中美本科概率統(tǒng)計基礎課教學的比較與思考

杭曉渝

摘要：概率統(tǒng)計教學的重要性，中美本科概率統(tǒng)計基礎課的比較，在課堂教學里培養(yǎng)學生統(tǒng)計思維的例子與方法。

關鍵詞：概率統(tǒng)計;概率論;統(tǒng)計學;統(tǒng)計思維

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）05-0084-02

一、概率統(tǒng)計

概率統(tǒng)計是本科非數學專業(yè)學生學習的三門數學基礎課里應用味道最濃的一個（微積分和線性代數是其他兩科），但由于內容較多，課時有限，往往給學生留下一個走馬觀花、教學目的不明確的印象。為了避免這樣的不良效果，開課之際就需要讓同學們明確了解幾個基本的問題：什么是概率論？什么是統(tǒng)計學？為什么把這兩個數學的分支包括在同一門課里？為什么要學習概率統(tǒng)計？

二、概率論

拉普拉斯曾說“Probability is common sense reduced to calculation”，即概率是把常識濃縮成計算。因此，概率論可以被看做人類認識世界的一條思路，是我們解釋和分析自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象的工具。它能幫助我們衡量并計算日常生活里每一個行動和決定所面對的未知因素，所承擔的風險。它可以進一步幫助我們控制風險，比較、選擇決策。更重要的，概率論是理解、學習統(tǒng)計科學的基礎。統(tǒng)計學（Statistics）是收集、組織和解釋數據的科學。我們生活在一個信息爆炸的時代，統(tǒng)計數字、統(tǒng)計分析、統(tǒng)計決策是現(xiàn)代信息社會里交流、溝通的基本語言，它對現(xiàn)代科學所起到的作用就像英語對全球化的世界所起到的作用一樣，在不同的學科之間搭建起了一個標準化的橋梁。生產和科學技術的飛速進步，各門學科向計量方向的發(fā)展對統(tǒng)計學提出了更高更迫切的需求，成為統(tǒng)計學前進的強大推動力，使得統(tǒng)計理論不斷完善，方法不斷發(fā)展更新，成為社會經濟領域和科學技術領域中不可缺少的工具。國民經濟中的GDP，工業(yè)統(tǒng)計、農業(yè)統(tǒng)計、教育統(tǒng)計、物價統(tǒng)計、人口統(tǒng)計，股市行情、物價指數、市場信息、趨勢預測，考試中信度、效度、難度、區(qū)分度……，可以說，有數據，有模型的地方就要用到統(tǒng)計理論。從數據分析的角度來看，概率論是通過模型和系統(tǒng)來研究它們所產生的信號和數據應服從的規(guī)律、形式和變化趨勢;而統(tǒng)計學是通過觀察到的數據和信號來分析并學習未知的模型。因此，這兩個息息相關、相輔相成的部分組成了概率統(tǒng)計課，這門課所培養(yǎng)的是從大數據里找規(guī)律，講道理，做預測的一種思維方式。

三、統(tǒng)計學

近兩年來，筆者在天津商業(yè)大學寶德學院承擔了三個學期的概率統(tǒng)計課教學工作;從1997到1998年，筆者在美國哥倫比亞大學也擔任了四個學期的統(tǒng)計課（Introductory Statistics）的教學工作，這兩個課堂之間的對比是十分鮮明的。首先，學生的情況類似，哥大選修統(tǒng)計課的多為本科一二年級經濟、心理、醫(yī)學預科專業(yè)的學生，寶德的學生均為二年級會計、金融專業(yè)的學生。但課前的要求就不同了，國內的概率統(tǒng)計課要求學習過一年的微積分，而美國的統(tǒng)計課大多數都不要求微積分。國內的概率統(tǒng)計課從教材到教學，都不同程度地存在著重概率輕統(tǒng)計的傾向，加上教學時間的限制，往往是前面的概率論部分講完了，剩下的時間已經不多，統(tǒng)計部分就草草結束了。很多時候，都只能簡單地介紹參數估計和假設檢驗，根本講不到實驗設計，最小二乘回歸和方差分析。由于教學上對概率論的偏重，學生可能在隨機變量的概念、計算上花的功夫最多，對統(tǒng)計思想和數據分析的理解就不夠了。相比之下，哥大的統(tǒng)計課是一個螺旋前進的過程。直接從數據開始，不講概率，一維數據的均值、中值、異常值，數據的圖形描述（直方圖、箱線圖等），導出鐘形曲線，直觀地理解正態(tài)分布;對二維數據介紹頻率表，回歸直線，模型里變量之間的因果分析;實驗設計，隨機抽樣的概念和優(yōu)點。到學期中間第四章，才開始學習概率的定義，隨機變量，從此學習幾種重要的抽樣分布。然后再回到前面學生已經接觸過的模型里，繼續(xù)學習統(tǒng)計推斷的思想和方法。這樣一個教學過程可以培養(yǎng)學生對數據的十分具體的理解，有利于學生進一步學習統(tǒng)計軟件，會用模型，會解釋軟件的計算結果。盡管美國學生的數學基礎普遍較弱，不一定能掌握好基本概率、隨機變量的計算，但對抽象模型和實例的聯(lián)系以及對模型的描述、統(tǒng)計邏輯的表達都要好過我們的學生?？梢哉f，美國大學的統(tǒng)計課可以作為非數學、非工程專業(yè)學生本科期間唯一的統(tǒng)計課程，而我們的概率統(tǒng)計課更像是為后續(xù)的統(tǒng)計課打基礎。

四、統(tǒng)計思維

在教學實踐的過程中，在遵守教學大綱的前提下，筆者盡可能地引進、吸收美國統(tǒng)計課的優(yōu)點，強調數據分析，模型擬合，課堂上的互動。希望為學生不僅能繼續(xù)打好概率分布、隨機變量的基礎，也能促進學生統(tǒng)計理念、統(tǒng)計思維的形成。例如，在介紹無偏概念的時候，引入美國總統(tǒng)大選的爆冷門例子，1936年羅斯福擊敗蘭登，1948年杜魯門擊敗杜伊，解釋大選前民意調查的結果與最終的選舉結果相反的原因是調查抽樣的偏差。又例如，在學習假設檢驗的時候，和反證法作比較;幫助學生理解拒絕原假設相當于找到一個反例，接受原假設相當于沒有找到反例;因此前者是一個更值得信賴的結論。又例如，在介紹古典概型的時候，讓學生猜測班上（45人左右的班級）至少有兩個同學生日相同的概率，往往學生會大幅度低估這個概率（當班級里有40名同學的時候，此概率已達到89.1%）。再在黑板上一一記錄全班同學的生日，顯示確實至少有兩個同學生日相同，既吸引學生的興趣，也加深學生在計算概率的時候對“至少”的理解。又例如，講獨立性的時候，課前讓一個學生投硬幣100次，記錄下“正”“反”的結果;再讓另一個學生“編”出一個長為100的序列，模擬投幣100次的結果。請這兩位同學把他們的結果寫到黑板上，老師大多數時候都可以猜出哪一個序列是真的，哪一個序列是“編”的。因為編的序列會在“正”與“反”之間變化過于頻繁，由此向學生介紹投幣一百次“正”與“反”之間的變化次數的抽樣分布，同時加深對隨機性的理解。又例如，向學生介紹著名的Monty Hall問題;電視娛樂節(jié)目有三扇門，其中一扇背后有獎品（汽車），另兩扇門后是空的。參賽觀眾選定了一扇門后，主持人打開了其余兩扇門里的一扇空門，問參賽觀眾是否要換一個選擇。一部分同學認為換另一扇門能提高中獎的機會，另一部分認為換與不換不影響中獎的機會。在引導學生利用條件概率公式計算概率之后，指出問題的答案要依賴于主持人是否事先知道汽車在哪一扇門后。如果主持人不知道車在哪扇門后，換與不換的中獎率都是50%;如果知道，則不換的中獎率只有1/3，換的中獎率達到了2/3，通過這個簡單有趣的例子強化學生對條件概率的理解。再例如，在介紹獨立性和伯努利概型的時候，讓學生先計算NBA球隊之間季后系列賽（七場先勝四為勝方，設每場比賽雙方的勝率均為50%，且各場比賽結果獨立）要打四場、五場、六場和七場的概率。然后把理論上的概率與歷史記錄的頻率相比較，發(fā)現(xiàn)四、五場的概率與頻率非常吻合，但六場的概率要小于實際的頻率，七場的概率要高于實際的頻率。引導學生來解釋這個誤差的原因，同學們會充滿熱情地提出各種各樣的理論。也許各場比賽結果獨立的假設不符合現(xiàn)實;也許決賽雙方實力有明顯差距，勝率50%的假設不合實際;也許五場比賽之后，落后的一方信心喪失，領先的一方信心高漲，增加了領先一方第六場比賽的勝率。這個例子表面上是鍛煉學生利用獨立性計算概率的能力，但更有價值的是給學生提供了一個簡單的數據擬合、模型解釋的練習。

我們在日常生活里越來越被數據圍繞著，新聞、天氣預報、廣告、民意調查等等都包含著各種各樣的統(tǒng)計數字。如何用數據來提高說服力，如何通過統(tǒng)計分析來表達具體的理論和觀點，如何準確理解他人引用的統(tǒng)計數字都是現(xiàn)代社會成員必須的能力。統(tǒng)計思維可以幫助我們把寶貴的信息從無處不在的噪音里分離出來，也是進一步學習經濟、金融、醫(yī)藥、生物、工程、社會科學的鑰匙。教好概率統(tǒng)計課，學好概率統(tǒng)計課將是大學教育進一步改革的核心之一。

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