某類調和函數的單葉半徑和Landau定理

黃心中, 黃赟

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

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某類調和函數的單葉半徑和Landau定理

黃心中, 黃赟

(華僑大學 數學科學學院, 福建 泉州 362021)

摘要：研究單位圓盤D上解析部分h(z)滿足

關鍵詞：調和函數； 穩定近于凸； 單葉半徑； Landau定理

1預備知識

調和函數穩定近于凸性質和單葉半徑的研究受到許多學者的關注,且有不少進展[5-7].文中對復伸張w(z)=zn時，利用解析函數近于凸判定定理和穩定近于凸的充要條件,對f(z)的穩定近于凸半徑做出估計;當|w(z)|<1時,利用單葉解析函數的凸半徑估計，進而估計f(z)的單葉半徑.

Landau定理和Bloch常數是復分析理論中的重要課題,近年來人們在函數類間建立聯系,試圖利用解析函數的Landau定理推廣到調和函數的情形[8-10].

Chen等[8]利用調和函數解析部分的性質和Schwarz引理,得到了調和函數的Landau定理D.

利用定理B中的系數估計,給出滿足其條件的函數類的Landau定理,同時對定理D的證明過程進行改進,得到了更佳的結果.

2主要結果及證明

將定理A進一步推廣到復伸張為w(z)=zn的情形,得到定理1.

證明考慮解析函數F(z)=h(z)-λg(z),其中|λ|=1,那么

其中，θ1<θ2<θ1+2π.

解析部分滿足相同條件的情況下,復伸張w(z)為n次多項式時,可以由定理2得到調和函數f(z)的單葉半徑估計.

則F(w)在h(Dρ)上單葉,又h(z)在Dρ上單葉，所以f(z)在Dρ上單葉.

在定理B中得到了解析部分的系數估計表達式,利用這一表達式,對該函數類的Landau定理進行描述.

因此,

令z1→?Dtr′,z2→0,有|f(z)|≥(1-tr′)|h(z)|≥(1-tr′)MR′=(1-tr′)Mr′2.

當|z′|

因此,

令z1→?Dtr′,z2→0,有

這一結果改進了文獻[8]的定理3.在t=0.7和t=0.5的情況下，單葉區域在滿足條件的f作用下,覆蓋圓的最大半徑R0的變化,如圖1所示.R0的取值隨著調和函數f的解析部分h(z)的一次項系數α的取值而變化，如圖2所示.

由圖2可知：當α=1時,單葉區域在f作用下的值域覆蓋的圓半徑達到最大,約為0.106.

圖1　R0隨t變化曲線 圖2　R0隨α變化曲線Fig.1　Curves of R0 with different values of t　　　　　Fig.2　Curves of R0 with different values of α

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OntheUnivalentRadiusandLandauTheorem

(責任編輯： 黃曉楠 英文審校： 黃心中)

forSomeHarmonicMappings

HUANGXinzhong,HUANGYun

(SchoolofMathematicalSciences,HuaqiaoUniversity,Quanzhou362021,China)

Keywords：harmonic mapping; stable close-to-convex; univalent radius; Landau theorem

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11471128); 福建省自然科學基金資助項目(2014J01013)

通信作者：黃心中(1957-)，男，教授，博士，主要從事函數論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-23

中圖分類號：O 174.51； O 174.55

文獻標志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0120

文章編號：1000-5013(2016)01-0120-05