等效化簡帶有廣義優先關系的時間-費用權衡問題

等效化簡帶有廣義優先關系的時間-費用權衡問題

蘇志雄1,2，乞建勛1，闞芝南1

(1.華北電力大學經濟與管理學院，北京102206；2.南昌工程學院工商管理學院，江西南昌330099)

摘要：對于經典的時間-費用權衡問題，工序之間只存在單一時間約束，可用CPM網絡表示。但是對于工序之間存在多種時間約束的時間-費用權衡問題，包括最大和最小時間約束(稱為廣義優先關系，簡稱GPRs)，則只能用GPRs網絡表示，比CPM網絡復雜許多。首先，論述了帶有GPRs的時間-費用權衡問題與經典問題的巨大差別：在GPRs中，(1)縮短某些關鍵工序的工期能使總工期縮短，但縮短另一些關鍵工序的工期反而能使總工期延長；(2)縮短或延長工序的工期可能會破壞項目自身的可行性；等。其次，研究了GPRs網絡的特性，推導出該網絡的路長定理。第三，根據該定理，設計出等效化簡帶有GPRs的大型時間-費用權衡問題的簡單方法，從而大幅減小求解該問題的難度和計算量。最后，通過算例演示了該方法。

關鍵詞：項目調度；時間-費用權衡問題；等效化簡；路長定理；廣義優先關系

收稿日期：2012-09-29

基金項目：國家自然科學基金資助項目(71171079)

作者簡介：蘇志雄(1983-)，男，山西朔州人，博士生，研究方向：運籌學，項目進度與計劃管理；乞建勛(1946-)，男，河北邢臺人，教授，博士生導師，研究方向：運籌學，項目進度與計劃管理；闞芝南(1987-)，女，江蘇揚州人，博士生，研究方向：運籌學，項目進度與計劃管理。

中圖分類號：TB114.1文章標識碼：A

Simplification of Time-cost Tradeoff Problem with Generalized Precedence Relations

SU Zhi-xiong1,2, QI Jian-xun1, KAN Zhi-nan1

(1.SchoolofEconomicandManagement，NorthChinElectricPowerUniversity,Beijing102206,China; 2.BusinessAdministrationCollege,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang330099,China)

Abstract:For classic time-cost tradeoff problem, only single time constraint exists between activities, and it could be represented by CPM network. But for time-cost tradeoff problem when multiple time constraints exist between activities, which mainly contain maximal and minimal time constraints and are named as generalized precedence relations(GPRs), it only could be represented by GPRs network which is more complicated than CPM network. Firstly, huge differences between the time-cost tradeoff problem with GPRs and the classic problem are analyzed: under GPRs, (1)compressing durations of some critical activities could compress total duration, but compressing durations of some other ones could prolong the total duration; (2)compressing or prolonging duration of activity may damage feasibility of project etc. Secondly, property of GPRs network is studied, and path length theorem of the network is deduced. Thirdly, according to the theorem, simple algorithm to simplify large scale time-cost tradeoff problem with GPRs is designed for decreasing difficulty and computation greatly of solving the problem. And finally, the algorithm is illustrated by example.

Key words:project scheduling; time-cost tradeoff problem; equivalent simplification; path length theorem; generalized precedence relations(GPRs)

0引言

時間-費用權衡問題是項目調度的核心問題。根據項目中各工序選取工期的區間是否連續，經典的時間-費用權衡問題可劃分為連續型和離散型兩類，其中，離散型時間-費用權衡問題是NP-hard[1]，目前沒有多項式算法可以求解；對于連續型非線性時間-費用權衡問題，通常先用分段線性函數近似逼近非線性函數，然后再求解[2～4]，分段越精細，逼近效果越好，但是計算量及難度也越大。因此，求解經典時間-費用權衡問題的最大難點是其高復雜度和大計算量，尤其隨著現代科技的飛速發展，大型工程項目越來越多，所包含的工序均數以萬計，所涉及的問題規模往往都大得驚人。

在經典的時間-費用權衡問題[5,6]中，工序之間只存在單一時間約束，任意工序只能在其緊前工序全部結束后才能開始，可用CPM網絡表示。但在實際中，工序之間的時間約束類型很多，任意工序之間、以及工序與項目之間都可能存在時間約束(參見節1)，例如，工序A開始后至少3天，工序B才能開始，這是工序A和B之間的一類最小時間約束；再如，工序A開始后最多5天，工序B必須開始，這是工序A和B之間的一類最大時間約束。所有時間約束統稱為廣義優先關系(Generalized Precedence Relations，簡稱GPRs)。GPRs的多樣性使其無法用CPM網絡表示，當前通用的表示方法稱為GPRs網絡[7,8]。該網絡雖然能夠準確表示所有的時間約束，但是與CPM網絡相比要復雜得多，例如圖1就是一個只包含3個工序的GPRs網絡，其中既有負權弧，也有回路，并且不能有正回路，否則表明對應的項目不可行。

圖1　GPRs網絡

帶有GPRs的時間-費用權衡問題只能用GPRs網絡表示，它與CPM網絡表示的經典問題有巨大的不同：(1)在GPRs網絡中，縮短某些關鍵工序的工期能使總工期縮短，但縮短另一些關鍵工序的工期反而能使總工期延長，并且延長某些關鍵工序的工期也能使總工期縮短，這是與CPM網絡最根本的差異；(2)GPRs網絡中存在回路，回路上工序工期的變化可能會產生正回路，從而導致網絡即項目不可行，因此帶有GPRs的時間-費用權衡問題還存在著可行性問題，而CPM網絡沒有回路，不存在可行性問題。所以，帶有GPRs的時間-費用權衡問題，其難度遠遠大于經典的時間-費用權衡問題。國內外學者對該問題的研究還相對較少。Elmaghraby和Kamburowski[7,8]利用GPRs網絡，將帶有GPRs的時間-費用權衡問題轉化為特殊的最小費用流問題；另外他們還發現GPRs網絡中存在奇異關鍵工序，該類工序的工期縮短，總工期反而延長，反之亦然，顛覆了關鍵工序的傳統觀念和求解問題的傳統思路，進一步揭示了帶有GPRs的時間-費用權衡問題的高難度。Neumann和ZhanI[9]研究了在資源限制條件下，含最小與最大時間延期約束的項目工期最小化問題，給出了啟發式方法求解。Sakellaropoulos和Chassiakos[10,11]研究了帶有GPRs的時間-費用權衡問題，提出用線性/整數規劃方法求最佳時間-費用曲線，以及最低成本進度。國內學者主要針對帶有GPRs中最小時間約束的時間-費用權衡問題，利用搭接網絡對其進行研究。吳喚群、唐莉等人[12]研究了搭接施工網絡的工期優化問題，提出相應的優化算法。楊冰[13]給出了統一計算經典網絡、搭接網絡和流水作業網絡的時間參數的方法。

可見，當前對帶有GPRs的時間-費用權衡問題的研究主要集中在求解算法上。鑒于該問題的難度，當問題規模很大，或者問題是離散型或非線性連續型時，運用任何算法求解都將十分困難，因此只通過研究算法試圖實現對該問題的有效求解終究是有限的，有必要改變思路，探索新的解決方法。

本文采用對問題進行等效化簡的思路，找出并去掉求解過程中無需考慮的對象，既不影響問題的最優解，又縮小了問題的規模，從而降低了求解難度，無論使用任何算法求解都能大幅減小計算量。

對于經典的時間-費用權衡問題，文獻[14～17]提出了相應的等效化簡方法，其主要思路是，從路長的角度考慮，若要縮短總工期，只需要縮短CPM網絡中的較長路線即可，因此只需保留較長路線，而較短路線可以去掉，例如，若要將總工期從100天縮短到95天，則只需將路長大于95的所有路線縮短到95即可，而其余路線均無需考慮。這里暗藏著一個前提，隨著工序工期的縮短，路線也隨之縮短，因此最初短于95的路線，必然始終短于95。

但是對于帶有GPRs的時間-費用權衡問題，由于GPRs網絡中存在奇異工序，其工期縮短，經過該工序的路線反而延長，因此若單從路長的角度考慮，縮短某些工序的工期可能會使較短路線變長，使得較短路線在問題的求解過程中也需要考慮，即相當于網絡中的所有路線可能都需要考慮，無法等效化簡。所以，文獻[14～17]的化簡思路和方法并不完全適用于帶有GPRs的時間-費用權衡問題。

本文通過分析帶有GPRs的時間-費用權衡問題的特點，重點研究了GPRs網絡中的奇異工序，得出了等效化簡該問題的原理，并以此為依據設計出簡單的等效化簡方法。

1GPRs網絡分析

1.1GPRs網絡描述

GPRs包含工序之間的“最小”和“最大”兩類時間約束，具體類型如表1所示。

表1　GPRs的類型

當前通用的表示GPRs的GPRs網絡，其主要特點為：

(1)在工序的表示上，每個工序k都用兩個方向相反的弧(i,j)和(j,i)表示，其中，正向弧(i,j)表示工序k的走向，弧權數wij為該工序的工期dk，即wij=dk；而反向弧(j,i)與工序k的走向相反，并且弧權數wji為該工序工期的相反數-dk，即wji=-dk；另外，實工序之間不允許有公共的節點。

(2)在時間約束的表示上，用一個弧表示一個時間約束，其中，正向弧表示工序之間的最小時間約束，其方向與約束關系同向，弧權數為約束值；而反相弧表示工序之間的最大時間約束，其方向與約束關系反向，并且弧權數為約束值的相反數。

表2工序之間的GPRs

工序對時間約束類型時間約束起點,工序1BS0≤s1起點,工序2BS0≤s2工序1,2FSSFf1+4≤s2s1+8≤f2工序1,3SSFFs1+1≤s3f3≤f1+3工序2,3FFf2≤f3+7工序5,終點FEf2+1≤T工序7,終點FEf3≤T

鑒于上述特點，GPRs網絡與表示單一時間約束的CPM網絡有很大差別，例如圖1，圖中3個工序之間的時間約束如表2所示，其中si表示工序i的開始時間，fi表示工序i的結束時間。

1.2奇異工序

在CPM網絡中，任意工序的工期如果延長或者縮短，那么經過該工序的所有路線長度必然都會同步延長或者縮短。但是在GPRs網絡中，會存在這樣一些工序，它們的工期延長或者縮短后，經過它們的路線長度卻不會隨之同步變化，甚至還會逆向變化，這些工序就稱為奇異工序。

奇異工序不僅包括逆工序(例如文獻[7,8]發現的奇異關鍵工序)，我們還發現了中性工序。

1.2.1中性工序

GPRs網絡中，如果某工序的工期不論縮短還是延長，經過該工序的某些路線的路長都不變化，則該奇異工序就稱為這些路線的中性工序。

例如，圖1中的工序1就是中性工序，因為該網絡中存在著同時經過該工序的正向弧(2,3)和反向弧(3,2)各一次的路線μ=(1)→(2)→(3)→(2)→(6)→(7)→(8)。如果將工序1的工期從2縮短到1，則弧(2,3)的權數由2變為1，即減小1，而弧(3,2)的權數由-2變為-1，即增大1，其它弧的權數不變，因此路線μ上所有弧權數之和不變，即路長不變，工序1是該路線μ的中性工序。

特別當μ是關鍵路線μ▽時，工序k就是中性關鍵工序，其工期無論縮短還是延長，總工期都不變。

1.2.2逆工序

GPRs網絡中，如果某工序的工期縮短后，經過該工序的某些路線反而會延長；相反，如果該工序的工期延長后，這些路線反而會縮短，則該奇異工序就稱為這些路線的逆工序。

例如，圖1中的工序1也是逆工序，因為該網絡中存在著經過該工序的反向弧(3,2)而不經過其正向弧(2,3)的路線μ=(1)→(6)→(7)→(3)→(2)→(5)→(8)，如果將工序1的工期從2縮短到1，則弧(3,2)的權數就由-2變為-1，即增大1，并且該路線上其它弧的權數沒有變，因此該路線μ的路長也增大1，說明工序1的工期縮短后，路線μ反而延長，工序1是該路線μ的逆工序。

特別當μ是關鍵路線μ▽時，工序k就是逆關鍵工序，其工期縮短，總工期必然延長。

2等效化簡帶有GPRs的時間-費用權衡問題的原理

時間-費用權衡問題是指如何用最低的費用實現項目的預定總工期。由于通常工序的工期越長，費用越低，因此，求解該問題的常用方法是，用最低的費用將總工期從最長值縮短到預定值。

對于帶有GPRs的時間-費用權衡問題，設初始GPRs網絡中，各工序都選用各自的最長工期，且項目可行，總工期為T，若要求將總工期縮短ΔT，為了使問題變得簡單易解，我們可以先對問題進行等效化簡，即等效化簡GPRs網絡，去掉對求解過程沒有影響的路線、工序和時間約束。

由于GPRs網絡中包含奇異工序，因此等效化簡該網絡時，不能參照文獻[14～17]只從路長的角度考慮。針對該問題，我們給出了化簡原理，并將其總結為以下命題1～4。

由于GPRs網絡中的工序和時間約束都由弧表示，為了便于描述，我們在后面只用“弧”的概念。

命題1等效化簡帶有GPRs的時間-費用權衡問題時，不能只考慮GPRs網絡中的路長，還必須結合“每步壓縮中，工序工期的變化對于總工期的縮短都必須是有效的”這一前提。

證明求解任何時間-費用權衡問題時，基本原則之一就是要求每步壓縮必須是有效壓縮，不能使縮短了的總工期再延長，并且壓縮費用最低。求解帶有GPRs的時間-費用權衡問題也同樣遵循該原則。

由于GPRs網絡中存在奇異工序，使得在壓縮工序工期時，網絡中的路線可能縮短，可能延長，也可能不變，無法確定路長始終不大于T-ΔT的路線，因而在求解時間-費用權衡問題的過程中，所有路線都可能因為變得長于T-ΔT而需要考慮。所以，只從路長的角度考慮無法進行化簡。

但是求解帶有GPRs的時間-費用權衡問題的本質是“用最低的費用縮短總工期”，因此必然要求工序工期的每步調整對于總工期的縮短都是有效的。我們對該問題進行等效化簡，并不單是去掉網絡中的較短路線，其根本目的是簡化問題的求解過程，而并不改變其本質，因此必須在“每步壓縮中，工序工期的變化對于總工期的縮短都必須是有效的”這一前提下進行。

結合上述前提來考慮GPRs網絡中的路長，就會得到全新的結論，因為該前提是針對網絡整體，而“逆工序”和“中性工序”只是針對單條路線。在保證該前提下，只要經過某弧的所有路線不長于T-ΔT，那么即使受奇異工序的影響，這些路線在壓縮總工期過程中也不會長于T-ΔT，具體參見命題2和3。

命題2在壓縮總工期的過程中，GPRs網絡中只有表示工序的弧的權數可以改變，而表示時間約束的弧的權數不可以改變，更不會產生奇異現象。

證明由于工序之間的最大和最小時間約束都是硬性條件，不可以改變，所以GPRs網絡中表示這些時間約束的弧及權數也不可以改變，因此，它們的權數雖然可能為正，也可能為負，但是對所在路線的長度變化沒有影響，更不會導致奇異現象的產生，在等效化簡時，無需將它們進行特殊考慮。

命題3在初始GPRs網絡中，如果經過(i,j)弧的所有路線均不長于T-ΔT，那么無論奇異工序存在與否，在“用最低的費用將總工期從T縮短到T-ΔT”的過程中，這些路線始終都不會長于T-ΔT。

證明GPRs網絡中，實工序k用權數為wuv=dk的正向弧(u,v)和權數為wvu=-dk的反向弧(v,u)表示。設初始網絡中經過弧(i,j)的所有路線均不長于T-ΔT，下面針對具體情況進行分析。

根據工序的類型，經過弧(i,j)的路線最多有3類：不包含奇異工序的路線，包含中性工序的路線，以及包含逆工序的路線。下面我們分別進行分析。

(1)如果經過弧(i,j)的某路線上沒有奇異工序，則縮短任意工序都只會使該路線變得更短。

(2)如果經過弧(i,j)的某路線上有中性工序k，即該路線經過弧(u,v)和(v,u)各一次，縮短該工序的工期不會使該路線長度發生變化，而縮短其它工序只會使其變短，因此該路線必然不會長于T-ΔT。

(4)如果經過弧(i,j)的非最長路線μij上有逆工序k，即μij經過工序k的反向弧(v,u)，弧權數wvu=-dk，而不經過其正向弧(u,v)，弧權數wuv=dk，我們也從以下幾方面考慮：

1)若(v,u)=(i,j)，則與(2)-1)情況相同。

2)若(v,u)≠(i,j)，且弧(v,u)所表示的工序k是非關鍵工序，或者同時也是中性關鍵工序或逆關鍵工序，要實現“用最低的費用縮短總工期”，工序k的工期不能縮短，因此μij始終不會長于T-ΔT。

圖2　示例圖

3)若(v,u)≠(i,j)，且弧(v,u)所表示的工序k雖是逆工序，但同時也是非奇異的關鍵工序，如圖2，粗線表示關鍵路線，點劃線表示經過弧(v,u)的路線μij=…→(i)→(j)→…→(v)→(u)→…→(n)。

結合(1)～(4)可知，如果經過弧(i,j)的所有路線都不長于T-ΔT，那么在“用最低的費用將總工期從T縮短到T-ΔT”的過程中，這些路線在任何時候也都不會長于T-ΔT。

命題4如果初始GPRs網絡中經過弧(i,j)的最長路線不長于T-ΔT，則該弧可以去掉。

證明如果初始GPRs網絡中經過弧(i,j)的最長路線不長于T-ΔT，則經過該弧的所有路線均不長于T-ΔT。根據命題3，在“用最低的費用將總工期從T縮短到T-ΔT”的過程中，這些路線始終不會長于T-ΔT，因此在求解時間-費用權衡問題時，可以通過去掉弧(i,j)，來去掉這些無需考慮的路線。

在上述命題的基礎上，我們就可以只從路長的角度來考慮GPRs網絡中各弧的取舍，進而對該網絡以及原問題進行等效化簡。

但是路長問題同樣難度很大，并且是世界性難題。尤其對于GPRs網絡，其結構復雜，回路眾多，還有大量的負權弧，若要尋找經過任意弧的所有路線，運用現有的任何方法都是極其復雜的，因此如何簡便有效地尋找路線成為等效化簡的一大難點，如果不能解決，無疑會使等效化簡的效果大打折扣，甚至沒有意義，因為“通過等效化簡降低原問題求解難度”的根本目的無法實現，甚至適得其反。

為了克服上述難點，我們研究了GPRs網絡的結構特性，揭示了節點時間參數與路長的關系，總結為路長定理(參見節3.2)，根據該定理，能夠只利用時間參數判斷經過任意弧的最長路線，進而得知所有路線的狀況，無需復雜的路長計算，從而能用很簡單的方法等效化簡帶有GPRs的時間-費用權衡問題。

3GPRs網絡的節點時間參數和路長定理

3.1節點時間參數

(1)

(2)

由于GPRs網絡中既有負權弧，也有回路，所以需借助Ford算法計算相應的路長。

3.2路長定理

(3)

(4)

所以該路線的路長為

(5)

根據式(1)，起點(1)到節點(i)的最長路線的路長為

(6)

再根據式(2)，節點(j)到終點(n)的最長路線的路長為

(7)

將式(6)和(7)代入式(5)

所以式(3)成立。

同理可證，式(4)成立。

4等效化簡帶有GPRs的時間-費用權衡問題的方法

4.1化簡方法描述

假設在GPRs網絡中，各實工序的初始工期都是各自的最長工期，且網絡可行。若要求將總工期縮短ΔT，可按如下步驟等效化簡該問題：

步驟3去掉剩余節點中沒有與表示“時間約束”的弧相連的節點，并去掉與它們相鄰的弧。

4.2方法的正確性證明

根據節2的命題1和2，每步壓縮時，工序工期的變動對于總工期的縮短必須是有效的。再根據節2的命題3和4，若經過某弧的最長路線不長于T-ΔT，則在總工期以最低的費用從T縮短到T-ΔT的過程中，經過該弧的所有路線都不會長于T-ΔT，因而該弧可以去掉不予考慮。

由于L(μ▽)=T，所以

所以節4.1算法的步驟1和2正確。

在已去掉的弧中，包括表示時間約束的弧，可能出現這樣的節點(j)，在與該節點相連的弧中，只有表示工序的弧(i,j)和(j,i)，而沒有表示時間約束的弧，并且由于網絡起點(1)和終點(n)始終存在，該節點(j)不會成為網絡起點或終點，例如圖3所示。很明顯，在圖3中，縮短工序k的工期不會影響任何路長，因此無需考慮工序k。去掉工序k就是去掉節點(j)及其相鄰弧。所以節4.1算法的步驟3正確。

圖3　示例圖

通過上述分析可知，通過節4.1的算法，去掉的弧都是在求解帶有GPRs的時間-費用權衡問題時不需要考慮的冗余弧，不影響問題的最優解，因此該算法能夠實現對原問題的等效化簡。

4.3方法的復雜性分析

設GPRs網絡中共有n個節點，m個弧，m>n。

所以節4.1算法的復雜度為O(m)。

5應用舉例

圖4表示工序之間帶有GPRs的工程項目網絡圖，如果要求將該項目當前的總工期以最低的費用縮短2天，試對該問題進行等效化簡。

圖4　GPRs網絡

步驟3去掉剩余節點中沒有與表示“時間約束”的弧相連的節點(5),(12)，以及與其相鄰的弧。

化簡后的網絡如圖5所示，很顯然，該網絡比圖4所示的原網絡要簡單的多，利用該網絡求解相應的時間-費用權衡問題無疑會便利許多。

圖5　等效化簡后的GPRs網絡

6結論

對于工序間帶有GPRs的時間-費用權衡問題，首先，工序之間以及工序與項目之間的時間約束無法用CPM網絡表示，而只能用更為復雜的GPRs網絡表示；其次，GPRs網絡中包含奇異工序，特別是逆關鍵工序，縮短該工序的工期反而會使總工期延長，不能再用傳統的思路和方法考慮并求解；再者，GPRs網絡中存在大量回路，調整工期時必須檢驗并確保不產生正回路。因此，該問題與經典的時間-費用權衡問題相比，其難度要大得多，目前還沒有足夠簡便有效的方法可以求解。

針對該問題，本文研究如何進行等效化簡，找到并去掉求解過程中無需考慮的對象，包括工序和時間約束，從而大幅減小問題規模，降低求解難度。需要強調的是，由于奇異工序顛覆了人們對工序特別是關鍵工序的傳統認識，因此對待該類工序不能再用已有的思路和方法，否則必然導致錯誤的結果。

本文首先分析了帶有GPRs的時間-費用權衡問題的特點，將GPRs網絡中的奇異工序作為重點考慮對象，給出了等效化簡該問題的原理；其次，分析了GPRs網絡中的時間參數，揭示了它們與相應路線長度之間的關系，總結出路長定理；再次，根據等效化簡原理和路長定理，設計出等效化簡帶有GPRs的時間-費用權衡問題的簡單方法，并分析了方法的正確性和復雜性，其復雜度為O(m)，m表示網絡中弧的數量；最后，通過應用舉例，顯示了該化簡方法的便捷性和有效性。在未來的研究中，我們將在等效化簡的基礎上，進一步研究如何更有效地求解帶有GPRs的時間-費用權衡問題。

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