斜裂紋轉子剛度特性分析

李志農, 夏恒恒, 肖堯先

(南昌航空大學 航空制造工程學院， 江西 南昌 330063)

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斜裂紋轉子剛度特性分析

李志農, 夏恒恒, 肖堯先

(南昌航空大學 航空制造工程學院， 江西 南昌 330063)

摘要：在材料力學和斷裂力學的基礎上，運用應變能釋放率的方法，得出斜裂紋的剛度矩陣.討論在裂紋全開的狀態時，裂紋傾角、軸細長比和裂紋深度對轉軸剛度的影響，并對裂紋處于旋轉時的開閉情況及相應軸的剛度變化規律進行研究.結果表明：當裂紋處于全開狀態時，隨著裂紋傾角的增大，裂紋的剛度隨之減小，軸剛度的變化隨著裂紋深度的增大更加顯著；當裂紋處于開閉狀態時，隨著裂紋深度的增加，軸的剛度不再一直減小，而是有一定規律的波動，即時變特性，此時，軸的耦合振動隨之增強，轉子的動力特性變得愈加復雜.

關鍵詞：斜裂紋； 轉子剛度； 時變特性; 開裂紋; 呼吸裂紋

疲勞裂紋是旋轉類機械轉軸上常見的故障之一，也是引起機械系統失效的主要原因.而含裂紋軸的非線性動力學特性主要是受轉軸剛度的影響.因此，如何合理地建立含裂紋的轉子系統動力學模型，計算裂紋轉軸的剛度顯得尤為重要.當前，國內外許多學者對裂紋的剛度模型進行了研究，并取得了一些成果[1-10].然而，裂紋全開和裂紋處于開閉交替時，裂紋轉軸的剛度變化規律有顯著的差別.基于此，本文通過應變能釋放率的方法，得到斜裂紋軸的剛度矩陣，并使用應力強度因子為零法，近似模擬了裂紋的呼吸特點，著重分析裂紋傾角為45°時，在裂紋處于全開狀態下，轉軸軸細長比和裂紋深度比對轉軸剛度的影響，以及裂紋處于開閉交替狀態下，轉軸的剛度變化規律.

1裂紋模型

(a) 轉軸的受力圖 (b) 裂紋的截面圖1　斜裂紋轉軸Fig.1　Slant crack shaft

通過能量釋放率的方法，求出裂紋的應變能，運用卡式定理求出裂紋軸的附加柔度.根據文獻[6]提出的局部柔度理論，得出斜裂紋在P1～P4方向上的應力強度因子分別為

總的應力強度因子為

3個影響系數[6]分別為

能量釋放率密度函數可表示為

對式(10)進行積分，可得到裂紋軸釋放的應變能為

式(11)中：A為裂紋張開區域.因此，通過卡氏定理對其微分，得到裂紋軸的附加柔度為

無裂紋轉軸的柔度矩陣[7]為

式(13)中:I=πd4/64.由裂紋軸的附加柔度加上無裂紋軸的柔度，可得裂紋軸的柔度為

其中,

(15)

故裂紋軸的剛度可表示為

為了更加直觀地表示出裂紋對剛度的影響，采用裂紋的無量綱剛度表示，即

2斜裂紋全開時轉軸剛度特性分析

不同裂紋傾角下，裂紋的無量綱剛度的變化情況，如圖2所示.圖2中：α/R為裂紋深度比.由圖2可知：裂紋軸的剛度隨著裂紋深度比的增加而減小；當裂紋深度相同時，裂紋軸的剛度隨著裂紋傾角的增大越來越小，且減小的速率越大.

(a) 1，1 (b) 2，2

(c) 3，3 (d) 4，4圖2　不同裂紋傾角對裂紋轉軸的剛度變化對比圖Fig.2　Stiffness of the cracked shaft with different crack inclination angle

(a) 1，1 (b) 2，2

(c) 3，3 (d) 4，4

(e) 1，3 (f) 2，4圖3　轉軸細長比對裂紋軸剛度的變化圖Fig.3　Stiffness of the cracked shaft with the axial slenderness ratio

3斜裂紋截面開閉特性

裂紋開閉線位置(CCLP)變化點分布,如圖4所示.將裂紋邊界平均分成50等份，通過式(5)可計算出裂紋邊緣線各點的總應力強度因子，確定KI的正負號的位置.通過該位置作垂直于裂紋邊界的直線，該直線就是裂紋的開閉線.由圖4可知：開閉線一側區域的點由于受到拉應力而張開，而另外一側區域的點由于受到壓應力而閉合，這樣可以得到轉軸在不同轉角下的裂紋開閉區域.在一個穩態的旋轉周期內，可以得到裂紋的開閉特性即呼吸特性；當CCLP確定，可以確定裂紋轉軸剛度求解的積分區域，從而求出該積分區域下的裂紋轉軸剛度矩陣.

圖4　裂紋開閉線位置變化點分布圖Fig.4　Changing point distribution ofcrack opening and closing line position

運用牛頓第二定律，在Jeffcott轉子模型的基礎上，可以建立裂紋轉子的動力學方程，即

裂紋軸長度為260mm，裂紋軸直徑為9.5mm，轉盤質量為0.6kg，轉盤尺寸為Φ76mm×25mm，彈性模量E為210GPa，阻尼系數C為40kg·s-1，轉盤的偏心量e為0.16mm，經計算求得無裂紋轉子系統橫向振動固有頻率為3 928r·min-1，轉子旋轉速度為2 000r·min-1.以無裂紋轉子的靜態作為裂紋完全閉合的初始狀態，可以求出裂紋軸剛度，運用龍格庫塔法求得此時轉子系統橫向振動響應，從而得到作用在裂紋截面上的力.此時,利用應力強度因子為零法可確定CCLP，從而求出剛度矩陣.然后,通過剛度矩陣得出轉子轉過一定角度時的振動響應，如此循環，又可以確定CCLP，得到轉子在一個穩態的旋轉周期內的裂紋開閉規律.

當裂紋深度比為0.2時，一個穩定周期內裂紋開閉過程如下：轉子旋轉角度φ在0°～66°時，裂紋處于閉合階段；當轉角超過66°時，裂紋開始張開，到128°時，完全張開，一直持續到246°，再閉合，直到轉過360°完成一個旋轉周期；裂紋處于閉合與全開時的角度跨度都為181°.

(a) 1，1 (b)2，2

(c) 3，3 (d) 4，4

(e) 1，2 (f) 1，3

(g) 1，4 (h) 2，4圖5　裂紋軸剛度隨旋轉角和裂紋深度的變化Fig.5　Variation of crack shaft stiffness with rotation angle and crack depth

4結論

從轉軸裂紋全開狀態和裂紋的時變特性兩方面研究斜裂紋轉子剛度特性，得出以下2點結論.

參考文獻：

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(責任編輯： 錢筠 英文審校： 楊建紅)

Stiffness Characteristics Analysis of a Rotor With Slant Crack

LI Zhinong, XIA Hengheng, XIAO Yaoxian

(School of Aeronautical Manufacturing Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China)

Abstract：The stiffness matrix of the slant crack was obtained based on material mechanics and fracture mechanics theory through the use of strain energy release rate method. While the crack is fully open, the influence of the crack angle, the axial slenderness ratio and the crack depth on the stiffness of the shaft was discussed. At the same time, the opening and closing conditions in the rotating state and the stiffness change law of the corresponding shaft were studied. The results show that, when the crack is in the fully open state, the stiffness of the crack decreases with the increase of the crack angle. And the shaft stiffness changes more significantly with the increase of the crack depth; when the crack is in the opening and closing state, with the increase of the crack depth, the shaft stiffness is no longer decreases, but there is a certain law of fluctuation, which is time-varying characteristics, in this case, the shaft coupling vibration also increases, the dynamic characteristics of the rotor becomes increasingly complex.

Keywords：slant crack; rotor stiffness; time-variant characteristics； open crack； breaking crack

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51265039， 51075372, 50775208); 江西省研究生創新專項資金資助項目(YC2014-S390); 江西省教育廳科技計劃項目(GJJ12405); 重慶大學機械傳動國家重點實驗室開放基金(SKLMT-KFKT-201514)

通信作者：李志農(1966-)，男，教授，博士，主要從事智能檢測方面的研究.E-mail:lizhinong@tsinghua.org.cn.

收稿日期：2015-07-10

中圖分類號：TH 133

文獻標志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0001

文章編號：1000-5013(2016)01-0001-06