大學生數學建模認知與創新能力培養的幾點思考——以2015年全國大學生數學建模A題為例

何丹

（漢口學院，湖北武漢430212）

大學生數學建模認知與創新能力培養的幾點思考——以2015年全國大學生數學建模A題為例

何丹

（漢口學院，湖北武漢430212）

數學建模對于學生認知和創新能力的培養和提升具有重要推動作用。本文從數學建模具有的重要價值出發，探討教師在數學建模中具有的重要作用，并通過例子進行分析，最后提出幾點思考。

數學建模；認知能力；創新能力；教師

擁有數學思想對個人發展以及社會進步具有積極影響，不管是微觀機理性研究，還是宏觀決策，利用數學的思維去思考問題、解決問題已成為主流。數學作為理性思維的載體，是培養和造就各類人才的基礎，體現了自身具有基礎的科學價值，同時其蘊含的技術價值又給社會帶來了無盡的精神與物質財富。人們為實現此類財富，已逐漸習慣將問題的思考、客觀現象的表述、事物的發展規律分析與數學思維、數學語言、數學方法對應起來，從而形成了所謂的數學建模。數學建模已成為數學走向應用的必經之路，是將現實世界和數學科學有機聯合起來的橋梁。大學生作為未來社會的中堅力量，理應培養和具備扎實的數學基礎與良好的數學素質。事實上，數學教育本質上是一種素質教育。實際證明，數學建模教學與競賽是培養大學生綜合素質的有效途徑。數學建模教學與競賽不僅提高了學生的數學應用意識，還增強了學生利用數學知識與現代技術解決實際問題的能力，同時學生的認知和創新能力得到了不斷提升。具體而言，通過數學建模，學生應該具有如下幾個方面的能力：看事物眼光發生改變，注重事物的數量及其變化規律；邏輯思維能力增強，數學習慣改善，對于一項工作能認真細致、一絲不茍且有條不紊地進行；講究精益求精，能基本利用數學思維、理論和方法去思考、分析及解決問題；面對困難，主動思考，創新及實踐能力提高，同時合作及分工意識增強；對事物具有一定的概括能力，能從不同角度看待問題，較為熟練地使用網絡和相關搜索技術；具有較好的寫作能力，并能自我給予合理的評價。這些益處概括起來，其實就是學生的綜合能力得到提高，而其中最明顯的是學生的認知和創新能力得到培養與提升。下面將就如何在數學建模中來培養與提升學生的認知和創新能力展開討論，并以實例進行分析。

一、數學建模與認知創新能力

創新能力的培養對于開發應用型人才具有重要作用。以知識經濟為主導的經濟全球化浪潮，不僅要求個體綜合素質的全面提高，還要求個體具備開拓創新的意識和精神。這決定了具有創新意識的人才才能成為經濟持續增長和社會持續發展的內在依托，是建設創新型國家的關鍵所在。創新能力的培養同時對緩解大學生就業壓力具有重要作用。幫助大學生培養創新能力，激發大學生潛在的創新意識，變被動的求職者為能夠主動進行創新的就業者，這顯然是緩解大學生就業壓力、實現大學生就業范圍持續礦大、增強就業拉動能力的重要途徑。

數學建模對大學生創新能力的培養。創新人才結構應該包括創新意識、創新思維、創新精神、創新人格、創新的知識儲備、創新能力等六個方面。從解決具體實際問題方面來看，數學建模運用了所學數學知識和數學歸納總結的方法，它具有結合實際、輻射面廣、依賴數學計算等特點，培養了大學生的創新能力。同時，一個具體的問題可以擁有很多種解決方法，這樣使得大學生的想象力和創造力在問題的解決過程中有了很大的發揮空間，促進了大學生對所學數學知識的融會貫通，養成了多層面思考的良好習慣，從而對大學生以后的創新思維培養提供了更好的方法，以及培養大學生動手實踐和總結能力、日常學生能力、未來踏入社會能力，增加學生對生活中實際問題的理解，掌握更多的分析、處理問題的方法，提升綜合素質，培養更多與社會接軌的應用型人才。

雖然我國的數學建模競賽從1992的第一次全國大學生數學競賽至今已有二十多年歷程，也取得了眾多的成果，但是就現狀來看，絕大部分大學生在高中及以前學習階段未真正接觸過數學建模，對于數學學習基本處于一種為學而學的狀態，并不清楚如何去應運學到的數學知識，并主動地去學習新的知識，不斷拓寬認知能力和實踐能力，更談不上創新能力。因此，即使大學生數學建模培訓及競賽為廣大學生提供了良好的認知和創新能力培養平臺，但是對于眾多初次參與數學建模的學生而言，如何成功地在數學建模中提升認知和創新能力是值得認真探討的。

王茂芝等從數學建模培訓的能力和目標出發，將數學建模培訓課程分為四個階段：準備階段、建模預處理階段、專題培訓階段和模擬與實戰階段。由淺及深，以提高學生的宏觀駕馭能力、資料收集能力及基本軟件應用能力為出發點，提升對數學問題的思考及分析能力，接著通過專題培訓使學生的知識結構及能力能基本滿足建模和求解的要求，最后利用實戰培養學生良好的心理素質、健全的人格、良好的協作和協調能力以及寫作能力。蒲俊等通過近二十年的實踐探索，指出數學建模的成功離不開好的政策和穩定的教師隊伍，同時，必須注重教學內容的選擇這一核心環節，為保證教學質量必須具有好的教學方法和手段，以及不能按照傳統的考核方式來考評數學建模績效。但是，前述研究多是從數學建模整體出發，對如何提升創新能力的具體方法涉及較少。付軍等通過教學實踐，總結出為培養和提升學生的創新能力，教師起到了決定性的作用，教師應在教學過程中強調知識的發現過程，創造性地解決問題的方法和不斷探索的精神，而不是只注重結果與照本宣科的教學。具體應注重以下方面：注重積累，優化知識結構；引導思考，重視認知過程；設計教學，促發直覺思維；一題多變，加強發散思維；團結拼搏，培養創新品格等。葉其孝也明確提出，在數學建模教學過程中，學生是中心，教師是關鍵，因為教學活動是在教師的領導和指導下進行的，需要老師的刻苦鉆研、適宜的教學藝術及滿懷的愛心。

通過以上可以看出，為培養與提升學生的認知和創新能力，學生作為中心是理所當然的，但是教師的作用不可忽略，甚至是決定性的。目前針對老師在數學建模中的引導作用討論較少，本文以2015年全國大學生數學建模A題為例，從老師層面探討如何引導學生利用數學建模培養和提升認知與創新能力。

二、舉例分析

2015年全國大學生數學建模A題是一道動態空間幾何問題，此題目的是根據太陽影子隨時間的變化推斷出影子拍攝的地點及拍攝日期。題目給的信息很少，只有時間和直角坐標數據，且直角坐標的坐標軸方向未知，眾多信息需要自己去收集與挖掘，難度隨著問題的深入而不斷加大。對于此題，因參加數學建模的學生可能來自不同的專業和不同的年級，基礎不一，對于物理專業和部分工科專業學生可能會較快上手，但是，對于其他專業例如化學、管理等學生而言，卻理解起來比較復雜，老師如何引導學生進行思考并解決問題至關重要，進而達到提升學生認知和創新能力的目的。一般來說，在對學生進行指導之前，老師自身應該對問題有較深的認識，能把握整個問題的核心，從多個角度思考問題，并想出不同種的方法來進行求解，實現發散思維與靈活教學。

對于一個完整的數學建模論文來說，一般包括問題重述、問題分析、模型假設、符號說明、模擬建立與求解和模型評價與改進等部分，針對不同問題可適當進行調整。針對本文所舉例子，涵蓋了上述所有部分。老師為能使學生能力得到提升，需在每個部分做一定的工作來引導學生解決問題，并能進行恰當合理的分析與評價。

（一）問題重述

問題重述部分并不是簡單地將問題復制一遍，而是應該在對問題有一定認知程度的進一步理解和升華。為此，老師需要采用一些實際生活中的例子進行展示，例如地球儀簡單模擬、太陽能朝向文獻收集等，這些工作可以激發學生對問題的興趣，同時對問題有一定的感性和理性認識。但是，必須明白學生是主體，老師只是鼓勵和起推動作用，具體工作需要學生自己做，例如查文獻與搜集網絡資料等，老師可以給予一定的評價和鼓勵。

（二）問題分析

本次數學建模A題中提出了四個需要解決的問題。問題一，對于直桿的太陽影子長度的變化曲線，根據拍攝日期、地點以及時間區間和直桿的高度，可先通過求出此時間區間內多個直桿太陽影子的長度，建立適當的模型，擬合出直桿影長與時間變化的函數關系。問題二，對于任意位置固定直桿水平面上的太陽投影定點坐標數據，通過建立數據模型得出可能地點的經度與緯度，從而來實現直桿的定位。問題三，對于日期和地點都變化的直桿坐標求取問題，我們假定xy坐標系的x軸與緯線夾角為β，首先給定一個日期，通過建立的模型即可算出21個時間點的緯度，通過判斷21個緯度值的方差篩選，對夾角的賦值和日期的給定，算出所有日期符合要求的坐標和日期。問題四，基于錄像，選取特定時間點畫面，利用AutoCAD軟件，量取直桿及影子長度（非真實長度）。由前述可知，太陽高度角的正切值為桿高與影長的比值，故通過量取得長度即可計算出太陽高度角，同時，已知桿高，通過數學幾何運算即可求出影子真實長度。通過錄像中選取的時間點及日期，可以利用前述公式求得赤緯角及時角，利用太陽高度角、目標點的地理緯度、赤緯角及時角之間的函數關系，求解一元方程即可得到目標點地理緯度。與第二問中的求解方法相同，通過影長與時間進行二次多項式差值擬合，可以得到直桿所在地方的經度，結合算出的經度和緯度得出了若干的可能的拍攝地點。對于附件2和3，我們采用問題二中相同的辦法擬合出函數及其圖像，算出直桿若干個可能所在地的經度。綜合以上，得出直桿若干個可能的地點和日期。由此可見，這四個問題相互聯系，特別是在解決第四個問題時，可以直接運用第二個問題的求解方法。

在問題分析方面，老師要給予充分的重視，引導學生逐步分析各個問題之間的聯系，防止學生想偏想怪，走太多的彎路，但并不是直接就給學生給出求解方法和結果。老師在此部分一定要鼓勵并引導學生查閱更多的文獻和資料，并鼓勵團隊之間多討論、多合作，提倡主動提出問題，從而實現對問題的深入理解。

（三）問題的求解

本文采用的例子中涉及較強的動態幾何模型，對大多數學生具有一定的難度，此時就需要老師進行相關演示。老師可以事先準備一些視頻材料，這些材料在網上是有的，例如衛星運動軌跡模擬視頻等都是很好的教學材料，不僅可以進一步激發學生的興趣，還可以建立更加深刻的感性和理性認識，從而可以促使學生主動地建立模型。一般來說，模型建立后，老師對學生的模型進行一定的評價，和學生進行討論，這樣不僅能增進師生之間的友誼，還可以讓學生產生莫大的鼓勵，學生的興趣和解決問題的決心也會大增，對于問題解決很有益處。數學模型的求解、模型的檢驗包括建模過程中對實際問題的數據處理離不開計算機技術，像Lingo、Lindo、Matnematical、Matalab等數學軟件的使用，也需要進行合理的開發，才能在實際問題的解決中發揮作用。在教學過程中，同時要注重相關軟件的教學。就本例而言，CAD制圖軟件、Matlab軟件是重點教授軟件，鼓勵并引導學生主動學習此類軟件，并用于問題分析與解決。

（四）論文的寫作

對于學生完成的論文，首先，老師應該認真地批閱，但是必須明白數學建模不同于傳統教學，不管學生的結果如何，老師需要從多個方面進行考察，應該注重原創性、科學性和文章表達方面，有的學生雖然未能完全解決問題，但是思路清晰，表達方式恰當，此論文都應該給予很高的評價。論文批閱完后，老師應該與學生進行討論，而不是忙著進入下一類型模型的教學，只有在學生對本問題充分理解之后方可進入下一類型模型教學。

總之，教師是培養學生的主體，能否有效地培養學生的創新能力在很大程度上取決于教師。教師在建模指導過程中，應該強調的是發現知識的過程，而不是簡單地獲得結果；強調的是創造性地解決問題的數學方法和養成不斷探索的精神，而不只是照本宣科地學習和講授。只有這樣，才能更好地培養學生發現問題、分析問題和解決問題的實踐能力和創新能力。

三、幾點思考

實踐已經表明，數學建模對于學生的認知和創新能力培養和提升具有重要推動作用。為能更好地進行數學建模教學工作，本文提出以下幾點思考：

（一）理工科專業應適當開設數學建模課程

理工科學生一般開設有高等數學、線性代數、概率論與數學統計等數學課程，但是教學單一，基本為學而學，不知學后如何使用，與實際問題距離較遠。適當開設數學建模課程可以使學生能將學到的數學知識與實際聯系起來，不僅可以加深自身專業的認識，還可以拓寬知識面和增強發散性思維，這對培養和提升學生的認知和創新能力是很有效的。

（二）讓數學建模的思想滲透到各門數學課程中去

在大學教育中，最理想的數學建模教學是把它滲透到各門數學課程中，并且盡可能滲透到專業課程中。在每一門課程中設計四個左右較精彩的建模案例，四年下來，學生掌握了很多典型實例的解決方法，其創新能力就會有較大的提高。

（三）從強調學生的主體地位和培養學生的創新能力提出改進教學模式

在數學建模培訓過程中，增加探索和討論。這樣，可以突顯學生探索新知識的能力，養成獨立鉆研的習慣。同時，組織課外小組活動與完成大型作業。教師可以將學生分成若干個小組并指定一些問題，讓學生閱讀相關資料，互相討論，形成解決問題的方案，使學生發揮特長，養成良好的探究問題的習慣。

（四）在數學建模教學過程中，不僅學生需要培訓，老師也需要進行相關培訓

數學建模中，學生是主體這是理所當然的，但是，老師的指導不可或缺，甚至起著確定性作用。指導老師基本為專門從事數學教學工作的老師，雖然數學理論知識豐富并且具有較強的數學應用能力，但是仍避免不了在很多方面有所欠缺，因此，需對老師定期進行相關培訓，使老師能基本勝任任何數學建模問題的教學工作，同時也能促進教師自身的學術研究水平和教學工作水平的提高。

（五）數學建模教學與培訓離不開好的政策

當前，老師與學生的壓力很大，特別是青年教師，為能給這些教師吃定心丸，學校或單位應該給予這些老師充分的重視，不能只讓他們有產出而得不到給養。

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