Bandelet變換及其逼近特性分析

黃永

(昭通學院 數學與統計學院， 云南 昭通 657000)

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Bandelet變換及其逼近特性分析

黃永

(昭通學院 數學與統計學院， 云南 昭通 657000)

摘要：首先，從幾何流和地平線模型出發，分析流積分及其掃描帶內的邊緣表達；其次，抑制離散二元小波基函數的不足，構建Bandelet變換的標準正交基；最后，對Bandelet變換在掃描帶內的逼近特性進行分析，構建估計邊緣和真實邊緣的逼近誤差計算公式.結果表明：文中方法在圖像邊緣表達上可以得到最優框架.

關鍵詞：Bandelet變換； 基函數； 逼近特性； 估計邊緣

Bandelet變換經歷了兩代變換理論的發展，其主要應用領域都是圖像稀疏表達和圖像壓縮[1-4].其中，Pennec對于第一代Bandelet變換做出了重要貢獻，他不僅參與提出第一代Bandelet變換理論，還進一步對Bandelet變換進行完善和發展，大大提升其在實際中的應用性[5].Bandelet變換的最大優勢在于，它彌補了小波變換各向異性特征表達的缺陷，更利于圖像的稀疏表達和稀疏編碼[6].第一代Bandelet變換技術是建立在小波變換的理論之上，從連續到離散進行推理和演進，進而依托幾何流概念構建Bandelet變換基函數，從而推動離散Bandelet變換算法、連續Bandelet變換算法、快速Bandelet變換算法的發展[7-10].本文從Bandelet變換原理出發，進而對Bandelet變換的帶內逼近特性、全局逼近特性展開分析.

1Bandelet變換的基本原理

Bandelet變換是以處理圖像壓縮、圖像編碼、圖像稀疏表達為出發點建立的.

對g(x，y)作一個變換，即x=u，y=v+g(u)，分析Bandelet變換基函數的構建.用θ(t)表示一維的小波函數，用?(t)表示這個小波函數對應的尺度函數，分別記為

由此構建二元小波基函數為

通過反解，可以獲得帶狀區域C上的標準正交基，即

2Bandelet變換的帶內逼近特性分析

假設J(x，y)表示一個模糊核，對這個模糊核執行伸縮變換處理，其數學形式為

J1在集合[-1，1]2上得到支撐，則同時存在

模糊核J(x，y)可以對圖像邊緣施加處理，這個處理的范圍呈現為一個帶狀區域，用Ar表示.Ar區域內的點到達邊緣的距離E符合如下關系，即

針對Bandelet變換在Ar區域內的逼近特性展開分析.

Bandelet變換的原理始于幾何流，相應的基函數的構造也出于同源.因此，分析Bandelet變換的帶內逼近特性，需要從幾何流的逼近特性開始.對于幾何流的逼近效果而言，要使其達到最佳，必須盡可能地減少控制參量的個數[11].

假設Ar可以在x軸上獲得投影，且投影區間位于[a，b]，可以計算出區間長度為d1=b-a.基于此，對于幾何流的逼近，可以使用尺度2k下的一族正交函數，如{fk，m(t)|d≤m≤d12-k}.在這簇正交函數中，支撐集合包含在[a，b]內的函數可以用f(2-kt-m)描述，滿足

如果{fk，m(t)|d≤m≤d12-k}的空間Wk中含有q階次的多項式，則f(t)是緊支撐q階次的可微函數.基于此，式(9)中的h(t)受控于尺度大小2k和(b-a)2-k個系數{βm}.又因為|h′(x)|≤2，忽略常數的影響，再做一假設h(a)=0，存在|h(x)|≤2d1，且存在一個常數Cf，這個常數僅和尺度函數f(t)存在關聯，且這個常數使不等式|βm|≤Cf(b-a)成立.

式(10)，(11)中：參數CE和尺度2k如果小到一定程度，流線積分h(x)和邊緣的精確特征E(x)之間的誤差就會控制地非常小.

正是因為流積分的存在，才能根據一維小波函數θ(t)構造Bandelet變換的基函數.為了簡化Bandelet變換基函數的表達，將θj，m(x)θj，n(y-h(x))用{cm}替代.那么，可以描述Bandelet變換基函數對幾何圖像g的稀疏的表達式為

至此，根據Bandelet變換對圖像的稀疏表達可知，整個表達需要N=Nh+Nc個參數.其中：Nh表示流積分所用的參數；Nc表示實現圖像逼近所需的參數.

最后，對Bandelet變換的逼近能力，給出如下結論.

除了得到Bandelet變換逼近特性的確定性誤差計算公式外，還可以得到一個結論：對于β階次地平線模型，Bandelet變換在一個Bandelet帶內，可以達到最佳的逼近特性.

3Bandelet逼近特性在圖像分割中的應用

3.1　Bandelet正交基框架

Bandelet變換起源于對圖像信息的壓縮編碼等處理，進而又可以進一步為圖像處理技術服務，在圖像分割方面有比較理想的應用效果[12].

在Bandelet變換理論中，Bandelet變換正是由圖像中各個邊緣特征附帶的幾何流思想引申出來的.這些邊緣特征信息附帶的幾何流，可以被用于自適應地跟蹤圖像之中可能存在的幾何正則方向.正常情況下，幾何流信息和圖像邊緣特征的走向是保持一致的.圖像中邊緣特征，如果放大到局部的任意一個點上，可以被區分為兩種情況：沿著水平方向排布的邊緣;沿著垂直方向排布的邊緣.

根據這樣的邊緣特征可能排布方向，圖像在二進制表達的過程中，圖像的全部區域Θ可以形成一個細分的結果，其數學形式為Θ∪Θi.其中：Θi表征每一個被細分的圖像區域.這種細分工作做到非常細致的程度時，每一個Θi內最多只保留一條邊緣特征線.圖像的分割情況，如圖1所示.圖1中：黑色的粗線為圖像中的邊緣特征；虛線框為分割出的區域.最終分割出的區域可分為如下4種主要類型：

圖1　圖像的分割Fig.1　Image segmentation

1) 區域內含有邊緣特征信息，且邊緣特征的方向是水平的；

2) 區域內含有邊緣特征信息，且邊緣特征的方向是垂直的；

3) 區域內含有邊緣特征信息，恰好是兩個方向走勢的邊緣特征不同走向，并形成相交；

4) 區域內不含有任何邊緣特征信息.

進一步定義一個正交投影的計算子，其數學表達形式為

式(14)中:QΛg(x，y)為這個正交投影的計算子；Λ為正交投影計算子的空間.

進一步可以得出，在圖像分割形成后的每一個區域上的正交投影計算子，可以合并成L2([0，1]2)上的一個完整的框架，這個框架就是Bandelet正交基框架.

3.2　Bandelet字典和分割尋優

實際上，構建Bandelet框架的意義在于，將要分析的圖像按照支撐空間劃分成細小的區域.這樣每一個細小的區域上可以采用幾何流特征執行Bandelet逼近處理或者小波逼近處理.這個分割處理的過程相當于執行二進制分割的策略.首先，第一個層次上圖像被劃分成完全相等的4個小子塊圖像，可以采用四叉樹的方法對這個分割結果進行表示.然后，每一個子塊的圖像又可以根據是否含有特征信息的具體情況進一步執行二進制細分處理.

采用一個具體的圖形說明這一分割過程，如圖2所示.由圖2可知：原始圖像已經被劃分為多個子塊圖像，分別是子塊圖像A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M.這是一個多次二進制分割的結果，原始圖像經過三級分割，子塊圖像M，L屬于第一級分割結果；左上角第一層級分割圖像又被分為4個子塊圖像，即子塊圖像E，F，G，H；右下角第一層級分割圖像又被分成4個子塊圖像，即子塊圖像I，J，K，以及最右下角的子塊圖像，它又被進一步細分成4個三級子塊圖像，即子塊圖像A，B，C，D.

根據Bandelet變換構建的原始圖像四叉樹表達，如圖3所示.由圖3可知：子塊圖像L，M成為第二級四叉樹節點；子塊圖像E，F，G，H，I，J，K成為第三級四叉樹節點；子塊圖像A，B，C，D成為第四級四叉樹節點.當然，子塊圖像L，M，E，F，G，H，I，J，K，A，B，C，D也都最終成為葉子節點.

圖2　基于Bandelet變換的圖像二進制分割處理　　　　　圖3　基于Bandelet變換的圖像四叉樹構建　　Fig.2　Binary image segmentation based on Fig.3　Image 4-fork tree construction based on 　Bandelet tranform　　　　　　　　　　　　　　　　　Bandelet tranform

圖2所示的圖像分塊結果和圖3所示的四叉樹結果是一一對應的.如果將原始圖像的整體寬度設置為1時，則對應寬度為2-k的圖像子塊相當于在Bandelet四叉樹中具有的節點深度為|k|.

在圖1中：每一個用Θi標記的小圖像方塊，都可以采用一個參量表達這個小圖像方塊上的基函數是小波基函數，還是Bandelet基函數.如果其中的基函數是Bandelet基函數的類型，還需要進一步對Bandelet基函數構建模型的類別進行區分，即區分是水平方向上的基函數構建模型，還是垂直方向上的基函數的構建模型.

如前文所述，因為基函數模型需要借助流積分進行構造，因此，需要對在尺度2ki之下的流積分進一步明確表達，即

原始圖像分割后形成的所有子塊圖像，其上的Bandelet基函數或小波基函數所構建的完整集合，可以形成一個可用于Bandelet分析的逼近框架.即

式(16)中:F為一個子塊圖像上Bandelet基函數構成的框架；B為這個子塊圖像上的Bandelet基函數；FC為全部子塊圖像形成的逼近框架，C為框架中所含有的全部參數的個數，C=CS+CH+CB，CS為原始圖像二進制分割所需要的參量個數，CH為原始圖像幾何流表達所需要的參量個數，CB為原始圖像Bandelet表達所需要的參量個數.

至此，要獲得圖像分割最優結果的過程，就變成對式(16)的框架進行尋優的過程.如果原始圖像的分辨率可以限制在T2之內，按照Lagrange方法對C計算式執行尋優過程，那么，原始圖像四叉樹的最大深度可以表示為‖|log2T2|-1‖.此時，如果將流積分參數βn執行量化處理，則對于尺寸為2k的子圖像塊而言，在|βn|

4結束語

對Bandelet變換的基本原理及逼近特性展開研究.依托幾何流和地平線模型分析Bandelet變換的基礎流積分,在二元小波變換的理論基礎之上，構建Bandelet變換的標準正交基.對Bandelet變換逼近特性進行分析，并利用這種性質實現圖像邊緣逼近的Bandelet最優框架.

參考文獻：

[1]SHANTHII，VALARMATHIML.SARimagedespecklingusingpossibilisticfuzzyC-meansclusteringandedgedetectioninbandeletdomain[J].NeuralComputingandApplications，2013，23(1):279-291.

[2]楊楊，戴明，周籮魚，等.基于非下采樣Bandelet變換的多聚焦圖像融合[J].吉林大學學報(工學版)，2014，44(2):525-530.

[3]PANDIANK，SOUNDARAK，KUMARE，etal.ReconstructionofmissingdatainVHRimagesusingBandeletandexemplarbasedinpaintingstrategies[C]∥3rdInternationalConferenceonComputerTechnologyandDevelopment.Chengdu：[s.n.]，2011：25-27.

[4]MAALOUFA,LARABIMC.Bandeletbasedstereoimagecoding[C]∥InternationalConferenceofAcoustics，Speech，andSignalProcessing.Dallas:IEEEPress,2010:698-701.

[5]MAALOUFA,LARABIMC.ImageretargetingusingaBandelet-basedsimilaritymeasure[C]∥InternationalConferenceonAcoustics，Speech，andSignalProcessing.Dallas:IEEEPress,2010:942-945.

[6]JANSENM，CHOIH，LAVUS，etal.Multiscaleimageprocessingusingnormaltriangulatedmeshes[C]∥InternationalConferenceonImageProcessing.Thessaloniki:IEEEPress,2001:229-232.

[7]WAKINM，ROMBERGJ，CHOIH，etal.Ratedistortionoptimizedimagecompressionusingwedgelets[C]∥InternationalConfernceonImageProcessing.Newyork:IEEEPress，2002:237-240.

[8]CANDESE，DONOHOD.NewtightframesofcurveletsandoptimalrepresentationsofobjectswithpiecewiseC2singularities[J].PureApplicationofMath，2004，57(4):219-266.

[9]潘曉明，余俊，楊釗，等.一種將線性粘彈微分型本構方程應用到ABAQUS的方法[J].華僑大學學報(自然科學版)，2010，31(5):570-575.

[10]ARTEAGAJA，VELASCOMJ.DesignofimagecodecbasedonBandelettransformusingaNIOSⅡprocessor[J].IngeniareRevistaChilenaDeIngenieria，2012，20(2):211-219.

[11]綦科,謝冬青.基于第二代Bandelet變換的抗幾何攻擊圖像水印[J].自動化學報,2012,38(10):1646-1653.

[12]劉緒崇,羅永,王建新,等.基于第二代Bandelet變換的圖像認證水印算法[J].通信學報,2010,31(12):123-129.

(責任編輯： 錢筠英文審校： 吳逢鐵)

BandeletTransformandAnalysisofItsApproximationCharacteristics

HUANGYong

(CollegeofMathematicsandStatistics，ZhaotongUniversity，Zhaotong657000，China)

Abstract：Firstly, the flow integral and the edge expression in the scanning band are analyzed from the geometric flow and the horizon model. Secondly, the standard orthogonal basis of Bandelet transform is built by considering the problem of the suppression for the discrete wavelet basis functions. Finally, we analyze the approximation property of the Bandelet transform in the scanning band, and construct the approximate error figure for the estimating edge and the real edge. Results show that the optimal frame can be obtained by the image edge expression.

Keywords：Bandelet transform； basis function； approximation property； estimated edge

基金項目：云南省教育廳科學研究基金資助項目(2014Y499)

通信作者：黃永(1966-)，女，副教授，主要從事Bandelet變換逼近特性的研究.E-mail:3281578930@qq.com.

收稿日期：2015-11-13

中圖分類號：TN 919.81

文獻標志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0062

文章編號：1000-5013(2016)01-0062-05