高中數(shù)學(xué)向量的教學(xué)認(rèn)識及其教育價值

王峻峰

在新課改背景下的向量教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教材分別設(shè)置了平面向量與空間向量兩部分。受到傳統(tǒng)向量應(yīng)用教學(xué)的局限思維影響，很多教師認(rèn)為向量知識主要應(yīng)用于幾何問題，用于簡化幾何問題，拓寬解題思路上。因此，向量教學(xué)也偏向于幾何問題解決技巧教學(xué)，忽視對其教育價值的使用。在本文中，我們將從高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)的認(rèn)識出發(fā)，對其教育價值進(jìn)行討論。

一、向量的認(rèn)識

向量具有顯著的應(yīng)用價值，在數(shù)學(xué)、物理及現(xiàn)代科技中都有著廣泛的應(yīng)用。

1.物理學(xué)背景

向量表示具有大小和方向的基本量，常用箭頭表示，在物理學(xué)中稱為矢量。矢量在重力場、電場等處有著直接應(yīng)用，位移、力、速度、加速度等物理概念都具有矢量的性質(zhì)。矢量的運(yùn)用貫穿于物理學(xué)科發(fā)展的始終，滲透在眾多物理學(xué)分支學(xué)科中。這些矢量模型都是數(shù)學(xué)向量的經(jīng)典原型，為學(xué)生們今后的數(shù)學(xué)向量學(xué)習(xí)提供了豐富的物理依據(jù)。

2.幾何學(xué)背景

向量具有大小和方向，而幾何學(xué)的主要研究內(nèi)容就是物體的形狀和位置，大小可以表示幾何形狀，方向可以表示幾何位置，這兩者之間密切相關(guān)。在幾何學(xué)中，直線、平面及其位置關(guān)系都可以利用向量的方向性來表示;線段長度、平面面積和幾何體積則可以利用向量的大小及其運(yùn)算法則表示。因此，在高中數(shù)學(xué)向量的教學(xué)中，教師必須引導(dǎo)學(xué)生將向量知識向幾何意義方向過渡，幫助學(xué)生掌握向量與幾何學(xué)的關(guān)系。

3.代數(shù)學(xué)背景

代數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容包括運(yùn)算及其基本規(guī)律，傳統(tǒng)的代數(shù)運(yùn)算包括加減乘除等，而這些運(yùn)算在向量中同樣存在。向量運(yùn)算除了加減乘除外，還包括向量積（點(diǎn)乘）、數(shù)量積（叉乘）等。這些代數(shù)運(yùn)算法則及其規(guī)律賦予了向量知識新鮮血液，催生了一系列特定的向量結(jié)構(gòu)。

二、向量的教育價值

1.聯(lián)系其他學(xué)科，實(shí)現(xiàn)背景教學(xué)

向量知識不僅僅為數(shù)學(xué)學(xué)科所使用，在物理學(xué)中同樣有著重要的教育價值。在向量知識的實(shí)際教學(xué)過程中，必須注重對應(yīng)的學(xué)科聯(lián)系性教學(xué)，幫助學(xué)生全面掌握向量知識。

例如，在必修四的向量加法運(yùn)算教學(xué)中，我們可以利用位移合成的原理來導(dǎo)入加法運(yùn)算法則。我們假設(shè)一個物體從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，再從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)，則整個過程中AB與BC兩端位移的位移和是從A點(diǎn)到C點(diǎn)的位移。以此為背景，我們可以導(dǎo)入向量加法的三角形原則和平行四邊形原則。在向量數(shù)乘的教學(xué)上，我們可以利用位移的數(shù)乘來作為導(dǎo)入背景，通過位移數(shù)乘的直觀性教學(xué)，幫助學(xué)生認(rèn)識向量數(shù)乘運(yùn)算法則。在向量的數(shù)量積教學(xué)中，我們利用外力做功的物理學(xué)背景進(jìn)行教學(xué)。對此，我為學(xué)生們設(shè)置了如下的背景，一物體受力為F，若在θ角方向上的位移為S，試問外力做功為多少？由角度可知，在位移方向上的外力為F1，則在沿位移方向上的外力做功為F1S，則此時外力對物體做功為FScosθ。通過物理背景的融入，我們將數(shù)量積的決定因素展示給了學(xué)生們。

2.綜合各類知識，實(shí)現(xiàn)方法教學(xué)

從我們對向量知識的認(rèn)識可知，向量的教學(xué)可以有效地將幾何與代數(shù)知識相聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)各類知識之間的聯(lián)系性教學(xué)，幫助學(xué)生掌握其中的數(shù)學(xué)方法。向量作為聯(lián)系代數(shù)與幾何的媒介，很多向量問題可以利用代數(shù)與幾何的知識來綜合解決，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

【例題】（2012年興化市）如下圖A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，P是直線外一點(diǎn)，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，則 ? ? ? ? ? _____（用a表示）。

【分析】本題屬于向量積求解問題，結(jié)合幾何圖形與代數(shù)法則，我們可以從以下方法中尋求突破。首先，我們可以利用代數(shù)知識進(jìn)行求解，以PA、PB作為坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系。于是，我們設(shè)A（m，0）、B（0，n），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，2n），根據(jù)AB=BC=a，可以進(jìn)一步求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。最后，利用向量積的代數(shù)運(yùn)算法則，我們可以得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。此外，我們可以利用幾何的方法進(jìn)行求解，點(diǎn)C在直線AP上的投影為D，則△DPC為等腰直角三角形。利用上圖所示三角形中線與中位線的知識，我們可得出PC= ? ?PD=

PA、2PB=CD=PB=PA。最后，利用勾股定理，我們可以求出PA與PC。利用幾何關(guān)系，可得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

3.發(fā)展計算能力，深化向量價值

與初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)對學(xué)生計算能力的要求進(jìn)一步提高，需要學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有著深入的掌握。從單純的數(shù)字向字母、多項式和矩陣方向發(fā)展，數(shù)學(xué)計算也是朝著復(fù)雜化與多樣化方向發(fā)展。在數(shù)字與字母的組合下，數(shù)運(yùn)算、多項式運(yùn)算為A×A=A的形式，數(shù)與多項式的運(yùn)算為A×B=B的形式。向量運(yùn)算除了以上的類型，還包括較為特殊的數(shù)量積運(yùn)算，即是A×A=B的形式。在向量運(yùn)算背景下，我們得以實(shí)現(xiàn)對長度、面積和體積等度量單位的計算問題，向?qū)W生們展現(xiàn)了不一樣的計算類型。

總之，向量在物理、數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用，對學(xué)生綜合能力培養(yǎng)有著重要的作用。在新課改背景下，我們必須精確定位學(xué)生需求，進(jìn)一步深化學(xué)生對向量知識的認(rèn)識與理解。

（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學(xué)）