協整系數矩陣的非平穩工程系統故障診斷應用研究

協整系數矩陣的非平穩工程系統故障診斷應用研究

石海忱，陳前，林原靈

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室振動工程研究所，南京210016)

摘要：對于非平穩工程系統，若系統變量是一階單整的，則可以建立變量間的協整關系模型，通過理論分析證明，協整系數矩陣可作為故障空間的特征參數用作系統的故障診斷。非平穩系統變量首先要通過單位根檢驗以證明其一階單整，然后使用Johansen檢驗法估計出協整系數矩陣，即特征參數，使用一對多分類的支持向量機(SVM)算法進行故障數據的訓練和測試。使用液壓舵面故障仿真系統作為試驗平臺，使用輸入指令、舵面角度等5個一階單整的系統變量作為協整變量，其估計出的協整系數矩陣作為特征參數，結果表明協整系數矩陣作為特征參數，SVM作為數據分類方法，具有很好的故障分類效果。

關鍵詞：協整；故障診斷；非平穩；支持向量機(SVM)；液壓舵面系統

中圖分類號:TP206+.3文獻標志碼：A

收稿日期：2013-07-08修改稿收到日期：2013-11-11

Faultdiagnosisofnon-stationaryengineeringsystemusingcointegrationcoefficientsmatrix

SHI Hai-chen, CHEN Qian ,LIN Yuan-ling(StateKeyLaboratoryofMechanicsandControlofMechanicalStructures，NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

Abstract:In terms of the fault diagnosis for non-stationary engineering systems, the cointegration coefficients matrix was proposed as the characteristic parameter if the system variables are integrated of first order. System variables should first be verified to be integrated of first order through unit root test, then Johansen method was used to estimate the cointegration coefficients matrix. The classification algorithm of supporting vector machine (SVM) was used to train the model and test the accuracy of classification. Thus, a new approach applied in non-stationary system was established towards finding a new characteristic parameter for fault diagnosis. This new approach has been applied to the fault diagnosis of a simulated hydraulic flap servo system, using 5 system variables including input orders, flap angle, etc. as the cointegration variables. The test results indicate that the cointegration coefficients matrix model has great fault diagnosis ability for typical non-stationary systems.

Keywords:cointegration;non-stationary;supportingvectormachine(SVM);hydraulicflapservosystem

現代工業設備日趨大型化、復雜化、自動化和連續化,設備各部分的關聯愈加密切，某處微小故障就會爆發鏈鎖反應。另外，非平穩隨機過程的大量存在使得基于隨機平穩隨機過程假設下的經典統計檢驗理論不再適用[1]。目前針對非平穩過程的主要分析方法有短時傅里葉變換、Wigner-Ville分布、Gabor變換、小波變換和Hilbert-Huang變換等，而這些方法多是對單個信號的分析方法[2]。而在復雜的動態工程系統中，子系統故障的發生會使得多個部位都產生故障信息，因此，以單個信號為分析對象的方法所包含的信息對象有限，甚至會造成故障信息的遺失。

協整理論是計量經濟學中一種分析多個非平穩隨機變量間長期均衡關系的建模方法。Engle和Granger等在面對分析經濟非平穩變量時提出了協整算法，把時間序列分析方法中對于模型短期動態設定的優點和計量經濟學中長期均衡關系確定的特點融合為一體，成為了經濟學領域分析長期均衡關系的常用建模方法。本課題組自2006年以來，首創性地將協整理論這一計量經濟學理論成功應用于工程系統狀態監測與故障診斷實踐，并在石油催化裂化過程仿真模型和發動機仿真模型等工業過程對象上進行了初步的應用，取得了積極的成果[3]。對于協整模型故障診斷方法，潘昱昱等[4]提出了變量輪換和降階協整模型的方法進行故障診斷與隔離；魯帆等[5]比較了以最大特征值為準則的單協整模型和以最大信息熵為準則的多協整向量模型對于監測效力的不同反映，最大程度地保留了系統的故障信息，提高了監測效力。同時，一些國外研究者受到本課題組工作的啟發，也開始對協整理論的應用產生了興趣，并且展開了相似的研究工作。Cross等[6]也將協整理論應用為一種新的結構健康監測模型，并在消除時間序列環境趨勢方面做了相應研究；Dao等[7]則在Lamb波和小波分析基礎上，去除溫度環境趨勢影響后，再應用協整理論方法來提高故障位置定位精確度。

1基于協整理論的特征提取

上述的幾種基于協整理論建模的方法，只能“定性”地描述系統是否發生了故障而無法在故障類別的診斷上發揮效力。對于非平穩系統，采集得到的系統變量往往包含大量數據，因而需要從協整理論模型的變量間提取對故障特征敏感的參數，并選擇合適的分類方法進行故障診斷。

1.1協整理論簡介

如果一個時間序列在成為穩定序列之前必須經過d>0次差分，則該序列被稱為d階單整(Integration)，記為I(d)[8-9]。即對于非平穩序列yt，Δdyt是平穩序列，而在差分d-1次后仍是非平穩的，那么yt是I(d) 序列。其中，Δ為差分運算子

Δyt=yt-yt-1,Δ2yt=Δ(Δyt),…，

Δdyt=Δ(Δd-1yt)

(1)

因此，平穩序列可表示為I(0)。在實際應用中，主要針對一階單整序列I(1)進行討論。

1.2AugmentedDickey-Fuller(ADF)單位根檢驗

對變量進行協整分析之前，必須對其進行單位根檢驗，以確定其為非平穩并且是一階單整的。而目前較為通用的方法為AugmentedDickey-Fuller單位根檢驗，簡稱ADF檢驗。ADF的檢驗方程為：

Δyt=γyt-1+θ1Δyt-1+θ2Δyt-2+…+

θpΔyt-p+μ+et

(2)

式中，Δyt是yt的差分，γ，θ1，θ2，…θp為常數項，μ為常變量，et為殘差。使用最小二乘法對上式進行估計，通過檢驗式中的系數γ的t統計量，根據不同的顯著性水平，檢驗γ的t統計量是否超過ADF臨界值，從而判斷序列yt是否是一階單整。具體的檢驗過程可參見文獻[8-10]。

1.3協整系數矩陣的估計

對于多個變量的協整檢驗，通常是對其參數進行極大似然估計的Johansen檢驗[10-11]。建立多變量無約束的向量自回歸VAR(n)模型：

Yt=Π1Yt-1+…+ΠnYt-n+ut

(3)

式中:Yt表示包含p個樣本長度為T的一階單整的隨機變量序列yi的p×T矩陣。由此得到相對應的誤差校正模型(ECM)：

(4)

下面使用最小二乘法對下兩式進行參數估計：

(5)

(6)

可以得到式(5)和式(6)估計殘差構成的矩陣分別為S0和S1。S0、S1均為p×T矩陣。

計算殘差矩陣S0和S1的積矩陣：

(7)

最后，對式(8)的特征方程求解

((8)

對求解得到的特征值按照λ1≥λ2≥…≥λp的順序構成對角矩陣Ω，V1,V2,…Vp為與之相應的特征向量,令矩陣Λ=[V1,V2,…Vp],矩陣Λ的秩為r，則這p個變量間存在r組協整關系可以使得Yt通過線性組合變為平穩。由此便得到了我們所關心的協整系數矩陣的極大似然估計B。

1.4協整系數矩陣作為故障診斷特征參數

根據協整理論，如果系統內一組非平穩過程變量都是一階單整的，那么就可以建立一個簡單的線性協整關系模型。協整的線性組合關系是由系統的內在機制所決定，表征了各個系統變量間的長期平衡關系。故障的發生會破壞原有的動態平衡，形成新的平衡狀態，造成系統模型參數或結構的變化，并反映在系統變量之間動態關系上，即故障狀態下的變量形成了新的協整關系，變量之間新的共同趨勢不再符合正常狀態下的協整關系[3,5]。類似于化學反應方程式，反應方程式中的各種物質之間存在著由配平系數決定的“線性關系”，工程系統的各個變量之間也存在著均衡的動態關系，協整線性關系就是反映這種動態關系的理想的特征。當化學反應發生時，反應物質的配平系數也會相應的發生變化。相似的，當工程系統發生故障后，系統原先的動態平衡被打破，動態關系也就發生了變化并且趨向了新的故障狀態下的動態平衡。

協整系數矩陣便是表征變量間協整線性關系的理想特征參數，在估計協整系數矩陣的Johansen檢驗過程中，可以得到特征值方程

(9)

對求解得到的特征值按照λ1≥λ2≥…≥λp的順序構成對角矩陣Ω，由式(7)、式(8)可得：

(10)

由式(10)可以看到，λi為關于Yt的函數，對應于λi的協整系數矩陣自然也與Yt相關，協整系數矩陣B也便包含了系統變量和變量差分的信息，當系統狀態發生改變時，長期動態關系和短期動態關系都會在矩陣B中有所反映，因此可以用來作為表征系統狀態的特征參數。然而協整系數矩陣一般為r×T的矩陣，若直接將矩陣B作為故障診斷特征參數，則會在分類器訓練時出現維數過高，構造分類器復雜等缺點，為方便使用而又不丟失變量信息，我們可將矩陣重新按行排列為包含了rT個元素的一維數組，以此作為系統故障診斷的特征參數。

2支持向量機分類

通過協整系數矩陣可以從大量的數據中提取出表征系統狀態的特征參數，故障診斷的下一步則是要對這些特征參數進行有效的分類。

2.1支持向量機簡介

圖1　最優分類面 Fig.1 Optimal classification hyperplane

支持向量機主要針對二值分類的問題，在高維空間中尋找一個超平面作為兩類的分割，以保證最低的錯誤分類率。因此，SVM算法十分適合協整系數矩陣構成的高維狀態空間的分類問題。

2.2支持向量機用于多分類

由于支持向量機在分類問題上只考慮了二值分類，對于常見的系統故障診斷往往需要多值分類，因此需要建立多個SVM分類器。基于二值分類算法，Platt提出了一個新的學習架構：有向無環決策圖(DecisionDirectedAcyclicGraph，DDAG)方法，使得支持向量機能適用于多分類[13]。以本文中所應用的液壓舵面系統為例，系統存在正常(N)、泄漏故障(L)、阻尼故障(C)、剛度故障(K)等。據此，我們構造了4種狀態下的SVM多分類器，圖2中每一個方框代表了一個SVM二值分類器。輸入數據通過每一層的分類器后都會流入下一層的不同的分類器進行決策和分類，通過這種多分類器結構，可以有效減少分類重疊現象和不可分類現象的出現，對于存在n種狀態的故障診斷系統，可參照這個結構進行擴展。

圖2　DDAG方法結構示意圖 Fig.2 Decision directed acyclic graph

3協整系數矩陣應用于故障診斷的一般步驟

由上文的協整理論可知，協整系數矩陣模型是對工程中常見的一階單整的非平穩變量所建的模型，協整理論建模方法是從計量經濟學中發展而來的，常見金融時間序列一般都是一階單整的，然而協整理論建模方法在工程背景下的應用仍處于探索階段，因為工程領域的信號更加復雜，一階單整的信號主要出現在相對低頻緩變的工程系統中，主要應用有化學流程工業、汽車發動機電控汽油噴射系統等的故障診斷，大壩結構安全以及高速公路大橋的狀態監測[3-4,15]。對于高階單整的時間序列或平穩的時間序列，如果也想使用協整理論進行建模，則可通過一定的數學變換如積分或差分等構造一階單整序列。因此，將協整理論建模方法推廣到更多工程系統，仍需要結合計量經濟學的發展，進行更深入的理論與試驗研究。

由此，可以總結應用協整系數矩陣進行故障診斷的一般步驟為：

①對于一個非平穩系統，使用傳感器和數據采集設備對其進行采樣以及預處理；

②結合系統數學模型，選取對系統固有頻率等動態特性影響較大或包含環境趨勢的系統變量，如壓力，位移，溫度等。以下文中液壓舵面系統的數學模型為例，由文獻[16]可知其固有頻率與輸入曲線、舵面角度等變量有關，則選取它們作為協整變量；

③對協整變量和變量的一階差分進行ADF單位根檢驗，從中篩選出一階單整的變量；

④對上述一階單整變量進行協整檢驗—Johansen檢驗，其中VAR模型的最佳滯后階數由上一步中確定，并由此得到了特征參數即協整系數矩陣；

⑤以協整系數矩陣建立訓練樣本，建立SVM分類器；

⑥以SVM分類器為基礎，搭建DDAG多值分類器；

⑦將輸入數據輸入給分類器便能得到診斷結果。

4協整系數矩陣在液壓舵面仿真系統故障診斷中的應用

4.1液壓舵面仿真系統故障仿真試驗

該仿真系統是基于Labview軟件平臺下設計的，對液壓舵面系統中主要組成部件建立了動態微分方程的數學模型。系統主要包括反饋控制器、液壓伺服閥、液壓作動筒、舵面偏轉機構等。在本次故障仿真試驗中，為能保證每一組中對不同狀態參數進行多次重復試驗和對比研究，我們讓每一組試驗的輸入曲線都相同，同時設計了4種仿真狀態：”N”，”L”，”C”，”K”，分別對應著“正常狀態”，“泄漏故障”，“阻尼故障”，“剛度故障”，而每一種狀態分別取了20組狀態參數各不相同的仿真數據：其中“泄漏故障”取了從2倍到21倍正常狀態泄漏系數20組仿真數據；“阻尼故障”取了從1.5倍到11倍正常狀態軸承阻尼系數的20組仿真數據；“剛度故障”取了從0.2倍到1.2倍正常狀態扭轉剛度的20組仿真數據。在時間步長為0.000 1s下，仿真軟件產生了20s長度，2×105點的仿真數據，并從中選擇了包括輸入指令、舵面角度、搖臂角度等19個系統變量進行保存。由于協整理論要求隨機變量為非平穩并且是一階單整的，選取對系統固有頻率特性影響較大的變量同時去除系統變量間存在幾何關系的變量，最終選取了輸入指令I，舵面角度θ，搖臂角度α以及兩個構造的虛擬位移Z1,Z2一共5個協整檢驗變量。

4.2協整系數矩陣的提取

從仿真數據可以看到，每個系統變量的樣本數據有2×105點，若不提取特征參數而直接分類，則對分類器的要求過高，分類效果可想而知。對5個系統變量建立協整關系模型，提取出協整系數矩陣作為特征參數，大大降低了狀態空間的維數，提高了故障診斷的可行性。

4.2.1ADF單位根檢驗

對系統變量進行ADF單位根檢驗就是要驗證變量為非平穩且是一階單整的，并依據檢驗結果確定模型的最佳滯后階數。根據樣本序列曲線分析，在ADF檢驗中使用了包含時間趨勢項和截距項的向量自回歸模型。表1所示為0.5倍剛度故障狀態下的ADF檢驗表，選擇了輸入指令I，舵面角度θ等5個系統變量，通過ADF檢驗發現這5個變量在5%的置信水平下均為非平穩變量，將其取一次差分之后再檢驗則都變為了平穩變量，說明這5個系統變量均為一階單整的隨機變量，表1中還給出了各個變量VAR模型的最佳滯后階數。

表1　0.5倍剛度故障狀態的 ADF單位根檢驗

4.2.2Johansen檢驗

使用1.3節所述的檢驗方法，分別對5個變量進行Johansen協整檢驗，以確定變量間存在協整關系的個數，同時估計出協整系數矩陣B，檢驗中VAR模型的最佳滯后階數由上步中ADF檢驗得到。以“0.5倍剛度故障”為例，Johansen檢驗表明該故障狀態下，變量在5%的置信水平下存在4組協整關系。以AIC最大為準則確定其VAR模型的最佳滯后階數，檢驗結果如表2所示：

表2　0.5倍剛度故障狀態的最大特征值 Johansen檢驗

表3　0.5倍剛度故障狀態的協整系數矩陣

使用1.3節所述方法，使用最小二乘法估計出這5個變量間存在的4×5協整系數矩陣B，即變量與協整系數矩陣B可以構成4組平穩變量，變量間的動態平衡關系通過線性組合的方式建立了模型。為方便對其進行分類，將4×5的協整系數矩陣按行整理成1×20的一維數組，由此便得到了故障診斷所需要的特征參數。

圖3　各狀態特征參數幅值對比 Fig.3 Amplitude comparison of characteristic parameters under different status

將所有狀態樣本的特征參數幅值進行對比，如圖3所示，4種系統狀態的特征參數有較明顯的分類出現，如阻尼故障(C故障)狀態下，特征參數在某幾個維度下與其余狀態特征參數幅值分類明顯；正常狀態特征參數幅值變化范圍相對較小，3種故障狀態下的特征參數幅值變化都比較大。注意到在某些維數下，4種狀態下特征參數的幅值出現了交叉，易造成錯誤分類，因而有必要使用適合高維空間小樣本分類的支持向量機算法。

4.3基于SVM的故障分類與結果

得到了系統的特征參數之后便可以對系統的狀態進行判別了。從每一個狀態下的20組仿真數據中選擇了12組作為訓練數據，8組作為測試數據，即一共48組訓練數據，32組測試數據。由于每一組協整向量都有12個，因此協整向量所張成的特征空間也是12維的，因此不可能通過可視化的方式看到分類結果。

將訓練數據輸入給SVM分類器進行訓練，N、C、L、K為系統4種不同的狀態，每兩種狀態間都訓練出一個SVM二值分類器，這樣便能得到6個不同狀態間的SVM分類器，使用1.5.2節中所述的一對多的DDAG方法搭建多值分類器。訓練中，SVM網絡核函數選擇為RBF徑向基函數，帶寬參數設置為2，容錯懲罰值設置為10。訓練完成后，將剩下的8組仿真數據進行測試，測試的準確率達到了96.8%，也就是32組測試數據中僅有一組發生了誤報，如表4所示，DDAG輸出結果在剛度故障狀態里發生了一次誤報，說明在訓練樣本數量有限的情況下，SVM分類器達到了很好的分類效果。

表4　 DDAG分類結果

5特征參數的降維

在液壓舵面伺服仿真系統中，作為特征參數的協整系數矩陣有12個元素，雖然使用SVM分類方法取得了很好的分類效果，但是在更普遍的工業系統中，若系統的非平穩單整變量有n個，估計出的協整系數矩陣的元素為rn(r為n個變量間存在的協整關系個數)，隨著n的增大，特征參數的維數也迅速變大，并且無法使分類結果可視化，因此有必要對協整系數矩陣進行降維。考慮到協整系數矩陣張成的空間構成了系統的狀態空間，我們嘗試使用表征矩陣廣義距離的∞范數和F范數來作為特征參數。圖5給出了各種狀態下，協整系數矩陣的∞范數作為橫軸，F范數作為縱軸的分類情況，可以看到各種狀態的分類效果非常好，各狀態分布在平面的不同區域，并沒有出現交叉重疊的狀況，僅僅是剛度故障出現了2個離群值。注意到這與第4節中僅有一組誤報的結果不一致，只是由于SVM分類器設置了容錯懲罰值為10，使得剛度故障狀態下的分類超平面恰好只錯分了一個離群值。并且從協整系數矩陣中提取∞范數和F范數作為特征參數也損失了一定的信息，結合仿真試驗可知剛度故障離群值是剛度為0.2倍與0.25倍正常狀態下的樣本點，低剛度狀態在實際情況中并不多見，系統在達到低剛度狀態前可能已經發生了破壞，因而僅能用作仿真試驗中的故障發展趨勢研究，這也從側面佐證了中協整系數矩陣模型診斷結果的準確性。

圖4　特征參數的降維 Fig.4 Dimension reduction of the characteristic parameters

6結論

(1)本文提出了使用協整系數矩陣作為故障診斷的特征參數，以支持向量機作為分類方法，總結了應用協整系數矩陣進行故障診斷方法的一般步驟，為診斷系統故障提供了一種新的方法，并且在理論和仿真試驗中證明了其可行性，試驗結果表明，這種方法能將液壓舵面仿真系統的各種狀態較明顯地進行故障診斷，有著很好的分類效果。

(2)本文在現有應用協整理論狀態監測的基礎上，進一步完善協整理論用于故障診斷的方法。對于非平穩的機械系統，提出了一種新的故障特征參數，相對傳統方法，具有結構簡潔，可以同時監測多個系統變量，損失系統動態信息少等優點，說明了協整理論在系統故障診斷領域具有廣泛的應用前景。

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第一作者張永亮男，博士生，1984年生

通信作者孟秀云女，博士，教授，博士生導師，1964年生