基于頻率特性和參數靈敏度的系統脆弱性的分析

張鯤鵬,蘇永清,趙聞達

(同濟大學電子與信息工程學院，上海,201800）

基于頻率特性和參數靈敏度的系統脆弱性的分析

張鯤鵬,蘇永清,趙聞達

(同濟大學電子與信息工程學院，上海,201800）

脆弱性是閉環控制系統對參數靈敏度的表征。本文通過分析控制系統開環頻率特性和系統對參數的靈敏度來定量分析脆弱性，當系統的開環頻率特性曲線離臨界點（-1,0j）越近，系統的穩定性越容易遭到破壞；同時系統對某個參數越靈敏，系統特性也是相對容易變化。實際上，系統的參數總是存在一定的不確定性，可能導致設計的系統無法實現。

參數靈敏度；頻率特性；控制系統；脆弱性

0 引言

控制領域中“脆弱性”問題首先被Keel和Bhattacharryya提出來，他們認為系統控制器是脆弱性的，是因為控制器參數的微小擾動導致整個閉環系統失去穩定性。James F.Whidborne等從閉環系統極點對控制器參數的靈敏度進行分析量化脆弱性，并提出對控制器設計的優化方法。文獻[1][2]認為這是控制器脆弱性的問題，所以一經提出就受到部分學者質疑。何朕等學者認為任何反饋系統都具有一定的穩定性，只是其穩定裕度有大有小，也就是說，任何穩定的反饋系統，總能容許實際上存在的各種微小攝動，其中包括參數的攝動，只是這個容許范圍有寬有窄。因此對控制系統脆弱性研究，不能僅在控制器上尋找原因。脆弱性系統是對參數非常敏感的，參數的微小攝動將導致系統失去穩定性，它是一種系統對參數極端敏感度的研究。

脆弱性的系統在理論上是存在一定的穩定性和穩定裕度，但是實際調試中，由于受到環境應力的影響以及器件參數精度限制而無法實現，這就是系統脆弱性的問題。而研究脆弱性的意義在于，對于存在脆弱性問題的系統，如從脆弱性方面去分析并重新設計，就有可能使這個設計得以實現。本文將從系統對各個存在攝動參數的極端靈敏度方面對脆弱性進行定量分析。

1 系統靈敏度

在實際控制系統中，控制對象的參數將受到一些因素的影響，如持續變化的環境、器件老化、過程參數的不確定性等，對于閉環系統而言，這些變化可能導致輸出變化和穩定裕度的變化。控制系統穩定性對受控對象參數變化的靈敏度是非常重要的系統特性之一。首先，系統對受控對象靈敏度的定義為系統傳遞函數的變化率與受控對象傳遞函數變化率之比。閉環系統傳遞函數為T(s )，受控對象傳遞函數為G(s)，則靈敏度，取其微小增量的極限形式，則式變為

對于控制系統脆弱性而言，需要研究的是參數的攝動對閉環系統的影響。假設α為受控對象G(s)的參數為系統對受控對象參數變化的靈敏度。根據鏈式法則，可以得到其中為受控對象對參數的靈敏度。得到受控對象對參數α的變化的靈敏度的計算公式

其中，α0為參數α的標稱值。

2 脆弱性計算

脆性在字典中的定義為：“物體在受拉力和沖擊時，沒有顯著變形而突然破碎的性質”，引申到控制領域，可以理解為：“穩定的系統在受到外界環境應力的作用而突然失去原本的穩定性”。環境應力作用的直接體現就是系統中參數的變化。

從開環傳遞函數G(s )的Nyquist特性的示意圖中，ρ為G(jω)距離-1點的最小距離，由幾何關系得到

考慮到反饋環節對系統的影響，本文通過系統對受控對象最大靈敏度下的參數靈敏度來表示系統的脆弱性Fs。設系統對受控對象最大靈敏度的頻率為脆弱頻率ωs，顯然

脆弱性定義為

脆弱性指標包含系統兩方面的信息，一是閉環傳遞函數的穩定裕度，二是開環傳遞函數對參數的靈敏度。因此脆弱性的含義可以理解為受控對象中的參數變化對系統的破壞性。數值越大，參數的微小攝動將導致系統失去穩定性；數值越小，系統的穩定性越不易被破壞。

其中Fi(i=1,…,n)為系統對參數xi的靈敏度，即

代入式得到脆弱性定義為

3 脆弱性分析

其中

閉環系統的特征根均處于左半平面，因此系統處于穩定狀態，下面對其進行脆弱性分析。

系統存在三個可變參數的情況下，計算系統的脆弱性為

此時系統脆弱性變大說明了，在其中兩個參數變化的情況下，導致系統失去穩定的第三個參數的最小變化幅度一定小于兩個參數不變情況下第三參數的最小變化幅度。同時MATLAB的仿真結果也證明了上述結論。

例2同樣是例2的受控對象

反饋環節設計為

其中

系統具有穩定性。下面對其脆弱性進行分析。

4 結論

結合開環頻率特性曲線與開環系統對參數的靈敏度計算得到系統的脆弱性指標，脆弱性指標越大，參數相對很小的變化將導致系統不穩定；脆弱性指標越小，系統受參數影響程度越小。在系統設計時，通過對脆弱性指標進行分析，結合實際中系統參數的可變化范圍，可以預見和減少在系統實現時出現的問題。

[1] Whidborne J F,Istepanian R S H,Wu J. Reduction of controller fragility by pole sensitivity minimization[J]. Automatic Control IEEE Transactions on, 2001, 46(2):320-325.

[2] KEEL L H,BHATTACHARYYA S P.Robust,fragile,or optimal?[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1997,42(8):1098 – 1105.

[3] 何朕,王廣雄,張靜,等.控制系統的脆弱性分析[J]. 控制理論與應用, 2013, 30(1).

[4] 王廣雄,張靜,朱井泉.倒立擺的輸出反饋控制:脆弱性和魯棒性分析[J].電機與控制學報,2002, 6(3):221-223.

[5] 多爾夫.現代控制系統[M].清華大學出版社,2008.

[6] Keel L H,Bhattacharyya S P.Robust,fragile, or optimal?[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1997,42(8):1098-1105.

System vulnerability analysis based on frequency characteristics and parameter sensitivity

Zhang Kunpeng,Su Yongqing,Zhao Wenda
(electronic and information engineering,Tongji University,Shanghai,201800)

Vulnerability is a token of the parameter sensitivity of closed loop control system.In this paper,through the analysis of control system of open-loop frequency characteristic and sensitivity of the system parameters to the quantitative analysis of vulnerability,when the open-loop frequency characteristic curve from the critical point (-1,0j) closer,the stability of the system is easily damaged;at the same time the system of a more sensitive parameter,system characteristics is also relatively easy to change.In fact, there are some uncertainties in the parameters of the system,which may lead to the design of the system can not be realized.

parameter sensitivity;frequency characteristic;control system;vulnerability