。劉國光等（2006）通過Lvy過程中的NIG模型和VG模型對中國市場中的滬深股指收益分布特征與國外主要的股市股指收益分布特征進行擬合對比分析。劉志東等（2010）利用標準普爾500指數、上證綜指、恒生指數，在不同Lvy過程下進行參數估計，并給出符合現實環境的解釋。

基于當前的研究現狀，本文利用多維VG過程對一籃子期權進行定價，并通過德國DAX指數對模型進行檢驗。

二、模型

（一）B-S模型

1973年，金融學領域的一個重大突破是由學者Fischer Black和Myron Scholes利用連續時間數學發展出看漲期權定價模型。他們發表了《期權定價與公司債務》（The pricing of option and corporate liabilities）。該模型對交易員定價和對沖期權的方式產生了極大影響，也對過去20年金融工程的發展和成功起了關鍵性作用。1997年，Myron Scholes和Robert Merton被授予諾貝爾經濟學獎。令人惋惜的是，Fischer Black在1995年去世，否則他無疑也是該獎項的獲得者之一。

B-S期權定價公式，即無收益資產歐式看漲期權的定價公式為：

C=P×Nr（YA）-Se-Rft×Nr（YB）

其中：YA=[In（P/S）+Rft+σ2 t/2]σt1/2

YB=[In（P/S）+Rft-σ2 t/2]σt1/2

式中，Rf為無風險利率（投資者可通過購買無違約風險的政府債券獲得），與期權價格正相關；P是標的資產的現行市場價值（價格），與期權價格正相關；σ表示標的資產價值的波動程度，由收益率的方差（σ2）或標準差（σ）來測度，與期權價格正相關；S是期權合約的行權價格，與期權價格負相關；t為期權到期日距離現在的時間長度，與期權價格正相關。In代表以e為底的對數運算，而Nr代表正態累積概率密度函數，測度正態分布隨機變量等于或小于Y的概率。

B-S模型是在有效市場的假說下，假定一個連續變化的資產價格在未來任何時刻都服從對數正態分布。也就是，其假定資產的價格服從布朗運動，是一個連續隨機過程。由于對數正態分布本身有完美的數學特征：均值和方差可唯一確定分布函數，同時還具有可加性，因此標準布朗運動和對數正態分布在資產定價中廣泛使用。然而，更多的實證分析可得，資產收益率的經驗分布是“尖峰厚尾”，這是由于金融市場中某些特殊事件引發不正常的突發事件。Lvy過程以法國數學家Paul Lvy命名，因其假設條件相對比較寬松，能同時描述連續和跳躍過程，故筆者引入其來描述標的資產的“尖峰厚尾”和“非對稱”特征，更加符合現實結論。

（二）VG過程

Merton（1976）建立了跳—擴散模型，Kou（2002）提出了一種可以替代Merton模型的雙指數跳躍模型（Kou Model），這兩個模型都是有限活動Lvy過程。Kou模型相比Merton模型的優勢在于，具有指數隨機變量的無記憶特性。以下為無限活動純跳躍Lvy過程：Madan & Seneta（1990）研究了澳大利亞股票市場的數據，提出了VG過程；Barndoff-Nielsen（1997）建立了正態逆高斯模型（Normal Inverse Gaussian Processes，NIG過程）為主要代表的廣義雙曲線過程（Generlized Hyperbolic）；Schoutens & Teugels（1998）在文獻中介紹了Meixner過程。Carr（2002）等提出的CGMY模型是以Carr、Geman、Madan和Yor命名的，許多學者也將此分布族稱為KoBoL族。Rachev（2005）、Rosiski（2007）研究發現帶跳的金融市場，資產收益率尾部往往是在正態分布和穩態分布之間，因此修正了穩態分布，建立了高效的調和穩態Lvy過程（tempered stable processes）。其中VG過程和CGMY模型都是調和穩態Lvy過程的特例。

Madan & Seneta（1990）提出了VG過程，其作為股票收益率的一種來構建對數定價模型。這種模型的選擇是在研究澳大利亞股票市場的數據時得出的。它是以Gamma過程為從屬過程進行累加驅動的，通過變時后作用于標準布朗運動而得到新的布朗運動，且Gamma過程是無限可分的。

VG過程是金融領域中使用最廣泛的一種Lvy過程，也稱為貝塞爾函數分布（Bessel function distribution），是典型的無限純跳過程。利用偏度（skewness）和峰度（kurtosis）來描述厭惡風險的程度和厚尾分布等特征。VG過程的特征三元組為（σ，？自，？茲），分別表示布朗運動的波動率、Gamma過程在任意時刻變化的方差率以及布朗運動的線性漂移率。

VG過程的定義如下：

假定正態分布下，股票j的隱波動率記為σBLSj ，在VG模型下，VG隱波動率記為σVGj ，j=1，2，…，n。圖2對B-S模型、VG模型和德國DAX指數交易的市場價格進行對比，可以觀察到相比B-S模型，VG過程更能準確地捕捉到德國DAX指數分量的動態結構。

四、結論

經典的B-S模型是在完備市場下，假定一個連續變化的資產價格在未來任何時刻都服從對數正態分布，即假定資產的價格服從幾何布朗運動，但更多的實證分析表明，金融市場存在著跳躍，資產收益率具有“尖峰厚尾”“波動聚集”“杠桿效應”等特征，而B-S模型不能對其進行準確描述。Lvy過程具有左極限右連續性質，能夠描述數據分布的跳躍與偏峰特點，能夠用小跳躍代替連續擴散。由于籃子資產間復雜的相依結構，使得一籃子期權在定價效率和精度上仍存在很大困難，故本文利用Lvy過程中接受度較高的VG過程，給出了一籃子期權在多維VG過程下的定價方法，并通過德國DAX指數作為現實數據進行檢驗，結果表明相比B-S模型，多維VG過程更能準確地擬合德國DAX指數期權，在期權定價領域具有優越性。

【參考文獻】

[1] TANKOV P. Financial modelling with jump processes[M].CRC press，2003：64-94.

[2] MANDELBROT B B. The variation of certain speculative prices[J]. The Journal of Business，1963，36（4）：371-418.

[3] MADAN D B，SENETA E.The VG model for share market returns[J].The Journal of business，1990，63（4）：511-524.

[4] LUCIANO E， SCHOUTENS W. A multivariate jump-driven financial asset model[J]. Quantitative finance，2006，6（5）：385-402.

[5] KAAS R， DHAENE J， GOOVAERTS M J. Upper and lower bounds for sums of random variables[J]. Insurance：Mathematics and Economics，2000，27（2）： 151-168.

[6] VANDUFFEL S， HOEDEMAKERS T， DHAENE J. Comparing approximations for risk measures of sums of nonindependent lognormal random variables[J]. North American Actuarial Journal，2005，9（4）： 71-82.

[7] XU GUOPING， ZHENG H. Lower bound approximation to basket option values for local volatility jump-diffusion models[J]. International Journal of Theoretical and Applied Finance，2014，17（1）：1-15.

[8] 奚煒.VG期權定價模型的一種解析表達及評判檢驗[J].系統工程理論方法應用，2003（1）：49-52.

[9] 劉國光，王慧敏.基于純粹跳躍利維過程的中外股票收益分布特征研究[J].數理統計與管理，2006（1）：43-46.

[10] 劉志東，陳曉靜.無限活動純跳躍Lvy金融資產價格模型及其CF-CGMM參數估計與應用[J].系統管理學報，2010（4）：428-438.

[11] RACHEV S T， MENN C， FABOZZI F J. Fat-tailed and skewed asset return distributions： implications for risk management， portfolio selection， and option pricing[M]. John Wiley & Sons，2005.

[12] Rosiski J. Tempering stable processes[J]. Stochastic processes and their applications，2007，117（6）：677-707.