基于壓縮感知的多徑LFM信號參數(shù)估計?

(空軍預(yù)警學(xué)院,湖北武漢430019)

0 引言

線性調(diào)頻信號由于具有大的時寬、帶寬積,被脈沖壓縮體制雷達(dá)廣泛采用,有效解決了雷達(dá)系統(tǒng)作用距離和距離分辨率之間的矛盾。因而,對線性調(diào)頻信號的檢測和估計一直是雷達(dá)對抗信息處理領(lǐng)域的熱點研究問題。在實際情況中,由于地面反射作用造成的多徑效應(yīng)使雷達(dá)對抗偵察設(shè)備接收到的雷達(dá)回波信號通常是直接路徑與反射路徑兩種信號的疊加,造成信號在幅度和相位的變化[1-3]。多徑分量包含有目標(biāo)的重要信息,但卻經(jīng)常影響雷達(dá)對抗偵收設(shè)備的檢測與跟蹤性能,對目標(biāo)檢測和參數(shù)估計帶來較大影響[4]。因此,對線性調(diào)頻信號的多徑分量參數(shù)估計是當(dāng)前亟需研究的熱點問題。

很多專家和學(xué)者采用不同方法在此方面進(jìn)行嘗試,并取得一些研究成果,比如盲信號分離技術(shù)、循環(huán)相關(guān)變換法等均可對多徑分量進(jìn)行參數(shù)估計。其中,盲信號分離技術(shù)即是運(yùn)用矩陣論思想,通過求解特征向量進(jìn)行源信號估計,抑制多徑效應(yīng)和噪聲,提取雷達(dá)發(fā)射的直接波信號[5]。然而該方法依賴高信噪比,在低信噪比條件下,源信號估計效果降低,難以提取準(zhǔn)確的時延(即相位)信息。若彌補(bǔ)低信噪比將大大增加算法復(fù)雜度,且信號衰減(或幅度)信息在處理中被丟失。循環(huán)相關(guān)變換法是利用部分雷達(dá)信號(如LFM信號、BPSK信號等)的循環(huán)平穩(wěn)特性,結(jié)合循環(huán)頻率域的信號分離技術(shù)估計多徑分量的特征參數(shù)[6-7]。該方法能用來估計未知多徑個數(shù)情況下的信號參數(shù),且適用于較低信噪比情況的參數(shù)估計。然而,當(dāng)多徑分量各時延間隔很小以及背景噪聲很大時,直接利用循環(huán)互相關(guān)譜進(jìn)行時延參數(shù)估計較困難,即對時延信息的分辨率不夠高。

近年來,壓縮感知作為一種新型信號處理理論,掀起了國內(nèi)外專家學(xué)者的應(yīng)用與研究熱潮。壓縮感知又稱壓縮采樣,是一種與數(shù)據(jù)采集的傳統(tǒng)Nyquist方法不同的新采樣技術(shù)[8]。該理論認(rèn)為,只要信號在某種變換域下具有稀疏性,就可在遠(yuǎn)小于Nyquist采樣率的條件下,用隨機(jī)采樣獲取信號的離散樣本,然后通過非線性重建算法恢復(fù)信號[9]。隨著壓縮感知理論的完善,已在遙測遙感[10]、醫(yī)學(xué)圖像處理[11]、電力系統(tǒng)[12]等信號分析處理領(lǐng)域應(yīng)用。本文提出將壓縮感知理論應(yīng)用于線性調(diào)頻信號多徑分量的參數(shù)估計,通過對雷達(dá)回波進(jìn)行簡化建模,分析了此方法用于多徑分量參數(shù)估計的可行性,并進(jìn)行信號重構(gòu)。實驗結(jié)果證明,較其他諸如循環(huán)相關(guān)變換法、盲信號分離法等,新方法具有高時延分辨率、數(shù)據(jù)資源利用率以及估計精度等優(yōu)勢。

1 問題描述

1.1 LFM信號雷達(dá)回波簡化模型

根據(jù)散射點模型,建立偵收端LFM信號的雷達(dá)回波簡化模型,s(t)表示單路徑LFM信號,y(t)表示多徑信號,v(t)為測量噪聲,得到簡化的雷達(dá)回波即觀測信號r(t):

即

式中:f0為載頻;T為觀測時長;k為調(diào)頻率;K為接收LFM信號個數(shù)(即在時延基字典下為LFM信號的稀疏度);Ai和τi分別為i路徑下對應(yīng)衰減及時延,為待測量。

將式(2)表示為數(shù)字形式,即

式中,nΔ為t的數(shù)字化表示,N為T的數(shù)字化表示。

1.2 LFM信號多徑分量參數(shù)估計問題描述

多徑分量參數(shù)估計問題是對接收到的一組類似回波的LFM直達(dá)及延遲信號的混疊和信號的N個數(shù)據(jù),解算其包含的多徑分量衰減及時延值,并觀察其對應(yīng)分量的衰減。利用多個時刻的回波信號將考慮的時延范圍劃分為{τ1,τ2,…,τi,…,τL},i∈[1,L],其中τ1=0為直達(dá)信號,τi=(i-1)Ts,Ts為設(shè)定的時延搜索間隔,τL=τmax為最大時延拓展。由于多徑分量多成簇分布,使得各多徑分量之間的時延間隔遠(yuǎn)大于時延搜索間隔Ts,從而使得{τ1,τ2,…,τi,…,τL},i∈ [1,L]中的非零個數(shù)K很少,即K?L,滿足信號稀疏性特性,由此可作為利用壓縮感知法進(jìn)行多徑分量參數(shù)估計的理論基礎(chǔ)。用表示實際存在的多徑分量,表示實際不存在的多徑分量,有如圖1所示信號多徑分量稀疏化的圖形表示。

圖1 多徑分量稀疏化圖形表示

由于回波信號的多徑分量作為待估參數(shù),是連續(xù)且隨機(jī)分布的,因而并不能保證每個分量均在設(shè)定的離散網(wǎng)格上,即多徑分量的時延參數(shù)不一定全部精確落在{τ1,τ2,…,τi,…,τL}這一網(wǎng)格上,此問題超出本文討論范圍,可通過一般模型誤差的壓縮感知理論加以解決。為分析方便,不妨假設(shè)時延搜索間隔Ts足夠精細(xì),則各多徑分量均可定位于搜索網(wǎng)格上。

2 基于壓縮感知的多徑LFM信號參數(shù)估計

壓縮感知理論表明,當(dāng)信號可壓縮[13]或可通過稀疏信號近似表達(dá)時,通過采集少量線性、非自適應(yīng)的測量值,就可實現(xiàn)信號的準(zhǔn)確或近似重構(gòu)。根據(jù)接收到的一組LFM雷達(dá)回波信號,建立壓縮感知單量測向量(SVM)模型[14]。

假設(shè)長度為K的待測復(fù)信號x=[x1,x2,…,xK]T可以用某稀疏基矩陣ψ=[ψ1,ψ2,…,ψL]的線性組合來表示,即

式中,z為一個L×1維的具有K(K＜L)稀疏的向量。那么存在一個與ψ不相關(guān)的,即滿足RIP條件[8]的N×K維測量矩陣Φ,使

式中D為N×L維矩陣,稱為傳感矩陣,亦可看成是z關(guān)于y的推廣的測量矩陣。

由壓縮感知理論可知,如果矩陣D滿足約束等距性(Restricted Isometry Property,RIP)等稀疏重構(gòu)條件[15],則可以通過利用以下L0范數(shù)意義的優(yōu)化問題以高概率精確重構(gòu)稀疏信號x。

綜上所述,利用壓縮感知理論實現(xiàn)LFM信號多徑分量參數(shù)估計,需要重點研究三方面內(nèi)容,即信號的稀疏表示、測量矩陣的設(shè)計以及信號的重構(gòu)算法。

2.1 信號的稀疏表示

根據(jù)上節(jié)所述雷達(dá)回波模型及稀疏性分析,建立LFM信號多徑分量估計模型:

式中:r=[r1,r2,…,rN]T即接收到的N個回波信號;A為K稀疏的L×1維向量,代表L個可能的多徑分量對應(yīng)的衰減值;S=[S1,S2,…,Si,…,SL]為可能的多徑分量構(gòu)成的矩陣,Si=s(n-τi)=ex p[j2π(f0(nΔ-τi)+k(nΔ-τi)2],v=[v1,v2,…,vN]T,v是服從均值為0、方差為δ2的高斯分布的加性白噪聲。

故可將式(7)進(jìn)一步表示為

顯然,S即代表式(4)中稀疏基矩陣ψ。傳統(tǒng)的壓縮感知理論選擇正交基作為ψ,但由于正交基存在很大的局限性,稀疏分解的思想就是利用冗余原子庫取代正交基函數(shù),即將基用字典表示。原子庫中包含的元素稱為原子,可盡可能逼近信號結(jié)構(gòu),這樣,可從字典中選擇少數(shù)原子去最佳逼近信號[16]。

2.2 測量矩陣的設(shè)計

測量矩陣用于對原待測信號進(jìn)行壓縮觀測,常用的測量矩陣有隨機(jī)高斯矩陣、托普利茲矩陣、貝努利矩陣、局部哈達(dá)瑪矩陣和傅里葉隨機(jī)矩陣。

對于一個N×L維高斯隨機(jī)矩陣Φ,當(dāng)N=o(K ln(L))時,傳感矩陣D在很大概率下具有RIP性質(zhì)。而高斯隨機(jī)矩陣與大多數(shù)固定正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān),即選其作測量矩陣Φ時,與稀疏變換基ψ不相關(guān),使D滿足RIP等稀疏重構(gòu)性質(zhì)。因此,選用多個服從N(0,1)獨(dú)立正態(tài)分布的高斯隨機(jī)變量作為測量矩陣Φ的元素,滿足壓縮感知理論對測量矩陣的設(shè)計要求。

2.3 信號的重構(gòu)

信號的重構(gòu)就是指從長度為N的測量向量y重構(gòu)出原始信號x的過程,即對式(6)進(jìn)行優(yōu)化求解。

目前信號重構(gòu)算法主要分三類,第一類是凸優(yōu)化算法,包括最小全變差法(TV)、梯度投影算法(SPG)等;第二類是貪婪追蹤算法,包括匹配追蹤算法(MP)、正交匹配追蹤算法(OMP)、稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法(SAMP)等;第三類是組合算法,包括隨機(jī)傅里葉采樣法、稀疏序列匹配追蹤法等。重構(gòu)信號時,凸優(yōu)化算法雖計算過程較為復(fù)雜,但所需觀測次數(shù)最少,采樣效率最高,本文選擇梯度投影算法進(jìn)行信號重構(gòu)。

凸優(yōu)化算法利用了基追蹤/基追蹤去噪算法(Basis Pursuit/Basis Pursuit Denoise,BP/BPDN)模型,其思想是,當(dāng)D滿足RIP條件,且N≥c K·log2()時,可通過求解最小化L1范數(shù)[17]優(yōu)化方程得到信號重構(gòu)解,即式(6)可轉(zhuǎn)換為

梯度投影算法(SPG)是一種用于解決BP/BPDN問題的凸優(yōu)化方法,采用非單調(diào)線搜索策略,將譜投影梯度g和譜步長α分別作為搜索方向和步長,更新方向的選擇取決于當(dāng)前及前幾次迭代點方向,利用式(10)投影算子產(chǎn)生每次迭代搜索的投影梯度路徑。梯度投影算法(SPG)具有低復(fù)雜度、高重構(gòu)精度和良好的全局收斂性的優(yōu)點,且計算效率較高,適合求解大規(guī)模優(yōu)化問題,適用于本文的稀疏隨機(jī)測量重構(gòu)。不受有界條件約束的SPG算法同樣具有收斂性和有限步終止性[18]。

具體流程如下:

步驟1 初始化:稀疏估計值^z0=0;殘差b0=y;初始梯度g0=-DTb0;初始步長α0∈[αmin,αmax];迭代次數(shù)t=1。

步驟2 迭代:重復(fù)步驟2直至滿足迭代停止條件。

步驟2.1 線性迭代搜索策略更新本次迭代估計值:

步驟2.1.1 更新稀疏估計值和殘差

步驟2.3 若‖bt‖2-(yTbt-τ‖gt‖∞)/‖bt‖2＞δ,t=t+1,重復(fù)步驟2.2;否則,結(jié)束循環(huán)。

步驟3 輸出稀疏估計值^z=^zt。(^zt-^zt-1)Tgt-1,進(jìn)行步驟2.1.3;否則,αt-1=αt-1/2,重復(fù)步驟2.1.1。

步驟2.1.3 更新梯度gt=-DTbt。

步驟2.2 更新下次迭代譜步長:

步驟2.2.1 Δz=^zt-^zt-1;Δg=^gt-^gt-1。

3 仿真實驗與分析

為了檢驗基于壓縮感知法對LFM信號多徑分量參數(shù)估計的性能,本文選擇循環(huán)相關(guān)變換法作對比,根據(jù)不同情況下兩種算法的解算結(jié)果進(jìn)行性能分析及比較。實驗中,設(shè)置LFM信號中心頻率f0=1 M Hz,采樣頻率fs=2f0=2 M Hz,采樣間隔Ts=1/fs,帶寬B=0.5f0=0.5 M Hz,脈寬τp=200μs。

實驗1 多徑時延分辨率性能比較

實驗中,多徑分量數(shù)設(shè)M=3,多徑衰減為{A1,A2,A3}={1,0.5,0.8},對應(yīng)時延為{τ1,τ2,τ3}={0,100Ts,110Ts},信噪比SNR=10 dB,實驗數(shù)據(jù)點取N=1 000。實驗結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 實驗1中壓縮感知法解算結(jié)果1

圖3 實驗1中循環(huán)相關(guān)變換法解算結(jié)果1

由圖2和圖3可以看出,壓縮感知法可清晰地看到3個峰值并對應(yīng)了正確的時延值,衰減值也得到了較好估計,而循環(huán)相關(guān)變換法解算結(jié)果僅出現(xiàn)2個峰值,在100Ts附近波瓣展寬,解算失敗。將時延值設(shè)為{τ1,τ2,τ3}={0,100Ts,150Ts},其余參數(shù)設(shè)置不變,可從圖4和圖5所示實驗結(jié)果看到此時循環(huán)相關(guān)變換法已經(jīng)可以解算出3個峰值,時延估計相對準(zhǔn)確,但衰減值沒有完全準(zhǔn)確估計,然而壓縮感知法可以準(zhǔn)確估計時延及衰減,2種算法參數(shù)估計效果對比依然明顯。從實驗1可以看出,對LFM信號進(jìn)行多徑分量參數(shù)估計,壓縮感知法較循環(huán)相關(guān)變換法具有更高的時延分辨率,對應(yīng)的衰減也能得到較好估計。

實驗2 數(shù)據(jù)資源利用率性能比較

實驗中,多徑分量數(shù)設(shè)M=3,多徑衰減為{A1,A2,A3}={1,1,1},對應(yīng)時延為{τ1,τ2,τ3}={0,100Ts,150Ts},信噪比SNR=10 dB,數(shù)據(jù)點分別取N=1 000和N=100進(jìn)行采樣。實驗結(jié)果如圖6、圖7、圖8和圖9所示。

圖4 實驗1中壓縮感知法解算結(jié)果2

圖5 實驗1中循環(huán)相關(guān)變換法解算結(jié)果2

圖6 實驗2中壓縮感知法N=1 000

圖7 實驗2中壓縮感知法N=100

圖8 實驗2中循環(huán)相關(guān)變換法N=1 000

圖9 實驗2中循環(huán)相關(guān)變換法N=100

從解算結(jié)果看出,對壓縮感知法,當(dāng)數(shù)據(jù)點減少10倍時,依然可以很好地進(jìn)行多徑分量時延估計,效果并未發(fā)生顯著變化,然而循環(huán)相關(guān)變化法在當(dāng)數(shù)據(jù)率減少同樣的倍數(shù)時,參數(shù)估計效果明顯惡化。這是由于循環(huán)相關(guān)變換法是基于傳統(tǒng)Nyquist采樣定理的算法,當(dāng)所選用數(shù)據(jù)點數(shù)確定時,參數(shù)估計精度即被確定,因而循環(huán)相關(guān)變化法的參數(shù)估計精度與數(shù)據(jù)點數(shù)密切相關(guān),數(shù)據(jù)點數(shù)越多,估計越精確。然而現(xiàn)實情況中,數(shù)據(jù)丟失的情況并不少見,很可能只得到少量的原始數(shù)據(jù),使得參數(shù)估計的精準(zhǔn)度大大下降,難以較好地完成復(fù)雜電磁環(huán)境下的參數(shù)估計任務(wù)。壓縮感知理論的參數(shù)估計精度由所建字典的精細(xì)度決定,當(dāng)字典足夠精細(xì),包含的原子庫足夠充足,即可實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)。因而用此方法進(jìn)行多徑分量參數(shù)估計時具有高數(shù)據(jù)資源利用率,這也體現(xiàn)了用壓縮感知進(jìn)行多徑分量參數(shù)估計的先進(jìn)性。

為進(jìn)一步證明壓縮感知法用于多徑分量參數(shù)估計的先進(jìn)性,分析了在數(shù)據(jù)點N=100時,參數(shù)估計均方誤差隨SNR變化,取信噪比變化范圍SNR=0～30 dB,步進(jìn)為1 dB,做1 000次Monte-Carlo試驗。從圖10可以看出,壓縮感知法隨SNR增加估計精度逐步增大,且當(dāng)SNR=0時均方誤差EMS＜0.16,在誤差范圍之內(nèi),仍然保持了良好的估計精度。可見,壓縮感知法在低數(shù)據(jù)情況時依然具有較高的估計精度,再次體現(xiàn)了將此方法用于LFM信號多徑分量參數(shù)估計的優(yōu)越性。

圖10 壓縮感知法參數(shù)估計精度隨SNR變化

4 結(jié)束語

本文研究了基于壓縮感知的LFM信號多徑分量參數(shù)估計,相對于傳統(tǒng)方法,壓縮感知法突破了Nyquist采樣定律,可利用較少數(shù)據(jù)進(jìn)行信號重構(gòu),具有更高的時延分辨率、數(shù)據(jù)資源利用率,并且在較少原始數(shù)據(jù)情況下仍可實現(xiàn)較高的估計精度,對于復(fù)雜電磁環(huán)境下的參數(shù)估計具有較高的實用價值。

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