阻尼矩陣選取對核電廠結構地震響應的影響分析

阻尼矩陣選取對核電廠結構地震響應的影響分析

李小軍1,3,侯春林2,潘蓉2,周國良2,楊宇2

(1. 北京工業大學建筑工程學院，北京100124； 2.國家環保總局核與輻射安全中心，北京100082；3.中國地震局地球物理研究所，北京100080)

摘要：已有研究表明時程動力法中阻尼矩陣的確定對復雜結構工程的地震響應有明顯的影響，而核電廠安全相關結構在抗震分析時通常采用時程動力法。為研究阻尼矩陣的選取對核電廠結構的地震響應的影響，從比例阻尼擬合的精度出發，基于結構不同振型對結構產生的影響程度入手，建立更為精確的結構阻尼模型，即等效比例阻尼，并進一步考慮結構自振特性以加權最小二乘法擬合確定等效比例阻尼系數，提出了核電廠結構地震響應分析相應的計算方法。計算結果表明，該方法較傳統比例阻尼的方法更接近精確解，是核電工程抗震分析的一個實用參考應用。

關鍵詞：核電廠；抗震分析；阻尼模型；時程動力法

中圖分類號:P315文獻標志碼：A

基金項目：國家科技支撐計劃(2013BAJ08B03)；國家自然科學基金(50978218，51108376)；教育部高等學校博士學科點專項科研基金(20136120110003)；陜西省科研項目(2012K12-03-01，2011KTCQ03-05，2013JC16)

收稿日期：2013-08-26修改稿收到日期：2014-01-02

Effectofdampingmatrixselectiononseismicresponseofnuclearpowerplantstructures

LI Xiao-jun1,3, HOU Chun-lin2,PANRong2,ZHOUGuo-liang2,YANGYu2(1.TheCollegeofArchitectureandCivilEngineering,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China；2.NuclearandRadiationSafetyCentre,MinistryofEnvironmentalProtectionofthePeople’sRepublicofChina,Beijing100082,China；3.InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China)

Abstract:To study the effect of determination of damping matrix on the seismic response of nuclear power plant structures, fitting accuracy of the proportional damping of nuclear power plant structures and the influence of different shape of structures were considered. On this basis, a more precise model, that is, an equivalent proportional damping model was set up. Furthermore, a corresponding method for the seismic response analysis of nuclear power plant structures was proposed based on determining the proportional damping coefficient by weighted least square fitting method. The application and analysis show that the results by the proposed method are closer to the exact solutions than by the method with traditional damping coefficient, and it is suitable for the seismic response of nuclear power plant structures.

Keywords:nuclearpowerplant;seismicanalysis;dampingmodel;time-historymethod

工程結構動力反應過程中存在能量的耗散，并導致外部能量輸入結束后結構由振動狀態逐步衰減到靜止狀態。這種由于阻尼而消耗的能量被稱之為阻尼耗能，阻尼用來描述結構振動過程中某種能量耗散的方式，結構動力分析中阻尼被視為結構與支撐之間的摩擦、材料之間的內摩擦、周圍介質的阻力等引起的振動衰減作用[1]。阻尼是結構抗震分析中一個重要因素，在結構的振動分析中，各種響應函數都包括阻尼這個參數，能否正確設定阻尼，直接影響到結構動力分析結果的可靠性。阻尼選取不恰當時，其阻尼值一個較小的差異可能會導致結構響應上成倍的變化[2,9,14-15]。由于阻尼的本質和表象的復雜性，提出的模型眾多[11-13]，阻尼矩陣的選取也各不相同。針對結構動力時程分析，經過近幾十年的研究，已經提出了多種阻尼表達方式[10]，其中以粘性比例阻尼最為常用，其中最具代表性的有Rayleigh阻尼模型、Cauchy阻尼模型、Clough阻尼模型等。其它比例阻尼模型多是Rayleigh阻尼模型的拓展形式，Rayleigh阻尼模型由于物理關系明確，且Rayleigh阻尼矩陣可通過模態向量正交化為對角矩陣，便于動力方程解耦和顯式計算而得到了廣泛應用。但Rayleigh阻尼矩陣建立方式也不盡相同，有關文獻討論了Rayleigh阻尼矩陣的不同建立方式對大跨橋梁、土石壩等結構動力反應的影響，研究顯示不同阻尼矩陣對計算結果有較大的影響。在核電廠結構抗震分析計算過程中，阻尼矩陣的選取是否合理同樣會影響核電廠結構和設備抗震分析結果，阻尼矩陣的合理選取成為核電廠抗震設防中值得關注的重要問題。要研究阻尼矩陣選取對核電廠結構地震反應的影響，應首先搞清楚核電廠結構地震反應的分析方法。對于安全相關的核電廠結構抗震分析計算，中國《核電廠抗震設計規范》(GB50267-97)[1]規定Ⅰ、Ⅱ類物項的抗震設計可采用等效靜力計算法、反應譜法和時程動力分析法。美國土木工程協會《核電廠結構和安全相關構件的抗震分析》(ASCE4-98)[2]和《標準審查大綱》(NUREG-0800 3.7.2)[3]推薦在核電廠結構響應分析時，可采用時程法、反應譜法、復頻響應分析法和等效靜力法。實際工程經驗中，常使用時程動力法計算核電廠結構的地震反應，以便給出設備的抗震輸入。時程動力法分模態疊加時程動力法和逐步積分時程動力法，逐步積分動力時程法要應用到Rayleigh阻尼矩陣，因此需研究阻尼矩陣選取方法對核電廠結構地震反應的影響。參考已有研究，模態疊加時程法的計算結果可作為研究阻尼矩陣選取對核電廠結構地震反應影響的參考，本文則基于國內三代機組CAP1400的核島結構模型[4]，以模態疊加法動力時程分析結果為參考，研究不同阻尼對核電廠結構地震反應的影響。

1核電廠結構動力時程分析方法及阻尼矩陣的選取

1.1核電廠結構動力時程分析方法

核電廠抗震分析中，常常建立精細的結構動力有限元模型，采用動力時程分析法計算結構的地震反應。在線彈性條件下，核電廠結構體系的地震反應分析動力方程為：

(1)

對于核電廠結構時程動力分析，可選用模態疊加法或逐步積分法進行求解。模態疊加法時程分析是將一個多自由度體系振動分解成不同振型的單自由度體系的振動來求解，單自由度系統的動力響應分析可使用杜哈美精確積分。它要求輸入各振型的阻尼比。這種方法具有運算速度快，阻尼輸入準確等優點。但目前模態疊加時程分析方法僅適用于線彈性狀態下結構時程動力分析，不適合結構的非線性計算。另一類方法是逐步積分時程動力分析方法，采用這類方法可進行結構彈塑性時程動力分析。其積分方法又可分成常加速度法、線性加速度法、Wilson、Newmarkα-β方法等。使用模態疊加動力時程分析時，結構阻尼比類型選擇模態阻尼比。此時，應根據結構物的結構特征及相關的法規規定確定動力分析中的模態阻尼比，規范中規定的各種結構形式的阻尼比即為模態阻尼比。當在動力計算中必須考慮非線性因素時，則只能采用直接積分法進行動力分析，需采用比例阻尼建立合理的阻尼矩陣。

1.2核電廠結構動力時程分析時阻尼矩陣的選取

本文基于ANSYS軟件開展核電廠結構抗震分析中阻尼矩陣的實現及選取方法的研究。在結構分析中，可使用多種阻尼輸入，按不同的命令可分為：ALPHD輸入α阻尼參數；BETAD輸入β阻尼參數；DMPRAT：輸入整個結構的阻尼比ζ；MDAMP輸入與各振型頻率對應的模態阻尼比；DAMP輸入對應于某種材料的材料阻尼系數；與以上幾種命令的輸入對應的ANSYS計算的總阻尼陣C分別為：

(2)

式中：M是結構中有阻尼的材料種類數，n是具有特有阻尼的單元類型數。前兩項是用α與β定義的Rayleigh阻尼，第三項是與整體結構的阻尼比ζ對應的阻尼陣，第四項是材料阻尼，最后一項是一些單元特有的單元阻尼陣。在各種阻尼輸入下，程序計算出的第i 階模態的總模態阻尼比可表示為：

(3)

式中，前兩項是α阻尼與β阻尼對應的模態阻尼比，第三項是輸入的整個結構的阻尼比，第四項是輸入的模態阻尼比，最后一項是m種材料的材料阻尼系數ξ產生的模態阻尼比。

(4)

式中：Ej是第j種材料對應的模態應變能。

當采用模態疊加法進行時程動力分析時，ANSYS對材料阻尼與結構阻尼比直接使用；當采用逐步積分時程動力分析時，最常用也是比較簡單的阻尼是Rayleigh阻尼，核電廠實際工程經驗中也亦常選取Rayleigh阻尼。值得一提的是，在逐步積分過程中可同時使用材料阻尼和Rayleigh阻尼，但計算結果較模態疊加法小很多，盡管整個計算過程阻尼陣可以建立，但計算結果是不準確的，從式(5)求α與β阻尼系數過程即可以得到驗證，因此，在逐步積分時程動力分析中，僅可以使用Rayleigh阻尼。實際計算過程中，ANSYS里分別用ALPHD與BETAD命令輸入α與β阻尼系數以實現Rayleigh阻尼阻尼矩陣的建立。在實際工程計算時，已知結構總阻尼比是ζ，使選用的兩個頻率點上α阻尼與β阻尼產生的等效阻尼比與其相等，就可以求出相應的α與β阻尼系數，計算過程如下：

(5)

可計算得到：

(6)

式中， ω1和ω2為無阻尼的自振頻率。對于自振頻率的定義范圍，一般是應與導致結構反應的頻率范圍相一致，這需要考慮自振頻率特性和輸入地震波的頻譜特性。

實際工程經驗中，結構相對簡單的模型建立阻尼矩陣時可選取振型參與系數最大的兩階振型，即ω1和ω2結構的前兩階頻率；或者當考慮結構自振頻率特性和輸入地震波的頻譜特性時，選取感興趣的兩階頻率，即ω1和ω2為與結構反應一致的頻率段。這兩種方法均是基于兩階陣型頻率建立結構體的阻尼矩陣。對于剛度均勻的體系，一般取相應振動的兩階頻率常可取得合理的結果，對復雜結構體系則需要進一步研究阻尼矩陣對結構體系的影響。已有的研究結果表明阻尼矩陣選取方法不同會對土石壩反應[6]、大跨橋梁[7,14]及超高層結構[7,15]等不同類型結構產生不同程度的地震反應影響。為此，本文開展了不同阻尼矩陣選取對核電廠結構地震響應的影響，并基于已有的阻尼類型提出了一種新的阻尼矩陣的選取方法。

1.3建議的阻尼矩陣確定方法

已有研究表明，各種粘滯阻尼模型的實質都是對結構的各個振型阻尼比的一種擬合[8]，也就是說并不是從物理概念出發，而是從數學處理方法的角度出發，只不過是擬合函數各不相同[9]。基于此，本文提出一個考慮結構自振特性的阻尼矩陣建立方法，并和傳統的阻尼矩陣計算方法進行比較。本文的阻尼實際選取過程如下：對于感興趣的振型頻率ω1,ω2,...,ωn，按其重要性賦給權重為w1,w2,...,wn。通常情況下，頻率越低，這個振型的阻尼設定越重要，因而權重應該按照頻率大小單調遞減。推薦的權重函數是w=1/ω,或者w=exp(-ω)。根據上述參數，Rayleigh阻尼參數α,β 的擬合方法為求解如下最小化的優化問題，即：

(7)

此目標函數為關于α,β 的凸函數，可以看成加權最小二乘擬合。對于這兩種權重，仍需驗證哪一種在實際工程計算中更適用。

2計算分析模型及相關參數

2.1結構模型

圖1　CAP1400機組屏蔽廠房結構 Fig.1 CAP1400 Nuclear Island structures

為分析阻尼矩陣選取方法對核電廠結構地震響應的影響，本文選取CAP1400屏蔽廠房模型，CAP1400核島結構模型包括安全殼廠房(鋼安全殼和安全殼內部結構)、屏蔽廠房(屏蔽廠房和輔助廠房)，這些結構坐落在同一個基礎上。對核島廠房建立三維有限元模型，依據整體電廠的布置，可分為：一個耦合的屏蔽廠房和輔助廠房的有限元模型(簡稱ASB)，一個安全殼內部結構的有限元模型(簡稱CIS)，一個屏蔽廠房屋頂的有限元模型和一個鋼安全殼的軸對稱板殼模型(簡稱ASB)。在CAP1400實際設計分析過程中，這些廠房單獨建模，然后耦合在一起進行抗震分析，而對于底部固定處理的情況下，屏蔽廠房和輔助廠房的有限元模型在抗震分析是可以解耦的，即可以單獨進行抗震分析。本文為分析阻尼矩陣對核電廠結構地震響應的影響，可只選取CAP1400核電廠屏蔽廠房和輔助廠房結構模型，簡稱為CAP1400屏蔽廠房模型。CAP1400屏蔽廠房模型包括屏蔽廠房和輔助廠房以及安全殼內部結構的鋼筋混凝土部分，其有限元模型基于混凝土全截面建立，指定結構墻體和樓板混凝土抗壓強度對應的彈性模量，采用調整結構單元材料密度的方法來考慮混凝土的重度加上均勻分布的等效荷載。采用等效附加2.5kN/m2的樓面活荷載或75%的屋面雪荷載來考慮諸如小設備、管道和電纜管的分布荷載。輔助廠房和屏蔽廠房以板殼單元進行模擬，有限元模型底部在基礎底板的中間，標高為-11.700m。安全殼的內部結構的底部用實體單元模擬，在此有限元模型中，為方便有限元模型的底端約束，內部結構的實體單元有限元模型底部也取為-11.700m，內部結構實體與屏蔽廠房殼體之間采用多點約束技術連接。輔助廠房和屏蔽廠房模型與安全殼模型間的交界面半徑為23.435m，在屏蔽廠房的中間面。CAP1400屏蔽廠房的有限元模型如圖1所示；CAP1400屏蔽廠房屋頂結構鋼梁有限元模型如圖2所示。

圖2　CAP1400屋頂鋼梁模型 Fig.2 Stick Model of CAP1400 Nuclear Island structures

與以往核電廠(M310、CPR1000等)抗震分析方法不同的是，CAP1400選用的是模態疊加法時程法分析，得到抗震系統的分析和設計所需的構筑物反應。故本文選取CAP1400核島結構模型，一方面可復核CAP1400設計過程中核島結構的抗震分析計算結果，另一方面可參考已有CAP1400核電廠結構的模態疊加法抗震分析計算結果，研究阻尼矩陣選取對核電廠結構地震響應的影響。CAP1400核電廠結構模型底端固定時，前幾階主要模態分析計算結果如表1所示。耦合的屏蔽廠房和輔助廠房的模型中屏蔽廠房殼單元質量為112 368.6t，梁單元542.3t，質量單元3 268.9t，共計116 179.8t。加上內部結構底座實體單元的質量，與CAP1400提交報告中ASB模型的主要模態振型及總質量128 400t提供的結果基本一致。

表1　 CAP1400屏蔽廠房結構模態頻率的

2.2地震動時程

為保證與CAP1400核電廠原有設計文件中計算結果的一致性，擬選擇與核電廠要求的抗震設計強度匹配的輸入地震動。本節基于CAP1400核電廠標準設計反應譜擬合了一組人工時程，該組時程包括水平向x，y方向和豎直z三個方向上的三條人工時程。每條人工時程的地震動峰值加速度以0.30g標定、時程間隔為0.01s、總持時為30s；人工時程能滿足能同時包絡5個阻尼比(2%、3%、4%、5%、7%)下的設計反應譜的要求、《核電廠抗震設計規范》和NUREG-0800中3.7.1節對人工時程的相關規定，包括擬合人工時程所選頻率控制點，擬合精度和功率譜密度要求等。該組人工時程三個方向的統計相關性系數分別為0.085、0.008和0.130，均小于0.16，滿足單組人工時程三個方向相互獨立的要求。人工地震動時程如圖3所示，分別為水平向x，y方向和豎直z三個方向的三條時程。

圖3　計算輸入地震動加速度時程 Fig.3 Acceleration time-history of the input ground motion

3計算結果比較

3.1不同方法擬合的阻尼系數

為分析不同阻尼矩陣對核電廠結構地震反應的影響，本節所列的圖表中將模態疊加法動力時程分析計算結果標注為模態法，阻尼系數計算取前兩階振型頻率時2.516-2.870Hz時標注為方法一，阻尼系數計算取與結構相關的頻率段即2.516-33Hz時標注為方法二，阻尼系數計算取整個頻率段0.4-33Hz時標注為方法三，阻尼系數計算取本文推薦的最小二乘法計算時，權重函數為w=1/ω時標注為方法四，權重函數為w=exp(-ω)時標注為方法五。不同阻尼矩陣選取計算得到的α與β值如表2所示，依據式(3)得到實際計算過程中不同阻尼矩陣選取使用的阻尼如圖4所示。由表2和圖4可知，不同阻尼矩陣選取所建立的計算阻尼矩陣是有一定差異，這種差異對核電廠結構地震反應造成的影響需進一步分析。

圖4　不同的阻尼矩陣方法對應的阻尼值隨頻率的變化 Fig.4 Variation of the damping ratios related to different methods of damping matrix with frequency

計算阻尼系數方法一方法二方法三方法四方法五α1.12572.05650.21831.40062.6517β0.00440.00060.00070.00340.0010

3.2不同阻尼矩陣選取的計算結果

為保證計算結果的正確性及可靠性，選取計算結果比較點為屏蔽廠房與輔助廠房的節點7 320(低于輔

助廠房屋頂的某一標高)、節點6 866(輔助廠房屋頂處的標高)、節點1 658(進氣口下方某一標高)、節點1 500(進氣口上方某一標高)、節點3 460(屏蔽廠房上部水箱的底部標高)和節點3316(屏蔽廠房上部水箱的頂部標高)。采用不同阻尼矩陣計算對應的節點峰值加速度比較如表3所示，對應的節點最大相對位移比較如表4所示，對應的節點5%阻尼反應譜的比較如圖5所示。

由表3可知，方法一、方法二和方法三中，同一節點同一方向的峰值加速度值均有差異，方法二和方法三與模態法計算結果差異較大，方法二和方法三的計算結果過于保守，尤其是方法三，偏離實際結果最大，方法一的計算結果與模態法較接近，但對于7 320節點的x向峰值加速度仍有19.7%的差異；方法四和方法五中，方法五計算結果偏大，方法四與模態法計算果相近，方法五的計算結果同方法二和方法三一樣，計算結果過于保守；方法四和方法一中，對于7 320節點的x向峰值加速度，方法四與模態法的計算結果的差異可降低至12.4%；對于有些節點，如1 500節點的x向峰值加速度，方法四與模態法計算結果一樣。由以上分析可知，計算同一節點峰值加速度時，方法四更接近模態法的計算結果。

表3　采用的阻尼矩陣方法時觀測節點的峰值加速度計算值(單位： g)

表4　采用不同的阻尼矩陣方法時觀測節點的峰值加速度計算值(單位： g)

圖5　采用不同的阻尼矩陣方法時觀測節點的加速度反應譜計算值比較 Fig.5 Comparison of the computed spectral accelerations of observation nodes related to different methods of damping matrix

由表4可知，方法一、方法二和方法三中，同一節點同一方向的最大相對位移值均有差異，方法三與模態法計算結果差異最大，計算結果過于保守，方法一的計算結果與模態法較接近，如對于7 320節點的x向最大相對位移值有4.1%的差異；方法四和方法五中，方法五計算結果偏大，方法四與模態法計算結果較接近；方法四和方法一中，對于7 320節點的x向峰值加速度，方法四與模態法的計算結果的差異降低至1.8%，幾乎一樣；對于有些節點，如1 500節點的x向最大相對位移，方法一和方法四與模態法計算結果差異均在小數點后的第五位有效數字。由以上分析可知，計算同一節點最大相對位移時，方法一和方法四兩種計算方法與模態法計算結果均比較一致，差異都在5%范圍已內，但兩種方法相比較，方法四的計算結果較方法一更為精確些。

由圖5可知，采用不同的阻尼矩陣方法的同一節點相同方向的加速度反應譜均有差異，方法二、方法三和方法五的計算結果均大于模態法，且方法三的計算結果與模態法差異最大，方法一和方法四的計算結果均小于模態法，但方法四的計算結果較方法一更接近于模態法的精確解。

綜上所述，由阻尼矩陣選取方法的不同計算得到的節點峰值加速度、最大相對位移和5%阻尼的加速度反應譜的比較可知，本文提出的權重函數w=1/ω的最小二乘法計算的阻尼矩陣建立方法與模態法計算的精確解更為接近。

4結論

已有研究表明，復雜結構工程進行動力時程分析中，結構阻尼對計算結果影響非常大，而由于結構阻尼形成機理的復雜性，研究結果差異性較大。本文基于CAP1400三代核電機組的屏蔽廠房結構，選用傳統的阻尼矩陣的建立方法及本文提出的兩種擬合比例阻尼的新方法，以模態法時程動力分析結果為參考精確解，量化了阻尼矩陣的選取對核電廠結構地震反應的峰值加速度、相對最大位移及加速度反應譜之間的差異，得到以下認識：

(1)在核電廠抗震分析時，線性狀態下推薦使用模態疊加法時程動力分析法，該方法可考慮結構的不同結構材料阻尼，計算結果較逐步積分時程動力分析結構保守準確；

(2)當使用逐步積分時程動力分析法進行核電廠抗震分析時，依據一定頻率段建立阻尼的計算結果過于保守，依據前兩階陣型頻率建立阻尼矩陣的方法優于依據一定頻率段建立阻尼的計算結果，但依據前兩階陣型頻率建立阻尼矩陣的計算結果與精確解仍有一定的差異，偏不保守，需進一步改進；

(3)本文提出的考慮結構自振特性的以w=1/ω為權重函數的最小二乘法擬合阻尼系數的方法較傳統方法的分析結果更接近精確解，可供核電廠實際結構工程線性抗震分析時使用，同時也可在核電廠結構進行非線性分析時如抗震裕量評估(SMA)及考慮地基-結構相互作用分析過程時應用參考。

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第一作者鄭山鎖男，博士后，教授，博士生導師，1960年4月生