主動段彈道跟蹤與關機點估計算法研究?

鈕俊清,任清安

(1.中國電子科技集團公司第三十八研究所,安徽合肥230088;2.孔徑陣列與空間探測安徽省重點實驗室,安徽合肥230088;3.智能情報處理重點實驗室,安徽合肥230088)

0 引言

反導預警和防御已成為世界各國爭相研究的熱點,彈道導彈在主動段飛行時,由于真假彈頭還未釋放,多彈頭還未分離,因此避開了識別真假彈頭的難題,這對提高攔截成功率具有一定優勢[1-3]。因此,導彈的主動段跟蹤和關機點的估計在整個反導防御體系中顯得至關重要。

通常針對彈道導彈主動段探測和跟蹤的裝備主要有反導預警衛星和前置地基雷達,而采用前置地基雷達跟蹤彈道導彈主動段具有一定的戰略意義,能獲得較高的跟蹤精度,同時也大大擴展了作戰的空間[1,3]。

對于非合作目標,在無先驗信息情況下對導彈主動段進行準確建模是非常困難的。文獻[4]中采用了簡單線性模型,而實際上導彈主動段的跟蹤是典型非線性跟蹤問題,線性化的誤差會導致跟蹤精度大幅下降。文獻[3,5]提出了重力轉彎模型,但不能準確地反映目標在主動段的運動特征,由于主動段受力情況非常復雜,通常無法建立精確的運動模型,這也導致跟蹤的精度難以保證。文獻[6]依據導彈推力主要由火箭發動機和燃料類型決定,使用導彈推力加速度模板的方法,這能體現導彈的運動特性,但基于模板的方法需要較多的先驗信息,對于非合作的彈道導彈跟蹤性能一般。

為解決上述問題,本文提出一種新的變結構多模型的方法用于彈道導彈主動段跟蹤,該方法具有以下的優勢:采用多模型的結構,更加適合復雜的主動段跟蹤問題,特別是含多級助推段的導彈。采用UKF非線性濾波方法,與傳統基于EKF的跟蹤算法相比,它具有更好的跟蹤精度。仿真結果顯示本文的方法明顯地提高了跟蹤的精度,同時具有一定的關機點估計能力。

1 主動段跟蹤模型描述

1.1 主動段運動模型

典型的彈道導彈飛行通常分為3個階段:主動段、自由段和再入段,其中主動段運動尤為復雜,且不同彈型導彈的主動段差別較大。由于導彈的關機點時間和拋射角的不同,即使同一種導彈的飛行彈道都可能不同。通常主動段認為是從導彈離開發射臺到關機點為止的一段彈道。在主動段,彈道導彈基本上都處于爬升狀態,同時由于發動機和控制系統一直工作,在該段的飛行特點是:作用在導彈上的力有發動機推力、空氣阻力、地球引力,以及地球自轉所產生的外在力[7-9]。導彈在主動段飛行的時間一般在幾十至幾百秒范圍內,在關機點之后進入自由段。

假定彈道導彈的位置X和速度V為

通過上述對彈道導彈的受力分析,在地心地固坐標系(ECEF)下建立彈道導彈主動段的運動方程:

式中,彈道目標的加速度主要分為4項[2,5]:推進力αT,空氣阻力αD,地心引力αG,地球自轉引起的外在力αC。

1.1.1 推進力產生的加速度

彈道導彈主動段通常包含多級助推段,推進力產生的加速度可建模為

式中,αiT,Fi和Wi分別表示導彈在第i級助推段時,導彈所受推進力產生的加速度、推進力的大小和導彈整體載荷的重量。上述3個參數均為時變參數,且各級的推進力差別較大,無先驗信息條件下通常很難精確建模。

導彈在關機點后進入自由段飛行,此時導彈不再受助推力的影響,即αT=0。

1.1.2 空氣阻力產生的加速度

空氣阻力作用于目標速度V的相反方向,其大小表示為

式中,v(t)為目標在時刻t時的速度,h(t)為目標在時刻t時的海拔高度。鑒于地球為不規則的橢球,目標的海拔高度需要轉換到大地坐標系(WGS84)中計算,ρ(h)是空氣密度函數:

式中,ρ0=1.22 kg/m3,k=0.141 41×10-3m-1。β為目標的彈道系數,近似為常量。

1.1.3 地心引力產生的加速度

地心引力從彈道目標指向地球的球體中心,一般可以忽略目標本身的質量,則依據牛頓的萬有引力定律得到

式中,μG=3.985325×1014Nm2kg-1為萬有引力常量,rt為在時刻t目標到地心的距離。

1.1.4 外在力產生的加速度

外在力由科氏力加速度和離心力加速度組成:

式中,ˉω為地球自轉角速度矢量,ˉω=[0,0,ω]′,ω為地球自轉速度。

1.1.5 彈道導彈主動段的運動模型

彈道導彈主動段的運動模型:

當彈道導彈在自由段飛行時,無助推力αT=0;同時,空氣阻力近似為零。

1.2 地基雷達量測模型

彈道導彈防御系統中大型地基相控陣雷達的量測模型,通常在雷達陣面坐標系(RFC)下建模,如圖1所示。RFC坐標系的原點為雷達陣面中心O,一般認為雷達站心重合,Z軸為陣面的法線指向,X軸為水平面與陣面的交線,Y軸沿陣面向上。A0為正北與陣面法線投影的夾角,E0為陣面法線與水平面的夾角。

圖1 雷達陣面坐標系

RFC可旋轉得到雷達站心的東北天(ENU)坐標系,從ENU坐標系到RFC坐標系的轉換矩陣為

數據在以RFC的極坐標系下獲得的距離r,方位α,仰角β。設[x,y,z]為RFC的直角坐標系下的 坐 標,[?x,?y,?z]分 別 為 沿 各 坐 標 方 向 的 速 度 。雷達的量測模型為

式中,h(X)定義為

假定雷達量測數據的噪聲為δ,其中距離、方位和俯仰的噪聲方差分別為σr,σα和σβ。

2 主動段跟蹤算法

2.1 算法描述

由于彈道導彈在主動段所受推進力的不同,典型的導彈飛行經歷了一級助推段(二級和三級助推段)到自由段的過程,即在任一未知時刻它的運動模型具有不確定性[3,7]。在目標跟蹤領域中多模型方法用于解決目標運動模型不確定性是最有效的方法之一[10-11]。

將導彈主動段跟蹤的問題建模為一個混合估計過程,該問題描述為下列的運動方程和量測方程:

x為目標的狀態,一般是連續變化的。s為系統運動模型的狀態,與傳統單模型目標跟蹤的狀態空間方程不同的是,目標當前運動模型s是不斷變化的;它的變化類似于一個階梯式的跳變的軌跡,即模型可保持不變,或跳變到其他模式。z為系統的量測。w,v分別為過程和量測噪聲。目標運動模型的集合稱為目標模型的空間,表示為S。將系統的運動模型s建模為一個馬爾可夫鏈時,運動模型的轉換概率矩陣可建模為

因此,本文提出了一種基于變結構多模型的彈道導彈主動段跟蹤方法。該方法基于變結構模型集,模型集包含多種模型:針對主動段推進力的復雜性,設計了多個主動段的模型,將推進力大小建模為不同級別;一個自由段運動模型,其推進力大小為零(如圖2所示)。鑒于彈道導彈的運動方程和量測方程均為非線性方程,從濾波性能和工程實際應用的角度綜合考慮,非線性濾波算法采用性價比較高的不敏濾波(UKF)算法[12-14]。

圖2 彈道導彈主動段跟蹤方法結構圖

2.2 計算步驟

變結構多模型方法基于時變的模型集合,即跟蹤系統根據模型的概率動態選擇系統的跟蹤模型。當判別導彈在主動段飛行時,目標具有推進力,模型集包含多個主動段模型和自由段模型;當判別導彈進入自由段后,將模型集中主動段模型刪除。這種新的方法更適用于彈道導彈主動段的跟蹤,它在跟蹤精度和計算性能上都具有一定的優勢。任一時刻,選定模型集后模型間的交互采用交互多模型(IM M)算法進行迭代濾波。

濾波算法的主要步驟包括:

第一步:模型條件初始化。

(1)計算模型混合概率

式中,πij為馬爾可夫模型轉移概率,給出了k-1時刻由模型Mjk-1到k時刻由模型Mik-1的轉移概率,μik-1為k-1時刻模型Mik-1的概率,其中ˉcj=

(2)按模型混合概率進行狀態與協方差的初始化

第二步:多模型采用卡爾曼的預測與更新。

(1)狀態方程預測

(2)量測方程更新

第三步:計算各模型的概率。

式中,c為歸一化常數:

式中,Λik為在Gauss條件下的似然函數:

第四步:多模型進行狀態估計融合。

計算k時刻,系統融合后的狀態和誤差協方差陣:

濾波器的輸出是多個濾波器估計結果的加權平均值。

3 仿真分析

實驗采用Matlab軟件進行仿真,仿真產生的彈道導彈飛行軌跡經過坐標轉換后,對飛行軌跡數據加入雷達量測噪聲,雷達距離量測精度為100 m,方位和俯仰的量測精度均為0.1°,跟蹤數據率為1 Hz,發現概率為1。采用蒙特卡羅仿真(獨立運行100次)方法進行對比分析。

3.1 仿真場景1

仿真一級助推段的彈道導彈,其參數如下:飛行射程約為4 000 km,飛行時間為1 154 s,飛行最大高度為789.45 km,彈道系數為6 116;雷達站位置距發射點距離為195 km,關機點時間為80.25 s;假設跟蹤時間為0～200 s,雷達站距跟蹤第一點距離為195 km。

圖3顯示了導彈飛行時間與高度的變化,圖4為導彈飛行時間與其加速度的變化,可以看出導彈在關機點前后加速度產生突變。算法在主動段跟蹤時,本文算法中各跟蹤模型的概率變化如圖5所示。當彈道導彈處于主動段飛行時,即時間小于80 s時,主動段模型的概率最大,近似于1。當彈道導彈處于自由段飛行時,即時間大于80 s時,自由段模型的概率最大,近似于1。圖5中的黑色虛線清晰地劃分出飛行階段的轉換時刻,也即目標關機時刻的估計值。

圖3 導彈高度隨飛行時間的變化

圖4 導彈加速度隨時間的變化

圖5 算法中各模型的概率的變化

從表1可以看出,本文算法濾波后估計的位置誤差是測量誤差的27.9%;與單模型的EKF算法相比較,位置誤差是EKF誤差的32.6%,速度誤差是EKF誤差的21.1%。

表1 主動段跟蹤的均方根誤差對比

3.2 仿真場景2

仿真含二級助推段的彈道導彈,其參數如下:飛行射程約為4 060 km,飛行時間為1 278 s,飛行最大高度為1 023 km,彈道系數為6 116;雷達站位置距發射點距離為195 km,一次助推關機點時間為41.129 s,二次助推關機點時間為183.829 s;假設跟蹤時間為0～240 s,雷達站距跟蹤第一點距離為195 km。

圖6顯示了彈道導彈加速度隨時間變化的曲線。通過圖7中模型概率的變化可以看出,本文的方法可以精確地估計出彈道導彈各級助推段關機點的時刻,一級關機時刻41 s,二級關機時刻184 s,可看出方法對目標關機時刻的估計精確到秒量級。

圖6 導彈加速度隨時間的變化

圖7 算法中各模型的概率的變化

4 結束語

對彈道導彈主動段跟蹤,并進行攔截,這是反導防御體系中前置地基雷達需要完成的最重要工作。目前,現有的導彈主動段跟蹤方法在建模和跟蹤性能上存在一些不足,本文提出一種新的可變結構多模型的導彈主動段跟蹤方法,該方法具有以下的優勢:1)針對傳統基于單模型的方法,本文方法采用變結構多模型,對導彈主動段運動模型具有更好的性能;2)采用UKF非線性濾波方法,與傳統的EKF跟蹤算法會引入線性化的誤差,它具有更好的濾波精度;3)通過模型集中模型概率的變化,可精確估計出導彈目標在主動段中各級助推段關機的時間。通過仿真實驗看出,本文的方法明顯提高了跟蹤的精度,尤其是可精確估計導彈關機的時間,這對于估計導彈的關機點參數,以及之后自由段的精密跟蹤具有非常重要的意義。今后的工作重點在于對本文方法進行工程應用和實際驗證,并對算法的計算性能進行優化。

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