軸、橫向荷載下微傾單樁地基反力法的解析解

張 磊，焦 丹

（1．西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055；2．西安建筑科技大學理學院，陜西 西安 710055）

樁基礎既可以承受由上部結構和樁身自重等引起的軸向荷載，也可以同時承受風荷載、流水壓力、車輛制動力和牽引力、離心力、船只或汽車的撞擊力等水平荷載[1]．水平荷載使樁身產生側向變形和內力，而軸向荷載使其進一步加大[2]，即P-△效應．橫山幸滿[3]給出了單層地基中地基反力系數為常數時，軸、橫向荷載共同作用下半無限長樁側向變形和內力的解析解．假定地基反力系數沿深度線性增加，張玲等[4]提出了層狀地基中樁身側向響應的冪級數解．張磊等[5]基于三參數形式的地基反力系數提出了半解析解．另外，姚文娟等[6]用有限桿單元法，Karthigeyan等[7]和鄭剛等[8]用有限單元法，趙明華等[9]用試驗的方法分別進行研究，并得到很多有益的結論．

上述研究[2-9]均認為荷載施加前樁身為豎直的，但工程中多種原因可使其存在初始微傾斜[10]：灌注樁在施工時，樁身可能因樁孔傾斜而傾斜；預制樁在施工時，樁身可能因垂直度控制不好而傾斜．陳榮保等[11]和NADEEM等[12]采用數值模擬、鄭剛等[10]和CHAN等[13]通過模型試驗及鄭剛等[13]通過現場試驗對微傾樁的豎向承載性狀展開研究，但目前對軸、橫向荷載共同作用下微傾樁水平承載性狀的研究還很鮮見．趙明華等[15]通過室內模型試驗研究了軸、橫向荷載共同作用下微傾木樁的水平承載性狀．趙明華等[16]提出了地基反力系數沿深度線性增加時的有限桿單元法，但樁身水平位移被預先假定為深度的三次冪函數．另外，對于超固結黏土和密砂，地基反力系數可取為常數[17-18]．

考慮樁身初始微傾斜，結合樁頂、底的邊界條件，推導出地基反力系數為常數時軸、橫向荷載共同作用下樁身側向變形和內力的解析解，及樁身最大位移、最大彎矩及其所在位置的計算方法．采用Fortran語言編制了計算程序．通過與模型試驗的實測結果進行對比來驗證解及程序的可靠性，進一步分析了樁身初始微傾斜、軸向荷載等因素對樁身側向響應的影響．

1 控制方程及解

1.1 方程的建立

如圖1所示，一根樁上半段露出地面，下半段沉入土中．樁身存在初始傾斜，傾角為θ，其值遠小于1，并以向右傾斜為正．樁頂作用水平力Qp、力矩Mp和軸向力Np．地面以上及以下樁長分別為H0和H1，并在各段上分別建立坐標系．假定自由段分布荷載：q(x)=q0+△qx/H0，式中q0和(q0+△q)分別為自由段樁身頂端及底端的分布荷載集度．分別為荷載作用下地面以上及以下樁身軸線的橫坐標．令uG和u分別表示荷載作用下地面以上及以下樁身水平位移，則有

圖1 軸、橫向荷載下微傾單樁示意圖Fig.1 Schematic diagram of a slightly inclined single pile under vertical and lateral loads

土體被離散成一系列獨立的彈簧，且單位樁長上土反力p與樁身水平位移u成正比，即：p=kbu，式中：b為樁身寬度或直徑；k為地基反力系數，假定為常數，適用于超固結黏土和密砂[17-18]．假定樁側摩阻力和樁身自重對樁身側向響應的影響很小，可忽略不計，也即樁身軸力等于施加于樁頂的軸向力Np，且滿足：(大多數情況下適用[3])，式中EI為樁身抗彎剛度．

如圖2所示，在地面以上樁身取一微元體進行受力分析，圖中QG和MG分別為地面以上樁身的剪切力和彎矩．假定：位移以向右為正，轉角以向左傾斜為正，彎矩以使樁身右側受壓為正，剪切力以繞研究對象順時針轉為正．

圖2 地面以上樁身單元受力分析示意圖Fig.2 Stress analysis of pile element above ground

由水平向力的平衡，并化簡后得：

對下端點取矩，由力矩平衡，并略去高階小量，化簡后得：

把式(1a)代入式(3)，化簡后得：

由歐拉—伯努利梁理論及式(1a)，得：

在地面以下樁身取一微元體進行受力分析，如圖3所示，圖中Q和M分別為地面以下樁身的剪切力和彎矩，并假定土反力以向左為正．

圖3 地面以下樁身單元受力分析示意圖Fig.3 Stress analysis of pile element under ground

由水平向力的平衡，并化簡后得：

對下端點取矩，由力矩平衡，并略去高階小量，化簡后得：

把式(1b)代入式(9)，化簡后得：

由歐拉—伯努利梁理論及式(1b)，得：

式中：tφ=φ-θ，為荷載作用下地面以下樁身軸線相對于縱坐標軸的轉角，為荷載作用下地面以下樁身轉角，所以：M為地面以下樁身彎矩．把式(12)代入式(10)，化簡后得：

式(13)對z求導，并把式(8)代入，得地面以下樁身撓曲線微分方程：

1.2 各樁段上的解

求解式(7)，得自由段樁身響應的解：

1.3 邊界條件

當樁頂嵌入承臺，在約束條件的限制下不能轉動，只能在承臺的帶動下發生水平位移時，邊界條件稱為“樁頂固定”；當樁頂沒有限制，可以在荷載的作用下自由的發生水平位移和轉動時，邊界條件稱為“樁頂自由”．工程中樁頂的約束條件往往介于自由和固定之間．為求解方便，樁頂采用自由和固定兩種理想化的情形．因此，樁頂自由時，Qp和Mp分別為樁頂施加的水平力和力矩荷載；樁頂固定時，p=0、Qp為樁頂施加的水平力．

當樁底嵌入基巖或硬土，在約束條件的限制下不能發生水平位移和轉動時，邊界條件稱為“樁底固定”；當樁底嵌入基巖的深度不大或與基巖接觸而只被限制發生水平位移時，邊界條件稱為“樁底鉸接”；當樁底以下為軟土時，邊界條件稱為“樁底自由”．因此，樁底自由時：M(H1)=0、Q(H1)=0；樁底鉸接時：u(H1)=0、M(H1)=0；樁底固定時：u(H1)=0、(H1)=0．

1.4 求解過程

基于樁身響應在圖1中C點處的連續性，及樁頂、底的邊界條件，得樁頂未知的邊界值：

(式中：A11(H0)，A21(H0)…，A42(H0)取自矩陣如A32(H0)為矩陣A(H0)中第3行第2列的元素，下同)．

當樁頂固定時：

當樁底自由時：

當樁底鉸接時：

當樁底固定時：

至此，樁頂的位移、轉角、彎矩和剪切力全部已知．自由段樁身任意點處的變形和內力可通過式(15)得到．對于地面以下樁身任一點處的變形和內力，可先通過式(15)求得地面處樁身響應，然后由式(16)得所求點處樁身響應．對于層狀地基，可類似式(16)先求得每一層任意點處樁身變形和內力與該層上分界點處樁身響應的關系，然后利用各層分界點處樁身響應的連續性，得樁頂及樁頂以下各點處樁身響應．

在水平承載樁基工程中，設計人員最關心的參數是樁身最大位移、最大彎矩及其所在位置．最大位移發生在樁頂；對于最大彎矩，可先采用二分法近似求得樁身彎矩的微分為零的點，然后比較該點彎矩和樁頂彎矩，以得到最大值．

2 算例驗證

基于解采用Fortran語言編制了計算程序．以下將本文解的計算結果與模型試驗的實測結果進行對比，以驗證解及程序的可靠性．趙明華等[15]開展了3組軸、橫向荷載共同作用下微傾木樁室內模型試驗研究，其中02組第05號樁的樁徑b=31.57 mm，自由段樁長H0=66.0 cm，地面以下樁長H1=69.0 cm，抗彎剛度EI=407.686 6 N·m2，樁身初始傾角θ=0．0129 rad，樁頂和樁底的邊界條件均為自由．上覆黏土層厚30 cm，下臥砂土層厚70 cm．自由段樁身無分布荷載，地基反力系數k=4×104 kN/m3．樁、土其余參數詳見文獻[15]．水平力Qp=26.95 N、力矩Mp=0 N·m，地面處樁身水平位移的計算值及實測值與軸向荷載的關系如圖4所示．

圖4 計算結果與模型試驗結果對比圖Fig.4 Comparison between computed and test results

由圖4可見，本文解計算結果與模型試驗結果吻合度很高，說明所得解及程序是可靠的．

3 影響因素分析

為分析樁身初始微傾斜及軸向荷載等因素對樁身側向響應的影響，另以某橋梁樁基為例分析如下．樁徑b=1.8 m，自由段樁長H0=20 m，地面以下樁長H1=40 m，抗彎剛度EI=9.275×106 kN·m2，樁底固定，地基反力系數k=4×104 kN/m3，自由段無分布荷載．

3.1 樁身初始微傾斜的影響

軸向荷載Np=10 MN，不同的樁頂約束條件及不同的水平力和力矩荷載作用下，樁身最大位移、最大彎矩及樁身最大彎矩距離地面的距離與樁身初始傾角的關系如圖5所示．

圖5 樁身側向響應與樁身初始傾角的關系Fig.5 Relationship between lateral pile responses and initial inclination angle of pile shaft

由圖5(a)、(b)可見，樁頂自由時樁身最大位移和最大彎矩均隨樁頂施加的水平力和力矩荷載的增加而增大．樁身最大位移和最大彎矩均隨樁身初始傾角的增加而近似線性增大，且其變化速率隨水平力和力矩荷載的增加而基本保持不變．由樁頂自由且Qp=0.3 MN、Mp=1 MN·m對應的曲線可知，當樁身初始傾角從0rad增加到1×10-2rad時，樁身最大位移和最大彎矩分別增加約27.7%和22．1%．樁頂固定時，樁身最大位移和最大彎矩也均隨樁身初始傾角的增加而近似線性增大，但其變化速率比樁頂自由時小．由圖5(c)可見，樁頂自由時，如果樁頂只承受水平力而不承受力矩荷載，水平力和樁身初始傾角對樁身最大彎矩距離地面的距離影響很小，可忽略不計；如果水平力和力矩荷載均較大，樁身最大彎矩距離地面的距離隨樁身初始傾角的增加而增大，但其變化速率隨樁身初始傾角的增加而逐漸減小．另外，計算結果顯示樁頂固定時樁身最大彎矩位于樁頂．

3．2 軸向荷載的影響

水平力Qp=0.4 MN、力矩Mp=0.6 MN·m，樁頂自由，不同的樁身初始傾角下樁身最大位移、最大彎矩及樁身最大彎矩距離地面的距離與軸向荷載的關系如圖6所示．由圖6(a)、(b)可見，樁身最大位移和最大彎矩均隨軸向荷載的增加而增大；其變化速率雖然在軸向荷載較小時較小，但隨樁身初始傾角和軸向荷載的增加而增大．在曲線的后半段，樁身最大位移和最大彎矩隨軸向荷載的增加而迅速增大，此時樁基已失穩．當軸向荷載為0 MN時，隨著樁身初始傾角的增加，樁身最大位移和最大彎矩保持不變，這是因為本文中樁身初始微傾斜由施工等原因造成，傾角遠小于1，屬于小變形；對于工程中應用廣泛的斜樁，樁身初始傾角較大，不在本文考慮之列．隨著軸向荷載的增加，樁身初始微傾斜對樁身最大位移和最大彎矩的影響逐漸增大．由圖6(c)可見，樁身最大彎矩距離地面的距離隨軸向荷載的增加而近似線性減小．

圖6 樁身側向響應與軸向荷載的關系Fig.6 Relationship between lateral pile responses and axial load

4 結論

考慮樁身初始微傾斜，提出了地基反力系數為常數時，軸、橫向荷載共同作用下樁身側向變形和內力的解析解，及樁身最大位移、最大彎矩及其所在位置的計算方法，編程計算后得如下主要結論：

(1) 樁身最大位移和最大彎矩均隨樁頂施加的水平力和力矩荷載的增加而增大．

(2) 樁身最大位移和最大彎矩均隨樁身初始傾角的增加而近似線性增大；其變化速率雖隨軸向荷載的增加而增大，但基本不受水平力和力矩荷載的影響．樁頂自由時，如果樁頂只承受水平力而不承受力矩荷載，樁身最大彎矩距離地面的距離隨水平力和樁身初始傾角的增加而基本保持不變；如果水平力和力矩荷載均較大，樁身最大彎矩距離地面的距離隨樁身初始傾角的增加而增大，但其變化速率隨樁身初始傾角的增加而逐漸減小．樁頂固定時，樁身最大彎矩位于樁頂．

(3) 樁身最大位移和最大彎矩均隨軸向荷載的增加而增大，且其變化速率隨樁身初始傾角和軸向荷載的增加而增大．軸向荷載可以引起樁基失穩．樁頂自由時樁身最大彎矩距離地面的距離隨軸向荷載的增加而近似線性減小．

(4) 驗證結果表明所得解及程序是可靠的．另外本文解適用于樁周為超固結黏土或密砂且樁身側向變形不太大情況，在相關設計中可參考應用．

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