基于 Layerwise 理論的共固化粘彈阻尼復合材料動特性分析

基于Layerwise理論的共固化粘彈阻尼復合材料動特性分析

徐超1，林松1，王立峰2，王建月2

(1.西北工業大學航天學院，西安710072；2. 航天材料及工藝研究所，北京100076)

摘要：共固化粘彈性復合材料兼具結構承載和阻尼減振功能。針對傳統的混合單元法在應用于粘彈性夾層復合材料結構阻尼性能分析時存在著前處理困難、計算規模大、精度低以及難以考慮正交各向異性鋪層自身損耗能力的缺點，推導了一種基于Layerwise離散層理論的四節點四邊形復合材料層合板單元，并利用直接復特征值解法建立了共固化粘彈性復合材料結構的阻尼性能分析方法。將該方法應用于不同的阻尼結構，分析結果與文獻中已公開結果和混合單元法的計算結果進行了對比驗證。結果表明，基于離散層理論的層合板單元具有計算精度高、前處理建模簡單和計算規模小的優點，可有效應用于復雜共固化粘彈性復合材料結構的阻尼性能分析和設計。

關鍵詞：粘彈性；復合材料；離散層理論；有限元

中圖分類號:V414文獻標志碼：A

基金項目：中國博士后科學基金面上資助項目(2013M530192); 上海市博士后科研資助項目(12R21413800)

收稿日期：2013-11-18修改稿收到日期：2014-01-02

Layerwise dynamic analysis of composite laminates with co-cured viscoelastic damping layers

XUChao1,LINSong1,WANGLi-feng2,WANGJian-yue2(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072, China； 2. Aerospace Research Institute of Material and Processing Technology，Beijing 100076，China)

Abstract:The Co-curing of thin viscoelastic damping materials in the composite laminates can improve their structural damping with less loss of stiffness and strength. However, classic numerical simulation of the damped structures by using hybrid finite element method demands a cumbersome computational work, especially for complicated layered structures. A new 4-node quadrangular plate finite element based on the discrete layerwise plate theory was developed for dynamics analysis of composite laminates with co-cured viscoelastic layers. The natural frequencies and modal loss factors of different viscoelastic damped laminated beams, cylindrical shells and stiffened plates were derived. The results show that the proposed model can correctly describe the high shear pattern developed inside thin viscoelastic layers and provide results with less computational work.

Key words:viscoelasticity; damped composite; discrete layerwise theory; finite element analysis

先進纖維增強復合材料因其突出的比強度、比剛度和可設計性強等優點，已成為航空、航天飛行器的一種主要結構材料。復合材料自身的損耗因子比金屬材料高約1~2個數量級，但其作為結構使用時，多采用整體化成型工藝制造，因而裝配結合面大為減少，界面摩擦損耗能力減弱，整體結構阻尼值并不高，在實際使用中仍顯偏低[1]。共固化粘彈性復合材料是一種新型的結構阻尼復合材料。所謂共固化，是指在纖維增強復合材料成型工藝過程中，將高分子粘彈性材料作為特定的鋪層嵌入層合結構中去，然后共同固化成型[2]。它的最大特點是經過共固化處理，粘彈性阻尼材料與結構復合材料合為一體，既充分利用了粘彈性材料的高損耗能力，又不顯著降低復合材料的剛度和強度性能，還能利用復合材料的可設計性進行“事前”阻尼設計，達到了結構承載和阻尼減振功能一體化的目的。

一般說來，粘彈性阻尼材料的模量較復合材料鋪層低約4~5個數量級，作為夾層嵌入層合結構中后，受到相鄰剛度較大的彈性層變形約束，發生剪切變形，通過分子鏈段間的摩擦耗散振動能量。分析共固化粘彈性復合材料的阻尼性能必須要考慮阻尼層的剪切變形以及沿厚度方向材料的不均勻性。通用有限元軟件中的層合板、殼等結構單元多是基于經典層合板理論或一階剪切變形理論，前者忽略了層合板的橫向剪切變形，而后者未能考慮橫向剪切變形沿板厚方向分布的不均勻性，忽略了粘彈性材料層高剪切變形的事實，因而都不能很好的用于共固化粘彈性復合材料阻尼性能的分析[3]。目前，工程中一般采用“混合單元法”進行阻尼結構的分析和設計[4-6]，即采用三維實體單元描述阻尼層的剪切變形，采用傳統的層合板殼單元描述復合材料彈性層，板殼單元和實體單元之間通過定義節點偏置或多點約束方程相聯系。張少輝等[4]對復合材料彈性層也采用實體單元模擬，應用全三維實體模型和模態應變能法分析了共固化粘彈性復合材料結構的損耗因子。徐超等[5]應用混合單元法對衛星飛輪支架進行了共固化阻尼減振設計。林松等[6]應用混合單元法和多目標遺傳算法建立了共固化粘彈性復合材料的阻尼/結構一體化設計方法。混合單元法在實際應用中主要存在三大不足：一是隨著阻尼層數增多，有限元模型規模驟增，建模前處理困難，計算耗費巨大；二是阻尼層厚度較小，體單元長厚比大，計算誤差較大；三是修改阻尼層厚度或插入位置時需要進行有限元網格重構，不易于進行優化設計。

Reddy[7]提出的Layerwise離散層理論是描述復合材料層合結構力學行為的精細理論。基于Layerwise理論的結構單元已被成功用于層間應力計算、損傷預測等復合材料力學問題中。它在統一的位移場描述下，獨立地考慮各層的變形，并通過引入層間位移連續性假設，將三維問題退化為二維問題，計算建模簡單，易于進行優化設計。文獻[8]基于Layerwise理論推導了多層阻尼梁單元的有限元列式，分析了共固化粘彈復合材料平面梁的阻尼性能。本文基于Layerwise板理論，推導一種四節點四邊形等參數板單元，將其應用于共固化粘彈性復合材料層合結構固有頻率和阻尼性能的分析，并通過與文獻中已有結果和傳統分析方法的對比驗證方法的有效性。

1基于Layerwise理論的復合材料層合板單元

根據Reddy的Layerwise理論，首先將復合材料層合結構沿厚度方向分為若干層。各層既可以是真實物理材料層，也可以是由多個材料層構成的等效層或者把單層材料再離散的數學意義上的數值層等。為準確分析復合材料結構的阻尼性能，要把嵌入的各粘彈性材料層劃分為單獨層。然后將劃分后的每一層視作考慮面內、彎曲和橫向剪切變形的Mindlin板，且各層之間滿足位移連續條件[9]。基于Layerwise理論推導有限元單元時，引入如下計算假設：①忽略層板橫向正應變的影響；②各層內材料均勻，且符合線彈性或線粘彈性假設；③考慮各層的平動質量和轉動慣量。

1.1位移場

如圖1所示，將層合板沿厚度方向劃分為n層，各層厚度為hk(k=1，…n)。取k=1層中面所在平面為參考面，建立正交坐標系oxyz，其中z軸沿板厚度方向，oxy位于參考平面內，u，v，w分別為各層沿坐標軸方向的位移，θx，θy分別為各層法線繞x，y軸的轉角，zk[-hk/2，hk/2]為各層z向的局部坐標。

圖1　Layerwise板的位移場 Fig.1 Displacement field of the Layerwise plate

按照Layerwise理論和計算假設(1)，復合材料層合結構中第k(k≥2)層的位移場{u}k為

{u}k=

(1a)

第k=1層的位移場與通常的Mindlin板相同，即

(1b)

(2)

這樣，第k層的位移場可記為

{u}k=[N]kg0gggggg

(3)

式中，矩陣[N]k為

[N]k=

1.2應變場

(5)

其中，

式中，M、C、B和S分別表示膜(membrane)、耦合(coupling)、彎曲(bending)和橫向剪切(transverse shear)應變項。

因此，各層的應變場可表示為

(7)

(8)

(9)

即重新排列后的應變可表示為

{ε}k=[B]kg0gggggg

8×18×(2n+3)(2n+3)×1

(10)

1.3應力場

仍按式(8)的排列形式，根據應力-應變物理方程和假設(2)，應力場{σ}k為

{σ}k=[D]k{ε}k

8×18×88×1

(11)

式中，[D]k為物理矩陣。

對于各向同性不可壓粘彈性阻尼材料，通常采用復模量模型描述其本構關系，即材料彈性模量為

E*=E(1+jβ)

(12)

1.4應變能和動能

層合結構的應變能表示為各層應變能的疊加，利用式(10)和式(11)，在待求域Ωk上積分可得

(13)

層合結構的動能可表示為各層動能的疊加，即

(14)

(15)

1.5四節點四邊形等參數板單元

由式(3)可知，廣義位移場為二維坐標x,y的連續函數。為求得廣義位移場，按照有限元法基本思想，將求解域離散化為四邊形等參數單元組成的有限元計算模型，每個單元有四個節點，如圖2所示，其位移插值函數和等參坐標變換函數均為[10]

(i=1,...,4)

(16)

將每個單元節點處參考平面上3個平動位移和各層法線繞坐標軸的轉角取為節點位移，則每個單元節點自由度的數目為4×(2n+3)=8n+12。可見，單元層數分的越多，單元矩陣的維數就越大。

圖2　四節點等參單元局部與參數坐標系 Fig. 2 Local and natural coordinate system of 4 node quadrilateral element

(17)

進一步，將式(17)代入式(13)和式(15)，并在單元子域上計算，可得單元應變能和動能的表達式，再應用Hamilton原理，最終可得單元剛度矩陣和質量矩陣分別為

(18)

(19)

其中，[B]k是單元第k層的幾何矩陣

[B]k=[B]k[N]

(20)

[J]k是單元第k層的一致慣性矩陣

[J]k=ρk[N]Tk[N]k

(21)

2系統運動方程

式(18)、(19)定義的單元剛度矩陣和質量矩陣是定義在單元坐標系下的，將其進行坐標變換至結構整

體坐標系下，并組裝可得系統自由振動的運動微分方程為

(22)

式中，[M]為總體質量矩陣，[K]為總體剛度矩陣，{di}為結構全局節點自由度向量。

(23)

(24)

本文用Matlab編寫了相應有限元求解程序，并采用eigs函數直接求解式(22)的復特征值問題[11]。

3數值驗證和結果分析

3.1粘彈性阻尼夾層懸臂梁

為驗證本文的分析方法和程序，以文獻[12]給出的粘彈性阻尼夾層懸臂梁解析模型為對象，該梁平面尺寸為177.8 mm×25.4 mm，上、下彈性層及阻尼夾層的厚度及材料參數見表1所示。

表1　粘彈性阻尼夾層梁材料參數

表2　粘彈性阻尼夾層懸臂梁固有頻率和損耗因子

采用本文的Layerwise板單元和分析方法，將夾層梁用四邊形板單元離散，長度方向單元數14，寬度方向為2，厚度方向離散為3層。表2給出了針對該模型的六階梁理論解析解[12]，文獻[13]采用三維實體單元建模的有限元解以及本文的分析結果。

由表2可知，無論在粘彈性阻尼材料低損耗因子還是高損耗因子的情況下，基于Layerwise理論的板單元都能準確描述阻尼材料的剪切變形和結構的動剛度特性，所給出的固有頻率和模態損耗因子的計算結果都與文獻中已公開結果符合很好，說明本文單元和分析方法可以用于分析粘彈性阻尼夾層結構的固有頻率和阻尼特性。

3.2共固化粘彈性復合材料層合圓柱殼

分析文獻[14]中的共固化粘彈性復合材料層合圓柱殼的阻尼性能。圓柱殼體的幾何尺寸如圖3所示。殼體固支ABCD面，鋪層為[(02/902)/V/(902/ 02)]，其中V表示粘彈性阻尼層。正交各向異性鋪層單層厚度為0.25 mm，計算時同時考慮復合材料自身的損耗能力，具體材料參數為：E1=119 GPa，E2=8.67 GPa，μ12=0.31，G12=G13=5.18 GPa，G23=3.9 GPa，ρ=1 570kg/m3，η11=0.118%，η22=0.620%，η12=η13=0.812%，η23=0.846%。

粘彈性阻尼材料層厚度為0.25 mm，材料參數為：E=4.25 MPa,ν=0.49,ρ=968.8 kg/m3,β=1.56。

圖3　共固化粘彈性復合材料層合圓柱殼幾何尺寸 Fig.3 Geometry and configuration of cylindrical composite blades with co-cured viscoelastic layer

表3　共固化粘彈性復合材料圓柱殼固有頻率和損耗因子

取Layerwise板單元網格密度為16×8，厚度方向離散為3層，其中粘彈性阻尼材料層為單獨層，上下層合板分別考慮為等效層。表3給出了無阻尼層和共固化粘彈性復合材料層合圓柱殼固有頻率和模態損耗因子的計算結果，并與文獻[14]，以及傳統的采用混合單元法建模使用MSC.NASTRAN直接復特征值分析(SOL107)得到的結果進行了對比。

需要注意的是，圓柱殼為曲面殼體，采用混合單元法建模時，等效板單元節點偏置定義需保證其沿當地曲面的法線方向，而這對復雜曲面殼體而言非常繁瑣。采用layerwise板單元時，只需將參考面按通常的平面單元離散，各層的位置和材料屬性轉化為物理參數輸入，從而大大簡化了前處理的過程，這對復雜形狀結構和嵌入多阻尼層的情況是極方便的。此外，通用有限元軟件中往往不支持考慮復合材料自身各向異性的損耗能力，而在Layerwise板單元，可將各層的彈性系數都考慮為復剛度形式，從而能夠有效的計算復合材料自身的損耗能力。

由表3結果可知，只考慮復合材料自身損耗能力的情況下，本文計算的前四階模態的固有頻率和損耗因子的結果與文獻[14]都符合很好，證明了Layerwise平板單元模擬曲面殼體動態特性的能力。共固化粘彈性阻尼材料層后，結構各階模態固有頻率變化不大，但模態損耗因子卻增大了約1個數量級，表明嵌入阻尼層能顯著增大復合材料層合結構的阻尼性能。對比嵌入阻尼層后的損耗因子分析結果，本文的計算結果與SOL107解法獲得的結果較符合，但與文獻[14]的差別近1倍。這主要是因為文獻[14]是采用的模態法求解結構阻尼特性，而在此過程中，需要用到無阻尼結構的振型矩陣以進行物理空間和模態空間的坐標變換。在材料損耗因子較小的情況下，無阻尼結構的實特征值解與有阻尼結構的復特征值解差別較小，而在大損耗因子的情況下，這種近似則可能會導致較大的誤差。為進一步驗證上述結論，使用MSC.NASTRAN的模態復特征值解法(SOL110)分析算例問題，結果也列于表3中。可見，使用SOL110求解序列獲得結果與文獻[14]吻合的很好，從而說明本文計算結果與文獻[14]的誤差主要是由于所采用的復特征值解法不同造成的。進一步結合3.1節中與解析解的比對可知，模態解法通常僅適用于材料損耗因子較低的情況，在材料高損耗因子的情況下，直接法獲得的結果更為可信[15]。

3.3共固化粘彈性復合材料加筋板

加筋板是航空航天飛行器上廣泛采用的薄壁結構形式。考慮一四邊簡支的復合材料加筋板，面板尺寸為500 mm×450 mm，面板鋪層為[0/45/-45/90/V/90/-45/45/0]T，其中V表示粘彈性材料阻尼層，單層鋪層厚度為0.2 mm；沿長度方向有兩對稱分布筋條，間距為150 mm，高度為20 mm，筋條全為0度鋪層，總厚度為2 mm。各向異性鋪層材料屬性與3.2中相同。分別計算阻尼層厚度tv=0，0.2 mm, 0.5 mm時加筋結構的阻尼性能。取Layewise板單元模型網格密度為25×24，厚度方向分為3層。

需要注意的是，對于復雜復合材料阻尼結構，混合單元法中采用三維實體單元模擬阻尼層，采用基于經典層合板理論的普通板單元模擬彈性層以及筋條，兩者之間需定義多點約束方程進行連接，前處理過程較為繁瑣；而采用Layerwise板單元時，只涉及四邊形板單元，可按傳統的板單元建模方法構造模型。而且，兩者模型形成的計算規模也有差別，阻尼層厚度較薄時，為了減小實體單元的長厚比(本例中取10：1)，網格密度需取得很密，結構矩陣維數很高，而Layerwise板單元在較疏的網格密度下就可取得滿意的精度。從面向優化設計應用的角度看，使用混合單元時，若修改阻尼層厚度，需要改變實體單元節點坐標，導致有限元網格的重構；而使用Layerwise板單元時，阻尼層的材料參數和各層厚度都是物理參量，對它們進行修改時與有限元網格無關，大大方便了優化設計。

表4　復合材料加筋阻尼板固有頻率和損耗因子

表4中對比了本文的分析結果與采用MSC.NASTRAN混合單元法分析的結果。由表4可知，當tv=0時，本文的分析結果與NASTRAN的分析結果非常符合，并且本文的分析還能給出僅考慮正交各向異性鋪層損耗因子時的復合材料結構的阻尼性能。當tv=0.2 mm和0.5 mm時，隨著阻尼層厚度的增大，各階模態的固有頻率下降，損耗因子顯著增大，兩類方法預測的阻尼值和變化規律都一致，再次證明了本文方法的有效性。

4結論

本文利用Layerwise離散層理論推導了可用于共固化粘彈性層合結構阻尼性能分析的四節點四邊形等參數板單元，應用該單元分析了典型粘彈阻尼結構的固有頻率和模態損耗因子，并與文獻已公開結果和傳統分析方法進行了對比驗證。結果表明：

(1)基于Layerwise理論構造的復合材料層合板單元能夠正確描述阻尼層的高剪切變形，計算精度好且能夠考慮各向異性彈性層自身的損耗能力，可應用于共固化粘彈性復合材料結構性能的分析。

(2)相比于傳統的混合單元法，應用本文的層合板單元對復雜阻尼結構進行分析，能夠大大簡化前處理建模過程，計算規模也較小。

另外，采用層合板單元避免了傳統方法在鋪層順序或阻尼夾層厚度改變時需要重構有限元往網格的問題，可方便的推廣于粘彈性阻尼復合材料結構/阻尼的一體化設計。

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《振動與沖擊》入選中國精品科技期刊

近日，國家科技部中國科學技術信息研究所公布第3屆中國精品科技期刊遴選結果和2014 年度“領跑者5000——中國精品科技期刊頂尖論文(F5000)”收錄情況。《振動與沖擊》作為中國精品科技期刊頂尖學術論文(F5000)項目來源期刊，有20篇論文入選F5000。自2012年以來，《振動與沖擊》共有50篇論文被評為F5000論文。

中國精品科技期刊頂尖學術論文(F5000)是由中國科學技術信息研究所于2012年底啟動，每年評選一次。中國科學技術信息研究所從300多家中國精品科技期刊近5年發表的論文中評選出“領跑者5000——中國精品科技期刊頂尖學術論文”，以集中展示和交流我國的頂尖學術論文。通過“領跑者5000——中國精品科技期刊頂尖學術論文平臺(F5000)”與國際和國內重要檢索系統鏈接，并利用WOK國際檢索平臺與SCI數據庫在同一平臺內實現鏈接和國際引文檢索，向世界和科技界同行展示和推廣我國最重要的科研成果，擴大中國學術期刊和出版機構的國際影響。

第一作者裴亞魯男，碩士生，1990年1月生

通信作者張志誼男，博士生導師，1970年11月生

郵箱：chychang@sjtu.edu.cn