上半平面某類調和擬共形映照的特征估計

林珍連

(華僑大學 數學科學學院， 福建 泉州 362021)

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上半平面某類調和擬共形映照的特征估計

林珍連

(華僑大學 數學科學學院， 福建 泉州 362021)

摘要：給出以sin πx，0≤k<1為邊界值的上半平面到自身的調和擬共形延拓表達式及其特征估計.結果表明:該調和擬共形延拓比Beurling-Ahlfors延拓更優.

關鍵詞：最大特征; 擬共形延拓; 調和擬共形映照; Hilbert變換

1預備知識

擬共形映射的邊界對應問題是擬共形映射理論中十分重要的內容，它包括擬共形映照邊界函數和給定邊界函數的擬共形延拓問題的研究，這些都有利于擬共形映照理論中極值問題的研究.

平面區域Ω到G的可微拓撲映照f:(x,y)→(u,v)，其特征D定義為

若D是有界的,則稱f是擬共形的，D的最小上界稱為最大特征[1].

實軸R到自身一個連續的嚴格遞增函數h(x),稱為ρ-擬對稱的,ρ≥1.若對一切x∈R,t>0，有

記H={z|Imz>0}.Beurling等[1]證明了h(x)具有H到H上的擬共形延拓的充分必要條件，是h(x)為ρ-擬對稱函數,并建立Beurling-Ahlfors擴張函數為

關于Beurling-Ahlfors延拓特征估計問題，一直以來吸引了眾多國內外學者的眼球[1-2].迄今為止,最大特征D的最好估計是D≤max{2ρ-1,ρ3/2}[2].

Douady等[3]討論了單位圓到自身的邊界對應問題，利用調和測度給出延拓表達式，并且討論了它的特征估計盡管十分粗糙.Reich[4]用參數表示法對這一問題進行了探討，然而，他的特征估計也不是最佳的.文獻[5-6]分別討論了單位圓及上半平面到自身的調和擬共形延拓的邊界對應問題,給出可延拓成單位圓或上半平面到自身的調和擬共形的邊界對應所滿足的充要條件，但沒有涉及到特征估計.

定義h(x)∈L∞(R)的Hilbert變換為

式(4)中：

Hh(x)幾乎處處存在，但Hh(x)未必屬于L∞(R)[10-11].

稱h(x)是雙李普希茲的，若h(x)絕對連續且有某個常數c，使得1/c

文獻[6]證明了h(x)具有H到H上的調和擬共形延拓的充分必要條件是h(x)是雙李普希茲的，且Hh′(x)∈L∞(R).同時，還證明了定理A.

據了解，王寶生1980年就參加了工作，當時才15歲，是個林二代，現在已經在林場工作38年了，2008年王寶生來到了中軍帳瞭望臺。回憶起剛來的時候，王寶生告訴記者，剛上來覺得一切都還好，可是在這待了一年之后，這里的環境真的有點艱苦。

定理A上半平面到自身的任意調和擬共形延拓具有唯一表示式，即

式(6)中：b+ic∈H；φ是定義在H上的解析函數，滿足φ(H)是右半平面的相對緊子集.

由于調和映照的黎曼映照定理不再成立，使式(6)中f(z)的特征估計變得困難.本文就具體給定的邊界對應，作出其上半平面到自身的調和擬共形延拓表達式，并對它的特征作出估計.

2主要結論及其證明

其特征D有估計式

分別計算上式兩個積分，即

因此，Hh′(x)∈L∞(R).

依據文獻[6]的方法，給出h(x)到上半平面的調和擬共形延拓的具體表達式，為此令

設V(z)為U(z)滿足V(i)=0的共軛調和函數，則V(z)=kexp(-πy)sinπx,解析函數為

顯然,φ(H)是右半平面的相對緊子集，根據定理A，有

證明g(x,y)在上半平面是次調和的.經過計算，有

因此，有

4kexp(-πy)cosπx+2k2exp(-2πy))>0.

也就是說，D+1/D在上半平面H上是次調和的.因而，它的最大值只能在邊界上達到.令

求S(x)的最大值.

3結束語

參考文獻：

[1]BEURLING A,AHLFORS L.The boundary correspondence under quasiconformal mappings[J].Acta Mathematica,1956,96(1):125-142.

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[3]DOUADY A,EARLE C J.Conformally natural extension of homeomorphisms of the circle[J].Acta Mathematica,1986,157(1):23-48.

[4]REICH E.A quasiconformal extension using parametric representation[J].Journal d Analyse Mathématique,1990,54(1):246-258.

[5]PAVLOVIC M.Boundary correspondence under harmonic quasiconformal homeomorphisms of the unit disks[J].Ann Acad Sci Fenn Math,2002,27(2):365-372.

[6]KALAJ D,PAVLOVIC M.Boundary correspondence under quasiconformal harmonic diffeomorphisms of a half-plane[J].Ann Acad Sci Fenn Math,2005,30(1):159-165.

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[9]CLUNIE J,SHELL-SMALL T，CLUNIE J.Harmonic univalent functions[J].Ann Acad Sci Fenn Ser A I Math,1984(9):3-25.

[10]GARNETT J B.Bounded analytic function[M].New York:Academic Press,1981:1-406.

[11]林珍連.某些調和單葉函數的穩定性及系數估計[J].華僑大學學報(自然科學版)，2009，30(6)：718-719.

(責任編輯： 黃曉楠英文審校： 黃心中)

Dilatation Estimate for Some Kinds of Harmonic

Quasiconformal Mappings of the Half Plane Onto Itself

LIN Zhenlian

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

Keywords：maximal dilatation; quasiconformal extension; harmonic quasiconformal mapping; Hilbert transformation

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11471128); 國家青年科學基金資助項目(11501220); 福建省自然科學基金計劃資助項目(2014J01013)； 華僑大學中青年教師科研提升資助計劃(ZQN-YX110)

通信作者：林珍連(1970-)，女，副教授，主要從事函數論的研究.E-mail:zhenlian@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-25

中圖分類號：O 174.55

文獻標志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0125

文章編號：1000-5013(2016)01-0125-04