以數學建模競賽為依托，促進概率論與數理統計課程教學改革

于梅菊，袁 華，叢玉華，張 璇

(通化師范學院 數學學院，吉林 通化 134002)

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以數學建模競賽為依托，促進概率論與數理統計課程教學改革

于梅菊，袁 華，叢玉華，張 璇

(通化師范學院 數學學院，吉林 通化 134002)

文中深入剖析了數學建模競賽在應用型人才培養中的作用,結合豐富的教學實例,提出了以數學建模競賽為依托,促進概率論與數理統計實踐教學改革的幾點思考.

數學建模競賽;概率論與數理統計;教學改革

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律的一門數學學科,是數學與應用數學專業的一門必修課程，它的理論與方法已被廣泛地應用于工業、農業、醫藥、金融、軍事等領域．

隨著互聯網的發展和大數據時代的到來，統計工作在社會經濟發展領域中的地位和作用日益凸顯．概率和統計知識已經成為現代公民的一項必備常識．在統計方法被廣泛推崇的熱潮下，近年來大學生數學建模競賽中涉及概率統計的實際問題也不斷出現，如何以大學生數學建模競賽為依托，促進概率論與數理統計課程的教學改革，真正實現“以競賽促進教學，以教學帶動競賽”的雙重目標，讓概率論與數理統計成為一門學生樂學、主動學的課程，是亟待解決的問題．

1 以建模競賽為依托，推動概率論與數理統計教學的改革

目前我國正處于經濟轉型升級發展階段，社會急需大量具有創新能力的應用型人才, 大學的教育必須以社會需求為導向，以應用型專業教育為基礎, 在教學內容、教學方法及教學理念上多樣化的選擇勢在必行．大學生數學建模競賽活動的開放性, 使得教師在教學內容和教學方法的選擇上具有足夠靈活的空間, 這恰恰可以實現教學模式的創新．以大學生數學建模競賽為依托，概率論與數理統計課程的教學改革需要打破傳統以理論講解和邏輯推理為主的教學模式，教學過程中應當合理融入數學建模的思想和案例，增加案例教學、課堂討論教學、上機操作等教學環節，這不但可以開闊學生視野, 調動學生的學習積極性, 而且對學生的創造性思維和應用能力的培養也大有益處．

1.1 合理滲透數學建模的思想，樹立學生應用數學的意識

在概率論與數理統計教學中，通過引入合適的實際問題，滲透數學建模的思想方法，引導學生利用所學的知識，建立數學模型來解決實際問題，給出解決方案，這不但加深了學生對所學的概率統計知識的理解，而且在概率統計知識與實際應用之間搭建起了橋梁，有效樹立了學生應用數學的意識[1-2]．例如在學習了概率的乘法公式之后，可以引導學生思考《儒林外史》第三回中，范進晚年中舉的概率究竟有多大？如果設范進每次鄉試考中的概率為0.3，令Ai表示第i次鄉試未考中，則他連考十次都不中的概率為

P(A1A2…A10)=

P(A1)P(A2/A1)…P(A10/A1A2…A9)=

(1-0.3)10≈0.0282

則范進考中的概率為97.18%．在解決這一問題的過程中，學生不但加深了對概率乘法公式的理解和記憶，另一方面這個案例也可以教育和啟示學生，學習貴在持之以恒，只要堅持不懈，總有一天能夠取得成功．

1.2 采用案例教學，合理融入數學建模競賽的賽題

案例教學是以案例為基礎的開放式和互動式的教學方式，通過各種信息、知識及觀點的碰撞來達到啟示理論和啟發思維的目的．在概率論與數理統計的教學中，可以適當地采用案例教學的方式，將歷年來數學建模競賽中有關統計的賽題作為案例引入到課堂教學中，指導學生提前閱讀，啟發學生對現實問題進行思考與探索，組織學生展開討論，形成反復的互動與交流，使學生在反復地分析和討論之后不斷加深對知識點的理解，拓寬自己的視野，提高分析問題和解決問題的建模能力．

案例1(概率)：2002年大學生數學建模競賽B題“彩票中的數學”，根據“傳統型”和“樂透型”兩種類型的彩票方案，分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素，綜合評價各彩票方案的合理性．

可以引導學生思考如何來評價一個彩票方案的合理性，主要應該從彩票公司和彩民兩方面的利益出發，因為總獎金比例為銷售總額的50%是確定的，則雙方的利益主要取決于銷售額的大小，即彩民購買彩票的數量大小，如此一來問題就轉化為如何設置彩票方案才能吸引更多的彩民來購買獎券，引入一個什么樣的數量指標才能衡量出彩票對彩民的吸引力．建模的初始應該先利用古典概率計算出彩民獲得各獎項的概率，然后從購買一注彩票能獲得的期望效用出發,利用概率論中的數學期望來描述彩民買一注彩票能獲得的期望效用,用方差來衡量彩民購買彩票的風險度,根據“平均回報最大而風險度最低”的原理,確定出最優的彩票方案[3]．

案例2(統計)：2012年全國大學生數學建模競賽A題“葡萄酒的評價”，通過對某一年份葡萄酒的相關數據分析以下四個問題：(1)分析兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異,哪一組結果更可信；(2)根據釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質量對釀酒葡萄進行分類；(3)分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的關系；(4)分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質量的影響．

針對問題一可以引導學生利用t檢驗、F檢驗或是秩和檢驗等方法來檢驗兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異．確定哪一組評價結果可信，應該根據哪一組的評酒員對同一酒樣的評價結果差距最小而定，因此可以利用方差或是變異系數等指標來進行衡量．針對問題二可以引導學生首先對葡萄酒的各個理化指標數據進行標準化，以消除不同的理化指標的量綱對葡萄酒質量評價結果的影響，然后再利用因子分析的方法，在問題一的基礎上，根據釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質量對釀酒葡萄進行分級．針對問題三可以利用主成分分析對葡萄的理化指標進行篩選和分類，再利用相關性分析的方法得到葡萄酒的理化指標是否與葡萄的理化指標相關的結論．針對問題四可以采用逐步回歸分析或相關性分析等統計方法來分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質量的影響[4-5]．

由于學時有限，案例可以提前兩周下發給學生，讓學生有充足的時間上網搜集資料，進行研究，案例的討論可以利用課余的時間分組進行，討論結束后應及時安排各組展示或報告小組討論的結果，并對展示的結果進行簡要地評述，把各組的完成情況記入學生平時成績．

數學建模競賽賽題的引入，可以讓學生提前了解大學生數學建模競賽的流程，激發了學生參加競賽的熱情，在建模的過程中，學生通過上網查閱資料自學了主成分分析，因子分析等書本之外的統計方法，不但深化了學生的知識結構，同時也培養了學生分析問題和解決問題的能力，加強了學生在數學建模競賽中的核心競爭力．

1.3 合理安排上機實驗，培養學生應用統計軟件的能力

概率統計方法在實際應用中，常常會遇到大數據處理以及大量復雜計算的問題，尤其是近幾年的建模競賽中涉及大數據處理的問題隨處可見，此時單靠手工計算是沒有辦法得出結論的，必須依賴計算機進行處理．隨著各種統計軟件的發展與進步，計算機已經成為了概率統計計算中不可或缺的工具，因此在概率論與數理統計的教學中需要包含上機實驗的環節，旨在介紹一些常用的統計軟件的使用方法，如MATLAB、R、SPSS等，培養學生應用統計軟件進行數據處理、統計分析和模擬仿真等方面的能力．為了得到更好的教學效果，上機實驗的內容必須要緊跟理論教學的進度，從而實現上機實驗與理論教學的有效結合．在上機實驗的最后階段，可以將2012年全國大學生數學建模競賽A題“葡萄酒的評價”作為案例來強調利用統計軟件進行數據處理和統計分析的重要性[6]．

1.4 開展社會調查，培養學生應用統計的能力

大學生數學建模競賽的賽題大都來自于實際問題，涉及社會生活的方方面面，然而有很多問題的實際背景學生卻不甚了解，往往給數學建模帶來了很大的困難或誤區．為了拓寬學生的知識面，鍛煉學生應用概率統計的能力，在平時的教學過程中，除了要滲透建模的案例之外，還要有意識地組織學生開展豐富多彩的社會調查活動，指導學生收集所在地區的教育、經濟、金融及管理等方面的數據，運用概率統計的知識，建立相應的概率統計模型，利用統計軟件進行分析與預測，形成一篇小論文，將概率統計的思想方法真正應用到實踐中去，這才是概率統計教學的最終目的．例如可以利用假設檢驗的方法解決產品的抽樣調查問題，藥廠新研制的藥品能否在臨床上使用的問題等．

2 教學改革中應注意的問題

概率論與數理統計教學改革的目標是從培養學生的實踐創新能力出發，以數學建模競賽為依托，以概率統計建模為輔助工具，充分調動學生學習的積極性，提升課堂教學效果．如果前期對教學改革的定位不準確，在具體實施教改的過程中，很容易出現與改革目標不一致甚至相反的教學效果，例如對建模案例的選擇不夠典型，針對性不夠強；過多的引入建模案例，占用太多理論教學學時；課程中融入數學建模的形式比較單一，缺乏靈活性；上機實驗課的內容比較單一，對學生實踐能力的培養不足等．為了避免這些現象的發生，需要著重把握以下幾個方面的問題．

2.1 緊扣教學內容，強化實際應用

不是所有的教學內容都適合引入數學建模的思想和案例， 數學建模思想的引入應該緊扣教學內容，把理論知識與應用聯系起來.為了突出主題，避免過多的占用教學學時，必須要精選數學建模的實例，實例要盡可能具有代表性，并且要簡明易懂，能夠充分引起學生探索的興趣．

2.2 擺脫學時限制，豐富融入手段

雖然課程的教學學時有限，但任課教師可以采取多種方式擺脫學時的限制，豐富融入數學建模的手段，例如舉辦講座、開展專題討論、鼓勵學生參加建模競賽等，更理想的方式是與上機實驗環節相結合，通過具體的案例，培養學生利用概率統計方法分析問題和解決實際問題的能力．

2.3 精準目標定位，注重能力培養

引入上機實驗的目的是利用統計軟件提高概率論與數理統計課程的教學質量，對理論教學起到輔助作用，培養學生利用統計軟件分析和解決問題的能力，而不是通過該課程的教學去提高學生的計算機水平，切不能把該課程的教學課上成計算機課．

2.4 加強質量監控，及時進行調整

教學質量監控是保證教學改革能夠順利進行的有效手段，任課教師作為教學質量監控的實施者和組織者，應該更加深入學生，通過課堂提問、課堂練習和批改作業等方式，及時了解學生對教學內容的掌握情況．要定期收集和整理學生對教學過程的反饋意見，及時地解決教學改革中存在的問題，調整教學改革的方案，把握教學改革的方向．

綜上所述,大學生數學建模競賽以應用數學為突破口，以建模競賽為推動力，為概率論與數理統計的教學改革提供了新的切入點，為探索實踐應用型人才培養模式開辟了新的思路．以數學建模競賽為依托，將數學建模的思想合理融入概率論與數理統計的教學，只要實現理論課程、上機實驗、學生社會實踐以及第二課堂有機地融合，概率論與數理統計課程就會在實踐性應用型人才培養方面發揮更大的作用．

[1]侯嫚丹.數學建模思想融入概率論與數理統計的研究[J].高師理科學刊,2013(3):76-79.

[2]都琳.數學建模思想融入《概率論與數理統計》的教學改革[J].教育教學論壇,2015(13):110-111.

[3]韓中庚.“彩票中的數學”問題的優化模型與評述[J].工程數學學報, 2003(5):107-116.

[4]張杰,馬士達.基于主成分分析的紅葡萄酒評價方法研究[J].東北電力大學學報,2013(6):41-44.

[5]陳錦.基于統計學的葡萄酒評價數學模型[J].鹽城工學院學報,2014(1):18-21.

[6]馬淑蘭.概率論與數理統計課程教學中引入數學實驗的嘗試和思考[J].內江師范學院學報,2013(10):83-86.

(責任編輯:陳衍峰)

2016-04-12

吉林省教育科學規劃項目“地方高校轉型趨勢下概率論與數理統計課程教學改革探索與實踐”(GH14398)；通化師范學院高等教育教學改革研究課題立項“以數學建模競賽為依托，促進概率論與數理統計課程實踐性應用型教學改革研究”

于梅菊,女,吉林集安人,博士,講師.

G642.0

A

1008-7974(2016)05-0060-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.10.020