線性卷積信道混合模型下WSDM的解決方法

曹玉凡，沈越泓，袁志鋼

(解放軍理工大學 通信工程學院,江蘇 南京 210007)

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線性卷積信道混合模型下WSDM的解決方法

曹玉凡，沈越泓，袁志鋼

(解放軍理工大學 通信工程學院,江蘇 南京 210007)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.61172061);Natural Science Foundation of Jiangsu Province in China(No.BK2011117)

摘要：無線信道統計復用(WSDM)技術，允許在無線信道上同時同頻傳送多路信號，從而有效提高無線電頻譜的利用效率。針對無線信號在空間傳輸過程中的時延特性，首先建立了其在線性卷積信道下的混合模型。其次，對于如何在接收端有效分離接收到的時頻混合信號，實現信道復用，通過把時域信號轉變到頻域中去，提出了一種使用Householder變換來實現高階累積量矩陣組聯合對角化的方法，從而能夠簡便快速的分離混合信號。計算機仿真同樣證明文中所提方法的有效性。

關鍵詞：無線信道統計復用; 線性卷積信道; Householder變換; 高階累積量; 信號分離

0引言

在無線通信中，隨著用戶數的不斷增加以及無線業務需求的不斷增長，頻譜資源匱乏問題日益嚴重，高效利用無線電頻譜資源顯得尤為重要[1-3]。時分復用(TDM)、頻分復用(FDM)和碼分復用(CDM)等信道復用技術有助于頻譜資源利用的改善，但由于FDM和TDM存在保護間隔，從而產生信道復用損失，而CDM又面臨正交碼字受限以及用戶間相互干擾等問題，因此它們的信道復用效率不高。基于盲源分離理論的無線信道統計復用(WSDM)技術[4-5]克服了上述信道復用技術的缺點，能夠實現在同一個信道頻段中同時傳送多個用戶信號，從而大大提高了無線電頻譜資源的利用率。

WSDM是指允許在無線信道上同時同頻傳送多路信號，接收端利用各源信號之間固有的統計特性差異，從統計域上區分不同信號，完成信號的正確接收，實現無線通信。WSDM是信號分割理論又一創新性的應用，統計復用中被分割的參量既不是簡單的頻率或時間，也不是碼的結構，而是統計特性。WSDM在信號的頻率、時隙和碼字等方面沒有任何限制，不用考慮各路信號在時域和頻域造成的相互干擾，方式更加靈活，能夠有效提高無線電頻譜的利用效率，是一種蘊含巨大的發展潛力和誘人的應用前景的新型無線信道復用方式。

然而，對于WSDM技術，線性瞬時混合模型現在依然是大家研究的熱點[6-7]。本文建立了其在線性卷積信道下的模型，充分考慮到無線信號在空間傳輸過程中的時延特性，與現實情況更加接近，該模型相對瞬時混合模型更加復雜，之前傳統的時域分離算法將失去作用。為了降低算法的復雜度，本文考慮從頻域角度出發，進而設計更加切實有效的分離算法。采用高階累積量，可以有效減小信道噪聲的影響，提出了使用Householder變換來實現高階累積量矩陣組聯合對角化的方法，從而得到Householder變換矩陣，然后進行信號分離。該算法與時域分離算法相比更加簡便快捷，行之有效，大大降低了信號分離算法的復雜度，計算機仿真結果同樣證實了所提算法的有效性。

文章第二部分給出了線性卷積信道下WSDM的系統模型，第三部分給出了WSDM的解決方法，尤其是在理論上給出了具體的計算方法，第四部分給出了算法的具體步驟，并進行了仿真驗證，最后，第五部分進行了總結。

1線性卷積信道下WSDM系統模型

無線信道統計復用的瞬時混合模型如圖2所示，觀察到的混合信號為：

x=As+n

(1)

式中，s=[s1,s2,…,sM]T是未知的源信號矢量，滿秩矩陣A∈RM×M表示信道混合矩陣，n=[n1,n2,…,nM]T表示加性噪聲，x=[x1,x2,…,xM]T是觀察到的信號矢量，[·]T表示轉置運算。

圖2　WSDM線性瞬時混合模型

在線性卷積信道下，各源信號經過不同的時間延遲到達接收端，因此，接收端接收到的混合信號不僅是各個源信號的混合，而且包含同一源信號在不同時間延遲下的混合。WSDM在線性卷積信道下的模型比瞬時混合模型更加復雜，第j路混合信號可以表示為：

(2)

式中，xj(t)是第j路混合信號，aji(l)是第i路源信號在不同時延下到達第j路混合信號的系數，si(t)表示相互獨立的源信號，Mji表示第i路源信號到達第j路混合信號的時延階數，M是源信號個數，同時也是接收到的混合信號個數，nj(t)表示信道噪聲。由于式(2)可以看作為一個濾波器與一組源信號的卷積，因此將此模型稱之為WSDM的線性卷積混合模型。

將此時域混合模型直接進行信號分離，難度較大。在信號處理領域，時域卷積對應頻域乘積，因此在頻域內進行信號分離無疑會簡便很多。采用短時傅里葉變換，觀察到的時域混合信號就將變為頻域信號：

(3)

式中，Xj(ω)表示第j路混合信號的頻域表達式，v(k)表示一個窗函數，K表示傅里葉變換區間的長度。然后WSDM時域卷積信道混合模型就轉變到頻域中去了。

X(ω)=A(ω)S(ω)+N(ω)

(4)

式中，X(ω)=[X1(ω),X2(ω),…,XM(ω)]T是觀察到的混合信號的頻域形式，S(ω)=[S1(ω),S2(ω),…,SM(ω)]T是源信號的頻域形式，N(ω)=[N1(ω),N2(ω),…,NM(ω)]T是信道噪聲的頻域形式，A(ω)表示在頻點ω上的混合矩陣。從形式上看，式(4)更容易求解，而且求解線性瞬時混合的方法也可以拿來運用。

對于如何把源信號從混合信號中分離出來，同樣在頻域中進行分離，W(ω)為分離矩陣，因此，分離之后得到的估計信號為：

Y(ω)=W(ω)X(ω)

(5)

式中，Y(ω)=[Y1(ω),Y2(ω),…,YM(ω)]T為分離之后得到的估計信號的頻域形式，W(ω)為分離矩陣，目的是使估計信號Y(ω)中的元素相互獨立。最后，通過短時傅里葉逆變換得到估計信號的時域表達式：

(6)

2WSDM的解決方法

在頻域中，如何進行混合信號的有效分離是我們的主要任務，首先通過白化過程對混合信號進行去相關運算，使問題變得更加簡單，便于執行后續的分離算法。其次，采用高階累積量方法，保留更多的有效信息，而且大大降低了信道噪聲的影響，從而能夠進行信號的有效分離。對于如何實現累積量矩陣組的聯合對角化問題，我們提出了使用Householder變換來解決問題，大大降低了分離算法的復雜度，并且實現了頻域信號的有效分離。

2.1混合信號的白化預處理

白化預處理過程對于解決瞬時混合問題非常有效，由于頻域表達式(5)與瞬時混合表達式非常相似，因此同樣對頻域混合信號進行白化處理，簡化算法。下面，給出白化矩陣Q的計算方法：

(7)

(8)

由協方差矩陣的性質可知，它是半正定矩陣，而在實際應用中，它是正定矩陣，因此，Cx的所有特征值為正。令D=diag(d1,…,dM)是以Cx的特征值為對角元素的對角矩陣，E=(e1,…,eM)是D中Cx的特征值所對應的特征向量。那么，

(9)

2.2高階累積量矩陣組

本文使用的高階累積量矩陣組是由四階累積量來定義的，信道中的加性高斯噪聲的影響也可以被大大削弱。四階累積量定義為：

(10)

(11)

總共可以構造出M×M個M×M維的高階累積量矩陣，并且只有M(M+1)/2個含有不同的統計信息，則完整的高階累積量矩陣組可以表示為{Ck,l|1≤k≤l≤M}。

Ck,l(i,j)=UΛk,lUH

(12)

式中，U=[u1,u2,…,uM]T是Ck,l(i,j)的特征向量組成的對角化矩陣，Λk,l=Diag(Λ1,Λ2,…,ΛM)是以Ck,l(i,j)的特征值為元素的對角矩陣。因此，每一個高階累積量矩陣都可以由一個對角化矩陣來實現對角化。然而在M(M+1)/2個矩陣組中，如何實現聯合對角化就是我們接下來的工作。

2.3基于Householder變換的聯合對角化

在M(M+1)/2個矩陣組{Ck,l|1≤k≤l≤M}中，如何尋找一個對角化矩陣來實現矩陣組中所有的矩陣近似對角化是我們的主要目標。矩陣組的聯合對角化定義為：

(13)

式中，diag(·)表示將一個矩陣非對角線上的元素變為零，‖·‖表示Frobenius范數。當矩陣組中只有一個矩陣時，聯合對角化就等價于單一矩陣的對角化。當矩陣組不能夠完全對角化時，式(13)得到的最小值可以認為是“聯合近似對角化”，本文中X(ω)中的信號是經過各源信號延時累加得到的，因此只能尋找一個最優的對角化矩陣，使矩陣組中的矩陣聯合近似對角化。本文將采用Householder變換對矩陣組實施聯合對角化，H是一個Householder矩陣，定義為：

H=I-2wwT

(14)

式中，w是一個范數為1的向量，即‖w‖2=1。Householder矩陣既能使一向量的某些元素變為零，又能保持該向量的長度或范數不變[8]。因此，通過Householder變換可以實現矩陣組的聯合對角化，同時H就是我們所要尋找的分離矩陣，在頻點ω上，W(ω)=H。

3WSDM的算法步驟及實驗結果

上述過程主要描述的是計算方法，下面給出線性卷積信道混合模型下WSDM的分離算法的具體操作步驟：

算法具體步驟

步驟1：根據式(3)將時域混合信號通過短時傅里葉變換轉換到頻域中去，得到X(ω)；

步驟4：根據式(13)、(14)計算得到Householder矩陣H，實現矩陣組聯合對角化，同時H也是頻點ω上的分離矩陣；

步驟5：根據式(5)計算得到估計信號的頻域形式Y(ω)；

步驟6：根據式(6)短時傅里葉逆變換得到估計信號的時域表達式。

通過上述算法，可以得到最佳分離矩陣，本文從頻域角度解決問題，并提出采用Householder變換來實現高階累積量矩陣組的聯合對角化，使算法更加簡便快捷。另外，在仿真實驗中，我們選取估計信號的信干比(估計信號中有效信號的平均功率與干擾信號的平均功率之比)SIR作為衡量指標，

(15)

式中，si表示任意一路源信號在一段時間內的抽樣值所組成的信號矢量，b表示估計信號與該路源信號的誤差矢量，E{·}表示期望運算。

選取四組不相關的語音信號，經過濾波是延時混合加噪后，采用兩種方法在不同信噪比下進行分離實驗，結果如圖3所示，橫坐標的信噪比是源信號的平均功率與信道中加性噪聲的瞬時功率之比，縱坐標則是分離之后的估計信號的信干比。從圖中可以很明顯的看出，Householder變換聯合對角化方法的信干比高于ICA(獨立成分分析)算法，證明了本文所提算法的有效性。

由于本文采用的是迭代算法，不能僅僅通過一次運算得到結果，因此算法的復雜度只能通過與其他算法進行比較，從而得出結論。

通過仿真，從圖4中可以直觀的看出，隨著批處理信號個數的增加，典型ICA方法的耗時線性增加，而Householder變換方法耗時幾乎不變。由此說明，本文提出的算法可以大大節省信號分離的運行時間，即減小了算法的復雜度。

圖3　不同算法下的分離效果比較

圖4　兩種算法下的耗時曲線

4結語

無線信道統計復用(WSDM)技術從信道復用角度提高無線電頻譜資源的利用效率，本文根據WSDM的線性瞬時混合模型，建立了WSDM的線性卷積信道混合模型，把無線信號在空間傳輸中的時延特性納入該模型，使之更加逼近實際情況。在進行混合信號的分離算法中，本文首先將時域混合信號轉變到頻域中去，簡化了WSDM模型，另外采用高階累積量的方法，大大降低了信道噪聲的影響，并通過Householder變換來實現高階累積量矩陣組聯合對角化，從而能夠簡便快速的分離混合信號。最后，計算機仿真實驗證實了本文所提算法的有效性。

參考文獻：

[1]Stotas S, Nallanathan A. Enhancing the Capacity of Spectrum Sharing Cognitive Radio Networks [J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2011, 60(8): 3768-3779.

[2]Rebeiz E, YUAN F L, Urriza P. Energy-Efficient Processor for Blind Signal Classification in Cognitive Radio Networks [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 2014, 61(2): 587-599.

[3]蘭昆偉,趙杭生,李湘洋等. 認知無線電中基于感知門限的頻譜預測研究[J].通信技術，2015, 48(02)：165-170.

LAN Kun-wei, ZHAO Hang-sheng, LI Xiang-yang, et al. Spectrum Prediction based on Sensing Threshold in Cognitive Radio Networks [J]. Communications Technology, 2015, 48(02)：165-170.

[4]沈越泓,許魁,陳壽齊等. 統計復用無線通信系統：中國, 200910028468.0[P].2009.

SHEN Yue-hong, XU Kui, CHEN Shou-qi, et al. Statistical Division Multiplexing for Wireless Communication System: Chinese, 200910028468.0 [P].2009.

[5]ZHAO W, SHEN Y H, WEI Y M, et al. A Novel Wireless Statistical Division Multiplexing Communication System and Performance Analysis [C]. Seoul, 2014.

[6]Lahat D, Cardoso J F, Messer H. Second-Order Multidimensional ICA: Performance Analysis [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(9): 4598-4610.

[7]Lahat D, Cardoso J F, Messer H. Blind Separation of Multi-Dimensional Components via Subspace Decomposition: Performance Analysis [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(11): 2894-2905.

[8]張賢達. 矩陣分析與應用[M].北京：清華大學出版社，2004.

ZHANG Xian-da. Matrix Analysis and Application[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004.

曹玉凡(1990—)，男，碩士研究生，主要研究方向為無線通信網絡與傳輸技術，盲信號分離等；

沈越泓(1959—)，男，教授、博士生導師，中國電子協會高級會員，主要研究方向為軍用軟件無線電、數字通信、抗干擾通信、移動通信和超寬帶(UWB)無線通信等；

袁志鋼(1984—)，男，博士、講師, 主要研究方向為軟件無線電、數字通信、抗干擾通信。

Solution to WSDM under Linear Convolutive Channel Mixed Model

CAO Yu-fan, SHEN Yue-hong, YUAN Zhi-gang

(Communication Engineering Institute, PLA University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu 210007, China)

Abstract：WSDM (Wireless Statistic Division Multiplexing) allows the simutaneous transmission of multiple signals in the same frequency over wireless channels,and thus could improve the utilization efficiency of radio-frequency spectrum greatly. Aiming at the time-delay of wireless signal in space transmission process, a mixed model in linear convolutive channel is firstly constructed.Then in light of how to separate the time-frequency mixed signals effectively at the receiver and realize multiplexing,and with the shift of time-domain signal into frequency domain, a method to achieve the joint diagonalization of high-order cumulant matrices via Householder transformation is proposed, thus to realize convenient and rapid separation of the mixed signals. Computer simulation indicates the validity of this proposed method.

Key words：WSDM; linear convolutive channel; Householder transformation; high-order cumulant; signal separation

作者簡介：

中圖分類號：TN911.72

文獻標志碼：A

文章編號：1002-0802(2015)12-1329-05

基金項目：國家自然科學基金項目(No.61172061);江蘇省自然科學基金項目(No.BK2011117)

收稿日期：2015-07-01；修回日期：2015-10-20Received date:2015-07-01；Revised date：2015-10-20

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.12.002