直覺模糊時間序列

田宗浩，王 鵬

（陸軍軍官學院，合肥230031）

直覺模糊時間序列

田宗浩，王 鵬

（陸軍軍官學院，合肥230031）

針對模糊時間序列模型在處理數樣本數據時存在局限性，引入直覺模糊集理論對模糊時間序列模型進行擴展。首先，通過對樣本數據直覺模糊化，更加細膩地反映實際數據的不確定性本質；然后，在建立直覺模糊邏輯關系時引入猶豫度因子，更加真實地描述數據之間狀態轉換的不確定性，以Song、Chen和Lee提出的模型為框架，構建直覺模糊時間序列預測模型；最后，利用Alabama大學22年的入學人數為實驗數據，對比分析Song、Chen和Lee模型及其加權模型的預測結果，驗證了直覺模糊時間序列模型的可行性和優越性。

直覺模糊集；模糊時間序列；模糊邏輯關系；均方誤差

自1993年Song和Chissom［1－3］首次提出基于模糊集理論的時間序列預測模型后，模糊時間序列（fuzzy time series，FTS）研究的腳步就一直沒有停止。由于FTS能較好地處理含糊、不確定信息，且其模型具有良好的魯棒性和泛化性，因此它在學術界和工程控制領域得到了廣泛的重視。隨著研究人員對模型的不斷改進，其應用的范圍不斷擴展。同時FTS的局限性也逐漸顯現出來：首先，普通模糊集的隸屬度比較單一，不能形象地反映信息的含糊、不確定性；傳統的FTS預測模型主要依據模糊邏輯關系的對應規則預測結果屬性，忽略了預測值的隨機依賴性，不能正確反映數據之間的隨機變化特性。為此，模糊時間序列模型的擴展成為不可阻擋的趨勢。

直覺模糊集［4］（intuitionistic fuzzy set，IFS）是對Zadeh教授提出的模糊集理論的擴展和補充。它通過增加一個非隸屬度參數來描述事物“非此非彼”的模糊特性，其相應的數學描述更加符合客觀世界的模糊本質，為處理不確定信息提供了新的研究思路。基于IFTS預測模型的理論剛剛起步，國內外相關的研究成果相對較少。Oscar等［5］首次將直覺模糊集推理融入到時間序列的分析中去，初步建立了直覺模糊時間序列（intuitionistic fuzzy time series，IFTS）預測模型，為提高FTS預測精度提供了新的研究方向。黎昌珍等［6］將時變的模糊時間序列推廣到時變的直覺模糊時間序列。鄭窛全［7］提出了一種基于IFCM聚類的時序預測模型。雖然這些成果提高了FTS的預測精度，但是模型缺乏標準的定義和相關的理論基礎，尤其在樣本數據直覺模糊化和模糊邏輯關系建立規則方面相對薄弱。為此，本文結合文獻［4－7］，進一步完善IFTS模型的定義，將Song、Chen［8］和Lee［9］提出的FTS模型以及其相關的加權模型推廣到直覺模糊范圍，并通過實例驗證IFTS預測模型的有效性。

1 基礎理論

IFTS理論是FTS理論的延伸和擴展，其相應的定義和運算也是普通模糊集更一般的形式，鑒于此，依據文獻［4－7］對IFTS的一些定義進行規范化。

定義1 Atanassov對直覺模糊集進行如下定義：

設X為給定的論域，則X上的一個直覺模糊集為

其中uA（x）：X→［0，1］，vA（x）：X→［0，1］分別表示A的隸屬度函數和非隸屬度函數，并且對于A上的所有x∈X總有0≤uA（x）＋vA（x）≤1成立。對于X上的一個直覺模糊集，πA（x）＝1－uA（x）－vA（x）稱為A中x的直覺指數，表示x對A的一種不確定程度，因此普通的模糊集可以表示為A＝｛〈x，uA（x），1－uA（x）〉｜x∈X｝，直覺指數πA（x）＝0。

定義2 令Y（t），（t＝0，1，2，…）為論域U上的一個時間序列，論域U可以劃分為n個語言變量U＝｛w1，w2，…，wn｝，則相應的時間序列Y（t）在U上可以用直覺模糊集F（t）的隸屬度和非隸屬度〈u1（Y（t）），v1（Y（t））〉來表示，其中u1（Y（t）），v1（Y（t））∈［0，1］，并且0≤u1（Y（t））＋v1（Y（t））≤1，則稱F（t）為定義在Y（t）上的直覺模糊時間序列：

其中〈ui（Y（t）），vi（Y（t））〉是Y（t）相對于語言變量wi的隸屬度和非隸屬函數對，并且0≤ui（Y（t））＋vi（Y（t））≤1，F（t）為直覺模糊集，因此IFTS的樣本數據必須直覺模糊化。

定義3 設R（t，t－1）為定義在F（t－1）和F（t）間的一階直覺模糊關系，且滿足F（t）＝F（t－1）。R（t，t－1），則稱F（t）是由F（t－1）通過直覺模糊關系R（t，t－1）推導得到，F（t－1）和F（t）均為直覺模糊集。令F（t－1）＝Ai，F（t）＝Aj，則直覺模糊邏輯關系也可表示成Ai→Aj，其中：Ai稱為直覺模糊邏輯關系的前件；Aj稱為直覺模糊邏輯關系的后件。

定義4 對直覺模糊集之間的運算進行相關的定義，假設Ai＝｛〈μi，υi〉｝和Aj＝｛〈σj，γj〉｝，其中〈μi，υi〉和〈σj，γj〉分別為論域U上的隸屬度和非隸屬度函數對，則Ai和Aj之間的直覺模糊邏輯關系表示為

其中：T為轉置符號；。為直覺模糊合成運算；Rij＝〈uRij，vij〉為直覺模糊關系矩陣的元素，并且

2 直覺模糊時間序列

模糊時間序列預測模型的關鍵是挖掘歷史數據內部的模糊變化和不確定特性，掌握序列數據隨時間的變化規律，提高預測結果的精度［10－11］。IFS通過增加非隸屬度函數更加形象細膩地刻化模糊現象“非此非彼”的特性，反映實際狀態變換的不確定性。因此，本文從樣本數據直覺模糊化處理以及直覺模糊邏輯關系的建立層面入手，以傳統Song、Chen和Lee提出的模糊時間序列模型框架以及它們對應的加權模型為基礎，將模糊信息中的躊躇因素考慮到時序模型關系中去，構建直覺模糊時間序列預測模型，主要的建模步驟如下：

2.1 論域劃分及序列數據直覺模糊化處理

若時間序列存在n個樣本X＝｛x1，x2，…，xn｝，依據Song模型等分論域劃分方法對樣本數據進行劃分。為對比需要，依舊采用7等分論域劃分方法，對應的語義解釋為：“極少”“很少”“少”“正常”“多”“很多”和“較多”，相應模糊概念的直覺模糊隸屬函數為

其中〈μk，γk〉表示對應模糊概念的隸屬度和非隸屬度函數對，具體的計算規則如下：

由定義2可知：IFTS的試驗樣本集應該為直覺模糊集，而現實中給出的樣本數據大多為實數集。為此需要對樣本數據進行直覺模糊化處理以滿足建模的需要，本文利用式（6）對樣本數據進行直覺模糊化處理。

其中：xj，j＝1，2，…，n為樣本數據；l為等分論域區間間隔；mi為對應子區間的中間值；k為猶豫度，表示數據隸屬集合的變異程度。依據式（6）即可對樣本數據直覺模糊化，求出樣本數據對每個模糊概念的隸屬度和非隸屬度函數對。

2.2 依據訓練數據的先后建立直覺模糊關系矩陣

根據式（6）得到的樣本直覺模糊化結果，按照最大隸屬度和最小非隸屬度原則，確定每個樣本數據所對應的模糊概念。分別以Song、Chen和Lee提出的模糊邏輯關系確定方法為基礎，推廣建立相應的直覺模糊邏輯關系矩陣。

1）Song模型

為得到關系矩陣，傳統的Song模型定義了一種“max－min”運算：

其中：“∪”為取矩陣Ri，j中元素最大值；Ri，j＝ATi×Aj，“×”為矩陣乘積取小運算。然而在IFTS中，樣本集為直覺模糊集，依據IFS的運算性質，運用定義（4）將Song模型的關系矩陣擴展為直覺模糊關系矩陣，其對應的隸屬度函數采用“max－min”運算，非隸屬度函數采用“min－max”運算，因此R中的每個元素均為直覺模糊集。

2）Chen和Lee模型

在Chen模型中，模糊邏輯關系矩陣R是由Ai→Aj是否存在決定的，即如果出現Ai→Aj，則Rij＝1，否則Rij＝0；Lee模型為了更好地反映訓練樣本之間的模糊邏輯關系，采用Ai→Aj在訓練集中出現的頻率來建立模糊關系矩陣。然而在實際應用中，模糊狀態之間的轉換存在一些不確定的因素影響，導致Chen和Lee模型的模糊邏輯關系矩陣并不能很好地反映實際狀態之間的轉換關系。為此，引入猶豫度因子來反映狀態之間轉移的不確定性，其相應的直覺模糊邏輯關系確定方法為：設定一個猶豫度因子k，0≤k≤1，將k與模型的關系矩陣作用，將關系矩陣中的非零元素與1－k相乘，然后將k平分到關系矩陣每行與非零元素相鄰的零元素位置（距離非零元素越遠，狀態變異的可能性就越小），以取代原來的零元素，這樣得到的關系矩陣為帶有猶豫度的直覺模糊邏輯關系矩陣。

2.3 預測去模糊化

沿用Song提出的FTS的預測規則建立預測公式：其中：F（t＋1）為預測值；mk為對應模糊子集wk的中心值；R（i，：）為t時刻觀測值對應模糊概念上直覺模糊集中隸屬度最大值在關系矩陣R中的行向量的隸屬度。

Song、Chen和Lee對應的加權模型充分考慮數據集隸屬于每個模糊概念的隸屬度，不僅僅局限于隸屬度最大的位置。為此，將加權模型推廣到IFTS，其預測公式為：

度向量，具體加權模型的相關運算見參考文獻［12］。

為了說明模型的有效性，利用均方誤差MSE來衡量模型的預測精度：

其中：x（t）為樣本數據；F（t）為其對應的預測值。

3 算例分析

為驗證IFTS模型的有效性，遵照本文方法建立IFTS模型的過程，利用Alabama大學22年的入學人數為實驗數據，分別和Song、Chen和Lee模型以及其相應的加權模型進行對比分析。

步驟1 定義論域和數據直覺模糊化

依據文獻［1－3］提出的均等論域劃分方法，同樣將樣本數據劃分為7個模糊子區間，以1 000為區間長度，則每個子區間為：w1＝［13 000，14 000］，w2＝［14 000，15 000］，…，w7＝［19 000，20 000］。由式（5）可定義直覺模糊集為：

由于Alabama大學22年的入學人數為實數集，而IFTS模型要求樣本集為直覺模糊集，應用式（6）對樣本數據直覺模糊化，直覺模糊化結果如下：

步驟2 建立直覺模糊邏輯關系

從步驟1可以得到每個樣本值的直覺模糊化結果，按照時間先后順序可得21個模糊關系，即：

利用定義（4）可得Song模型直覺模糊邏輯關系矩陣為：

依據Chen和Lee模型中直覺模糊關系矩陣的建立的方法，可以得到直覺模糊關系矩陣RC和RL為：

其中k為猶豫度因子，0≤k≤1。

步驟3 預測與去模糊化

利用Song、Chen和Lee模型的預測算法，結合式（7）和（8）以及步驟2求出的直覺模糊關系矩陣，設定k＝0.05，分別得到推廣到直覺模糊集范圍模型的預測結果。在加權模型中，為了討論的方便，僅僅考慮i＝2時的預測結果，對應直覺模糊模型的預測結果如表1所示，對應原模型的預測結果見參考文獻［12］。

表1 相應直覺模糊模型預測結果

續表（表1）

如圖1所示，將本文建立的IFTS模型與對應Song、Chen和Lee模型及其加權模型進行比較，并利用度量標準中的均方誤差（MSE）對模型的預測性能進行測試。由表1和圖1分析可以看出：本文建立的IFTS模型的預測結果比相對應Song、Chen和Lee模型及其加權模型的預測結果更接近真實值，只有直覺模糊Song模型在只考慮隸屬度最大和非隸屬度最小時所得的預測結果和原始Song模型的預測結果相同。這是因為在預測過程中僅僅利用了觀測值隸屬于某個模糊概念的位置，并沒有用到觀測值隸屬于某個模糊概念的隸屬度和非隸屬度；并且在相對應的IFTS模型中，加權直覺模糊時間序列模型的預測值更貼近真實值，進一步驗證了加權直覺模糊模型的優越性。因此，本文建立的IFTS模型通過樣本數據直覺模糊化，較好地反映了實際數據的不確定性本質，通過在模糊邏輯關系中引入猶豫度因子充分考慮了樣本數據的模糊變化趨勢，更加細膩地描述了模糊現象的本質，使模型的預測精度得到進一步提升，驗證了本文建立IFTS模型的可行性和可靠性。

圖1 直覺模糊模型預測結果對比

4 結束語

本文分析了傳統FTS模型局限性，引入直覺模糊集對傳統的FTS模型進行擴展。通過樣本數據直覺模糊化，較好地反映了實際數據的不確定性本質；在模糊邏輯關系中引入猶豫度因子，充分考慮了樣本數據的模糊變化趨勢，更加細膩地描述了模糊現象的本質。最后，通過實例驗證和對比分析，驗證了直覺模糊時間序列模型較好的預測性能。但是，本文猶豫度k的選取過于主觀，實際分析中猶豫度的取值會隨著樣本數據的變化而不同，這也將是今后研究的重點。

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［3］ SONG Q，CHISSOM B S.Forecasting enrollments with fuzzy time series-Part II［J］.Fuzzy Sets Syst，1993，52：1－8.

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［12］邱望仁.模糊時間序列模型理論及應用研究［M］.天津：天津大學出版社，2012.

（責任編輯陳 艷）

Intuitionistic Fuzzy Tim e Series

TIAN Zong-hao，WANG Peng

（Army Officer Academy，Hefei230031，China）

As to the limitations when dealing with sample data in the fuzzy time series models，this paper introduces intuitionistic fuzzy set theory to obscure time series models.First of all，it obscures the sample data intuitionistic，and reflects the uncertainty nature of the actual data.Then，the hesitation degree factor is developed for the intuitionistic fuzzy logic relationship，and the uncertainty of state transition is described more realistically.Using Song，Chen and Lee’s model as framework，it constructs intuitionistic fuzzy time series forecasting model.Using the enrollment of Alabama for experimental data，it is verified that the intuitionistic fuzzy time series model is more feasible and superior to the model proposed by Song，Chen and Lee.

intuitionistic fuzzy set；fuzzy time series；fuzzy logical relationship；mean squared error

O29

A

1674－8425（2016）12－0177－08

10.3969／j.issn.1674－8425（z）.2016.12.028

2016－07－18

安徽省自然科學基金資助項目（1508085MF131）

田宗浩（1991—），男，河北晉州人，碩士研究生，主要從事預測與決策分析研究，E-mail：1109180769＠qq.com。

田宗浩，王鵬.直覺模糊時間序列［J］.重慶理工大學學報（自然科學），2016（12）：177－184.

format：TIAN Zong-hao，WANG Peng.Intuitionistic Fuzzy Time Series［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2016（12）：177－184.