Hilbert空間A-可因子分解算子的性質(zhì)

王勵冰　（河南省周口師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院　466001）

王超杰　（河南省永城市高級中學　476600）

Hilbert空間A-可因子分解算子的性質(zhì)

王勵冰（河南省周口師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院466001）

王超杰（河南省永城市高級中學476600）

摘要：在已有A-可因子分解算子概念的基礎(chǔ)上，建立了A-可因子分解算子是有界的若干充要條件，同時討論了其對偶算子的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：A-可因子分解算子對偶算子有界

DOI：

作者簡介：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.017

首先列出A-可因子分解算子的定義。

定義1[3]設(shè)1≤p≤∞，線性算子L：L2（Rd）→LP（E）(E為Rd的一個可測子集)。如果對于任意可因子分解函數(shù)f=準g，其中f，g∈L2（Rd），準是Rd上以ZdA為周期的函數(shù)，算子L具有下列形式

那么稱算子L為A-可因子分解算子。

下面給出A-可因子分解算子的兩個性質(zhì)。

定理1[3]算子L：L2（Rd）→L1（Q0）是有界A-可因子分解算子當且僅當存在g∈L2（Rd），使得L（f）=（f，g）A（t），坌f∈L2（Rd）。更多地，||L||=||g||。

引理1[3]設(shè)A-可因子分解算子L1，L2：L2（Rd）→L1（Q0），則L1=L2當且僅當

現(xiàn)在接著討論A-可因子分解算子的性質(zhì)，首先給出A-可因子分解算子是有界的三個充要條件。

定理2設(shè)L：L2（Rd）→L2（Q0）是線性A-可因子分解算子，則L是有界的當且僅當存在常數(shù)B>0（B=||L||），使得對坌f∈L2（Rd）有

|L（f）（t）|≤B||f||A（t），a.e. t∈Q0。

更多的，L是同構(gòu)算子當且僅當存在常數(shù)A，B>0（A=||L-1||-1，B=||L||）使得對任意的f∈L2（Rd）有

A||f||A（t）≤|L（f）（t）|≤B||f||A（t），a.e. t∈Q0。

證明對Rd上任意有界ZdA周期函數(shù)準和坌f∈L2（Rd）有

所以由引理1可得結(jié)論。

綜上所述，定理2、定理3和定理4建立了A-可因子分解算子是有界的充要條件，于是可以用這三個定理來判定A-可因子分解算子的有界性，定理5對A-可因子分解算子L的對偶算子L*進行了討論，給出了對偶算子L*的一個性質(zhì)。

參考文獻：

[1]張恭慶，林源渠．泛函分析講義[M]．北京:北京大……