人－橋動力相互作用下側向振動的動力放大系數分析

人-橋動力相互作用下側向振動的動力放大系數分析

宋志剛，張堯

(昆明理工大學土木工程學院，昆明650500)

摘要：從社會力模型和人橋相互作用的機理出發研究了柔性人行橋在人橋相互作用下側向振動的動力放大系數。首先將人行激勵分解為固有側向力和附加側向力，分別采用傅里葉級數模型和社會力模型表示上述側向力，從而建立考慮負阻尼的強迫振動模型。結合該模型推導出動力放大系數的表達式，在此基礎上給出了基于動力放大系數的結構動力響應的簡化計算方法。最后，結合某人行橋結構，對比分析了采用建議的估算方法與時程模擬結果的差異，證實了簡化計算方法的有效性。

關鍵詞：人行橋；側向振動；人橋相互作用；動力放大系數；動力響應估算

中圖分類號:TU311.2; TU112.2文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金(11132002，10972014);優秀博士培育基金( YB20091000502);內蒙古農業大學科技創新團隊計劃項目(NDTD2013-6)

收稿日期：2013-08-20修改稿收到日期：2013-12-19

Analysis of the dynamic amplification factor of latetral structural vibration induced by crowd-bridge interaction

SONGZhi-gang,ZHANGYao(Department of Civil Engineering, Kunming University of Science & Technology, Kunming 650500, China)

Abstract:Depending on the social force model and the mechanism of crowd-bridge interaction, the lateral dynamic amplification factor of flexible footbridges was studied. The lateral step force induced by pedestrian was divided into two parts, namely the intrinsic lateral force and additional lateral force. Representing the two parts of forces by Fourier series and social force respectively, the motion equation of footbridge was set up with the consideration of negative damping. The expression of dynamic amplification factor was derived from the structural motion equation. Then a simplified method for estimating structural responses was proposed according to the relationship between structural responses and the dynamic amplification factor. The peak displacement and acceleration of a concrete footbridge were calculated by using the simplified method and the conventional time history analysis respectively. The results of the two methods were compared with each other, and the effectiveness of the simplified method was validated.

Key words:footbridges; lateral vibration; crowd-bridge interaction; dynamic amplify factor; dynamic response estimation

大跨人行橋人致側向動力失穩問題引起了廣泛關注。在英國倫敦千禧橋[1-2]和日本T橋[3-4]等一些大跨人行橋上均觀測到了人橋相互作用引起的過大側向振動。Dallard等[1-2]和Nakamura等[3-4]分別在對千禧橋和T橋的觀測和實驗基礎上提出了帶有經驗參數的負阻尼模型，解釋了人行橋結構側向動力失穩的原因，并推導出失穩時的臨界人數表達式。Roberts[5]由行人的人體側向運動方程推導出人橋相互作用力，提出了理論模型。Newland[6]將人橋相互作用力分為兩部分，分別由行人和橋面運動產生。

根據以上負阻尼理論的基本思想，本文針對低密度人群過橋情況，提出了考慮人橋相互作用的負阻尼模型。低密度穩態人流過橋時，人群中每個行人都有足夠的行走空間，其步頻和步幅不受周圍其他行人影響，可以忽略人-人相互作用。行人側向步行力使結構產生強迫振動，引起了行人行走路線的改變，與之對應的人體重心移動反過來又導致了行人側向步行力的改變。因此，本文將行人側向步行力劃分為兩部分。一部分稱作固有側向力，由行人在固定橋面上行走產生，另一部分稱為附加側向力，即上述人體重心移動所引起的側向力改變量。固有側向力可運用傅里葉級數近似表示，附加側向力可通過社會力模型表示為負阻尼力，從而可以建立用于振動分析的負阻尼模型。繼而由該模型推導出結構側向振動的動力放大系數表達式。

1側向力模型

1.1側向步行力劃分

本文以簡支梁作為大跨人行橋的計算模型。設一人行橋質量沿橋長均勻分布，單位長度內為mb，且阻尼和側向抗彎剛度沿橋長為定值，分別為c和EI。人行激勵作用下結構的運動方程為

(1)

式中，w表示側向撓度，xi0、vi和pi(x,t)分別為行人i的初始位置、行走速度和步行力函數，δ(·)為單位脈沖函數，形式為：

(2)

行人在振動橋面上行走時，身體重心的移動可分為兩部分，一部分由左右腳交替引起，另一部分由橋面運動引起，如圖1實線所示。與之對應將(1)式中行人i的側向步行力分為兩部分

pi(x,t)=pii(t)+pia(x,t)

(3)

pii(t)和pia(x,t)分別稱為固有側向力和附加側向力。

圖1　運動橋面上行人重心的移動 Fig.1 Body gravity centre movement on vibrating deck

1.2固有側向力

圖2　運動表面上 期望速度方向的偏轉 Fig.2 Desired velocity deflection on vibrating deck

在固定橋面上行人行走路線為直線。固有側向力即由重心在左右腳之間交替移動所產生。本文以傅里葉級數作為固有側向力模型[7]，其表達式為

pii(t)=

(4)

式中，Wi為行人i的體重，fi為側向步頻，亦即0.5倍步頻，這里假設行人的質量為70 kg，側向步頻服從均值為0.925Hz，標準差為0.075的正態分布，k表示步行力諧波階數，DLFk為第k階諧波動荷因子，θik為行人i的k階諧波相位。取前五階諧波，各階諧波動荷因子按文獻[7]的實驗結果取值，見表1。并且認為θik服從[0,2π]的均勻分布。

表1　固有側向力前五階諧波動荷因子

1.3附加側向力

在振動橋面上，行人重心隨橋面運動而移動(如圖1虛線所示)。附加側向力由該部分重心移動所產生，其表達式通過社會力模型推導獲得。

Helbing等[8]提出的社會力模型，在模擬人群運動行為中有廣泛應用。根據社會力模型，可將人群看作若干個體組成的多體動力系統，其中每個行人受到三種作用力，分別為行人朝目標區域行進的驅動力、周圍其他行人對其產生的社會力、以及周圍邊界(或障礙物)對其產生的邊界力。以上三種力服從牛頓第二定律，于是行人i的受力平衡方程為

(5)

式中，mi、vi(t)為行人i的質量和運動速度矢量，Fij為行人j施加給i的社會力矢量，Fiw為邊界(或障礙物)w施加給i的邊界力矢量，Fi為行人i的驅動力矢量。假設在低密度人群中,每個行人都有足夠的自由行走空間，其行走速度和步態不受周圍行人或邊界(障礙)影響，故忽略式(5)等號右邊的后兩項得

(6)

驅動力矢量的表達式為

(7)

式中，voi為行人i的期望速率，e(t)為期望矢量方向，τ為張弛時間，表示行人對橋面運動做出反應的時間，其值可取0.42 s[8]。現假設行人i位置x處的橋面以速度vb(x,t)發生側向振動，此時行人為調整重心以保證原有的運動方向，其期望矢量方向會隨橋面運動而發生偏轉，如圖2所示。根據矢量合成法則，式(7)可寫為，

(8)

根據作用力與反作用力原理，橋面所受該力的反作用力即為附加側向力。考慮結構側向振動位移與速度的微分關系，可將附加側向力表達為

(9)

式(9)中結構振動速度方向與位移方向相同，于是改為標量表示。

2動力放大系數推導

將式(4)和式(9)代入運動方程(1)，并引入廣義坐標，

(10)

式中,φj表示第j階振型，Zj為廣義位移。將式(1)解耦得到

(11)

式中，ξj為廣義阻尼比，Mj、Fj和ωj為廣義質量、人行激勵函數和結構自振頻率，表達式分別為式(12)~式(14)。

(12)

(13)

(14)

以上各式中，φj(4)表示振型對x的四階導函數，L為橋長，g為重力加速度，其他符號意義同上。穩態人流(人流密度穩定)通過人行橋時，行人均勻地分布于橋面，且以穩定的速度前進，此時前方行人的位置將馬上被他身后的行人占據。若忽略行人間年齡、性別等差異，則該情況下行人作用于結構的總側向步行力與他們原地踏步時的側向步行力等價[9]。于是可假設行人的位置不變，略去Fj表達式中的vit項，同時假設行人質量沿橋長均勻分布。式(13)簡化為

(15)

將式(15)代入式(11)，經移項化為

(16)

根據文獻[9]，梁式結構的動力響應主要由一階振型支配，且受支撐條件影響較小，故令φ1=sin(πx/L)，并分別代入式(16)，(12)，(14)，整理得

(17)

(18)

(19)

(20)

令rN=N/Ncr，即橋上實際行人數與臨界人數比，于是有

(21)

代入(17)式得

(22)

由式(22)可知，固有側向步行力k階波作用下結構的運動方程為

(23)

根據單自由度體系在簡諧荷載作用下的動力響應[10]，步行力k階波作用下結構的位移幅值為

(24)

(25)

(26)

式中,β為行人側向步頻與結構自振頻率之比。

(27)

結構穩態響應可表達為步行力各階諧波作用下的響應疊加，

(28)

(29)

(30)

定義D為結構的等效動力放大系數，其值為結構總位移幅值除以大小為步行力一階諧波幅值的靜荷載作用于結構所產生的靜位移。

表2　各階諧波峰值響應的相關系數

3考慮人-橋相互作用的動力響應估算方法

由式(26),(27)和(30)可知，動力放大系數主要受結構自振頻率ω1、阻尼比ξ1和橋上行人數量比rN三個參數影響。對于某一人行橋，其ω1和ξ1為定值，人橋相互作用對結構動力放大系數的影響由rN決定。于是可將動力放大系數看作是以rN為自變量的函數，表示為D(rN)，根據上述負阻尼理論，D(0)表示不考慮人橋相互作用的動力放大系數。

由式(29)可知結構位移響應峰值與動力放大系數成正比，動力放大系數比D(rN)/D(0)即為考慮和不考慮人橋相互作用時的結構動力響應峰值之比。據此，考慮人橋相互作用時結構的動力響應峰值即可在不考慮人橋相互作用時的響應峰值基礎上，結合動力放大系數進行估算。

4算例與估算方法正確性驗證

4.1算例

為了說明上述方法的計算步驟并驗證其正確性，現以某座混凝土人行橋為算例，分別通過估算方法和時程模擬方法計算了該人行橋在人橋相互作用下的峰值位移響應，并對結果進行對比。

混凝土人行橋的結構參數以及根據(20)式計算得到的臨界人數如表3所示。

表3　算例的結構參數

4.2本文方法的計算步驟

根據本文提出的估算方法，結合以上算例，可將計算步驟總結如下(這里行人側向步頻取定值0.925 Hz)：

(1)按式(27)計算出頻率比β=1.008，并按式(26)和式(30)計算當rN=0, 0.05, 0.1, 0.15,…, 0.7時的動力放大系數值，再計算動力放大系數比值D(rN)/D(0)；

(2)運用Monte Carlo模擬，以式(22)為計算模型，略去負阻尼項，計算不考慮人橋相互作用時的結構響應。模擬中隨機生成行人側向步行力，可以認為其各階諧波相位服從[0,2π]間的均勻分布。動力響應采用時程分析法計算，取10~15 min間的計算結果作為結構穩態響應；

(3)按第(2)步重復進行1 500次模擬，取各次模擬響應峰值的均值，作為不考慮人橋相互作用的動力響應峰值；

(4)在上步結果的基礎上乘以動力放大系數比D(rN)/D(0)，得到考慮人橋相互作用時的結構動力響應峰值。

4.3與時程分析的結果對比

將上述過程中(2)、(3)步的模擬結果進行擬合，可知不考慮人橋相互作用的結構動力響應峰值與(rN)0.5成正比關系(見圖3，圖4)，與Matsumoto[11]研究得到的人行橋豎向振動規律一致。

圖3　結構峰值位移響應 Fig.3 Structural peak displacement

圖4　結構峰值加速度響應 Fig.4 Structural peak acceleration

用同樣的時程模擬方法，保留負阻尼項，并依次令rN=0.05, 0.1, 0.15,…, 0.7，可以得出考慮人橋相互作用的結構動力響應峰值。將該時程分析結果與上節計算過程得到的估算結果同時繪于圖3，圖4中。

由圖3，4可知，當人數比在0.6以內，簡化方法估算結果與時程分析結果的相對誤差均在10%以內，當人數比為0.7時，結構峰值加速度響應的相對誤差為12%。總體上估算結果略高于時程分析結果，兩方法結果隨rN變化趨勢基本一致，說明上述估算方法正確反映了人橋相互作用對結構動力響應的影響規律。本文建議的估算方法計算步驟較為簡單，相比于時程分析，所需的計算時間大大減少。

5結論

本文研究了人橋相互作用下結構的側向振動，從行人在運動橋面上的行走步態規律出發，結合社會力模型提出了考慮人橋相互作用的側向步行力表達式，并建立了負阻尼模型。由該模型推導了結構側向振動的動力放大系數。在此基礎上給出了運用動力放大系數估算結構動力響應的方法。該方法適用于低密度穩態人流行走激勵下梁式結構的動力響應計算。最后，通過算例說明該方法估算值與時程分析結果基本一致，從而驗證了該方法的有效性。

參考文獻

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第一作者劉飛男，博士，講師，1984年生

通信作者吳斌男，博士，教授，博士生導師，1962年生