一維信號的小波去噪

李姣軍，余景鵬，陶 金，賈智予

（重慶理工大學電氣與電子工程學院，重慶400054）

一維信號的小波去噪

李姣軍，余景鵬，陶 金，賈智予

（重慶理工大學電氣與電子工程學院，重慶400054）

去噪一直以來就是人們關注的話題，如何得到人們想要的較為純凈的信息是眾多學者的追求目標。傳統的去噪方法難以克服自身的局限性，而小波分析在時域和頻域都具有良好的局部化的特性，迅速被應用到許多領域并成為一個研究熱點。從小波變換原理、去噪原理和方法、閾值函數的選擇、去噪指標等方面展開討論，最后對小波去噪有關問題提出一些展望。

小波去噪；小波分析；閾值函數

信號在采集、量化和傳輸過程中不可避免地會受到噪聲的干擾和影響，人們在接收時希望得到純凈的原始信號。如何剔除干擾信號一直是重要的研究課題。噪聲可以理解為妨礙人的視覺器官或系統傳感器對所接收信息進行理解或分析的各種因素。

傳統的傅里葉分析方法自身存在無法同時得到頻域和時域信息、處理非平穩信號力不從心等缺點，因此人們將眼光瞄準了短時傅里葉變換。但是著名的測不準原理告訴我們，一旦窗函數選定下來，窗口的形狀和大小都將保持不變，時頻分辨率就隨之確定下來，很難與實際問題結合。因此，人們又把目光轉移到數學領域中的小波函數。

小波分析或多分辨率分析是繼傅里葉分析發展史后又一個里程碑，它在時域和頻域同時具有良好的局部化特性，常被譽為信號分析的“數學顯微鏡”［1－22］。小波分析的理論和方法在信號處理、數字水印、數據壓縮、信號降噪、語音分析、圖像處理、模式識別、量子物理等專業和領域得到廣泛的應用［23－51］。

1 小波變換

一些非平穩信號，如音樂信號、語音信號、圖像信號等，它們的頻域特性都是隨時間變化的。對于這類信號處理用Fourier變換進行分析只能知道頻域上的信息，但是不知道這些頻率信息出現在什么時候。為了更好地觀察信息出現在什么時候，也為了更好地觀察和研究信號的一些局部特性，需要對信號進行時－頻聯合分析，由此引進小波變換。

滿足式（1）稱函數f（t）為能量有限的信號。其傅里葉變換后滿足容許性條件：

其中?ψ（ω）為ψ（t）函數的傅里葉變換。

小波變換：

其中：ψa，b（t）為母小波（mother wavelet）；a為伸縮因子；b為平移因子。將母小波經過伸縮和平移后就得到一個小波序列：

連續小波變換存在信息的冗余，在數字信號處理時很不方便，因此在實際問題中常常采用離散形式，即離散小波變換。離散小波變換是通過連續小波變換的伸縮因子和平移因子得到，具體過程參見文獻［50］。

2 去噪原理

小波變換具有時頻局部化特性、低熵性、多分辨率、去相關性、選基靈活性［2，4，7］，計算速度快，適應性廣，在Besov空間中可以得到任何其他線性估計都達不到的最佳估計［6］，已經在現代信號處理中得到了廣泛的應用。

一般在實際問題中，原始信號通常表現為低頻或者平穩信號，而噪聲表現為高頻或非平穩信號［8］。含噪信號經小波變換后的能量主要集中在少數小波系數上，噪聲經過變換后仍然是白噪聲，系數存在不相關性，而且系數分布在整個小波域上，幅度基本保持不變。

小波變換是一種線性變換，對一個含有噪聲的原始信號進行小波變換，得到小波系數和噪聲系數。通常來說，信號變換后系數大小隨著分解層數的增加而增加或者不變，噪聲引起的系數隨著分解層數的增加而減少，因此可以通過小波變換來除噪。在信號的去噪過程中，如何在削弱噪聲的同時又最大限度地保留信號的奇異性特征是信號去噪研究的一個核心問題［1］。

3 去噪方法

傳統的去噪方法有純時域、純頻域、傅里葉變換、加窗傅里葉變換［34，36］。傳統的去噪方法主要是采用頻譜分析技術，其等價于信號通過一個低通或帶通濾波器濾去高頻部分。選取濾波器的時候，帶寬選得太窄則保留原信號特性很不理想，帶寬選得太寬則會把信號和噪聲一起濾掉，都會嚴重影響信號的質量。小波變換自身具有時頻局部化特性，在分析信號細節時有獨特的優勢。小波去噪技術隨著小波理論研究的不斷深入得到了豐富和發展［2］。

小波去噪方法主要包括小波分解與重構、模極大值法、相關法、小波域閾值法、平移不變量法［4，12，54］等。

1）模極大值去噪法

定理1 設0≤α≤1，函數f（x）在［a，b］上有一致Lipschitz指數α的重要條件，當且僅當存在常數k＞0使得?x∈［a，b］，函數在2j尺度下小波變換滿足

兩邊取以2為底的對數得

α＞0時，模值隨著尺度j增大而增大；α＜0時，模值隨著尺度j增大而增小；α＝0時，模值隨著尺度j增大在尺度范圍幅度基本保持不變。信號的Lipschitz指數小波變換后信號系數和噪聲系數分別是增大和減小，具有不同的特性。除去幅度隨著尺度增大而減小的點，保留隨尺度增大而增大的點，然后將剩余的模極大值點用交替投影法進行重建，從而達到去噪的目的［39，47］。

模極大值去噪法主要適用于信號中混有白噪聲，且信號中含有較多奇異點的情況，計算量比較大，結構復雜，例如不能對于脈沖信號采用此方法。

2）相關法

相關法的依據是各層的小波系數之間有很強的相關性，噪聲系數弱相關或不相關。

含噪信號的表達式為

自相關運算為

信號x（t）和噪聲e（t）之間無相關性，所以Rse和Res都約為0。噪聲的自相關Ree也比較小，含噪信號自相關運算后主要由Rss（t）決定，從而達到去噪的目的。

3）小波閾值法

小波萎縮方法分成2類：小波閾值萎縮法和小波比例萎縮法［27］，前者將大于閾值的小波系數保留，再用閾值函數估計小波系數，小于閾值的小波系數置為0；后者則是通過不同的方法來確定萎縮比例。

小波閾值去噪是D.L.Donoho［37］在1992年提出的一種簡潔有效的去噪方法。其思想是：信號的能量一般聚在少數幾個小波系數上，且幅值較大，噪聲能量分布在整個小波閾上，系數幅度較小；可以設定一個門限值，認為大于該值的系數是貢獻于原始信號，而小于該值的系數認為貢獻于噪聲；通過一定的閾值函數，把小于閾值的系數置0或者收縮。

閾值去噪通常有3步：①選取小波基和分解層數，對信號進行正交小波變換得到小波系數Wj，k；②選取合適的閾值規則和閾值函數，然后進行系數處理，得到估計小波系數；③將估計小波系數和沒有處理的小波系數重構信號，得到比較純凈的信號，從而達到去噪的效果。閾值的選取直接影響到最終的去噪效果，如何最大限度去除噪聲的同時保留信號的原始特征是去噪過程中的一個難點［6］。

小波域閾值濾波方法因其實現簡單、計算量最小、去噪效果好等優點，所以應用較廣，能很好地保留反映原始信號的突變點，但是去噪的穩定性依賴于原始信號，選取閾值時還需要一定的統計學知識來估計噪聲方差。小波閾值去噪流程見圖1。

圖1 小波閾值去噪流程

4）平移不變量法［51］

Donoho閾值去噪方法應用很廣泛，但是在信號的不連續點用此法會出現偽吉布斯（pseudo－Gtibbs）現象，即不連續點附近的信號會在一個特定的目標水平上下跳變，平移不變量法是在閾值法基礎上改進的［50］，能有效地抑制該現象。

該方法的思想是［51］：通常是對信號進行n次循環平移，獲得一個時域上與原始信號具有一定的相位差的信號，然后將得到的信號進行去噪處理，再對去噪后的結果做反向平移，再進行平均，這就是“平移—去噪—反向平移—平均”的平移不變量法。

4 小波閾值去噪涉及問題

4.1 模型

一維信號去噪模型為

其中：x（t）為原始信號；y（t）為含噪聲信號；e（t）噪聲信號高斯白噪聲服高斯分布（0，σ2），其中σ為噪聲標準方差。信號消噪的目的就是抑制信號無用部分，增強有用部分。

小波基選擇要滿足能量匹配和波形匹配［41］。小波分解層數的確定利用每一層的信噪比，如果第i層的信噪比比i－1大，同時也比第i＋1層大，則認為第i層為最佳分解層數。

4.2 準則

常見經典準則見文獻［8，9，51］。

1）Visushink閾值。Donoho和Johnstone已經從統計學的角度證明，噪聲幅度值小于概率很大，通常取閾值

2）固定的閾值形式（sqtwolog）。得到最小極大方差乘以系數（N是信號長度）得到閾值。

3）最小極大方差閾值（minimaxi）和sqtwolog一樣，也是固定的閾值，計算公式為

基于史坦（stein）無偏估計（SURE）的軟閾值估計給定一個λ得到它的似然估計。

4）信號x（k）為一個離散時間序列，k＝1，2，…，n，令信號y（k）為的升序列，再令，閾值th的計算公式為

5）選擇啟發式閾值（heursure）是將sqtwolog和rigrsure綜合。若信噪比較大就采用固定閾值，信噪比較小則采用無偏閾值。小波系數的平方用表示，則得到的閾值為

4.3 閾值

小波域閾值法又稱為小波收縮（萎縮），1992年Donoho等［37］提出該方法。此法實現簡單，閾值通常分為軟閾值和硬閾值以及改進的閾值（有些文獻稱為半軟閾值）。

硬閾值：

軟閾值：

5 去噪質量評價

目前常用的有兩種方法：主觀評價法和客觀評價法［40－41］。主觀評價法會受評價人的影響，人們通過視覺、聽覺等方面判斷信號在去噪質量方面是否滿足人們要求，結論往往會帶有一定的主觀性，但有時候也可以作為一種理性的判斷依據。客觀評價法是要求建立質量指標體系，通過不同的指標來判定去噪以后的效果。不同的實際問題對于去噪要求不同，所以在衡量去噪信號的質量時采用不同的指標，但是特定的指標不能很好地判斷去噪效果。因此，在實際問題中，經常將主觀與客觀兩種方法相結合。

信噪比（SNR）［16］是指有用信號功率與噪聲功率之比值：

均方根誤差（RMSE）［16］是指觀測值與真值偏差的平方和與觀測次數N之比值的平方根：

相鄰兩級的信號均方根差變化量為［30］：

其中v（M）反映了相鄰兩級分解與重構數據信號的相似程度。評價準則為均方根差變化量越接近0越好。

信號的熵E（Entropy）［52］定義為

其中pi信號第i段的概率。熵表示信號信息量的大小，熵越大說明信息量越大，去噪效果越好。

局部峰值相對誤差（LREPV）［1］用于衡量原始信號的奇異性保留情況，定義為局部峰值相對誤差的平均值：

式中：Vi為原始信號某一段局部峰值；Vj為去噪后信號的同樣一段局部峰值。一般認為局部峰值相對誤差越小去噪效果越好。

平滑度（R）［27，30］是指小波去噪后信號的差分數的方差根與原始信號差分數的方差根之比：

其中：f（i）為原始信號；f～（i）為去噪以后的信號。平滑度越小表明去噪效果越好。

互相關系數［30］表示兩個變量之間的相關性：

其中：x為原始信號；y為去噪以后信號；cov（x，y）表示協方差；DX為原始信號的方差；DY為去噪后信號的方差。互相關系數越接近1表示去噪效果越好。

信噪比增益［31］指小波去噪后的信噪比與去噪前的原始信噪比的比值：

其中：SNRc為輸出信噪比；SNRr為輸入信噪比。一般認為信噪比增益越大則去噪效果越好。

上述指標在信號噪聲幾乎沒有除去的時候，信噪比的值很大，均方根誤差的值很接近0，互相關系數很接近1，使我們錯誤地認為去噪效果很好，所以指標都存在一定的局限性，為此引出下面綜合指標。

綜合指標［30－32］：均方根差變化量、信噪比、平滑度以及互相關系數等度量指標。把每個指標統一規化到［0，1］區間。

信號均方根差變化量歸化公式為

互相關系數歸化公式為

信噪比歸化公式為

平滑度歸化公式為

其中：max表示最大值；min表示最小值。

將各評價指標歸化值相加得到總體評價指標H（M）：

總體評價指標H（M）越大則去噪效果越好。

本文只討論一維信號的去噪指標，在衡量二維信號去噪質量時可以用均方差MSE、峰值信噪比PSNR、平均絕對誤差MAE指標，具體公式和意義參考文獻［5］。

6 結束語

小波去噪涉及許多去噪方法，其中小波閾值去噪實用較廣，涉及小波基、分解層數確定、閾值選擇、閾值函數的選擇、去噪指標評價等有關問題。目前閾值選擇有多種多樣的原則，閾值函數的選擇也各不一樣，去噪指標也不能很好地判定去噪效果，很多時候都是停留在實驗仿真。

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（責任編輯劉 舸）

Review of One-Dimensional Signal Wavelet De-Noising

LIJiao-jun，YU Jing-peng，TAO Jin，JIA Zhi-yu
（College of Electrical and Electronic Engineering，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

De-noising has always been the concerned topic.How to get relatively pure information people want is the goal of many scholars.The traditional method of de-noising is difficult to overcome its limitations.Wavelet analysis in the time domain and frequency domain have a good localization characteristics，and it was quickly applied to many areas and became a research hotspot.This paper describes the problems related to the principle of wavelet transform，the principle and method of denoising，the selection of the threshold function，the noise index and so on.Finally it puts forward some prospects on wavelet de-noising problems.

wavelet de-noising；wavelet analysis；threshold function

TN911.4

A

1674－8425（2016）12－0083－07

10.3969／j.issn.1674－8425（z）.2016.12.013

2015－12－13

重慶市自然科學基金資助項目（CSTC2012jjA00037）；重慶市科委研究項目（2014CC13）；重慶市教委科學技術研究項目（CSTC2013JCYJA00008）；重慶市基礎與前沿研究計劃項目（CSTC 2014jcyjA40003）

李姣軍（1965—），女，湖南婁底人，教授，主要從事信息與信號處理、通信信號處理、多載波通信技術研究，E-mail：duj＠cqut.edu.cn。

李姣軍，余景鵬，陶金，等.一維信號的小波去噪［J］.重慶理工大學學報（自然科學），2016（12）：83－89.

format：LIJiao-jun，YU Jing-peng，TAO Jin，et al.Review of One-Dimensional Signal Wavelet De-Noising［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2016（12）：83－89.