基于單元教學，創新正比例函數教學

☉江蘇省如皋市搬經鎮初級中學　謝建兵

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基于單元教學，創新正比例函數教學

☉江蘇省如皋市搬經鎮初級中學謝建兵

一次函數起始課教學一直是教學研討的熱點，不少教材上一次函數的起始課常常是從正比例函數的概念開始，重復著前一小節變量與函數的學習內容，沒有能在進入一次函數學習時給學生以整體觀，傳遞函數研究的基本套路.最近筆者有機會執教正比例函數公開課，本著“用教材教”的理念，我們打破教材上的限制，重新設計了從列出一次函數關系式出發，然后開始系統研究特殊的一次函數即正比例函數，讓學生既“先見森林”，又重點“聚焦樹林”，取得了較好的教學效果.本文先呈現該課的教學設計，再給出跟進解讀，供研討.

一、正比例函數教學設計

（一）情境導入

寫出下列變化中的函數關系式.

（1）汽車速度為60千米/小時，汽車行駛距離s（千米）與行駛時間t（小時）之間的變化情況.

（2）每個練習本的厚度為0.5cm.一些練習本摞在一起的總厚度h（cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化.

（3）若設正方形的邊長為x（x>0），周長為y，那么有y=4x，正方形的周長隨邊長的變化而變化.

（4）某城市的市內電話的月收費額y（單位：元）包括月租費22元和撥打電話xmin的計時費（按0.1元/min收取）.

預設互動：當學生得出相關的函數關系式之后，追問上述函數解析式有什么共同點，主要引導學生從函數關系式的角度觀察，前3個都是單項式，而第4個是0.1x+ 22，是一次二項式.它們的次數都是一次式，于是給出一次函數的定義.

定義（板書）：一般地，形如y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數.當b=0時，y=kx+b即y=kx，此時我們稱y是x的正比例函數.

安排跟進練習，如下所示.

（1）下列關系式.

①y=3x；②y=-x2；③y=x2；④y=5x-2；⑤y=x+2；⑥y=；⑦y=x2+1；⑧y=-x+1.

正比例函數有______________，一次函數有____________.（填寫序號即可）

（2）若關于x的函數y=（2-m）x是正比例函數，則m的取值范圍為__________.

設計意圖：如果學生回答出錯，則引導他們“回到定義”糾錯.

（二）研究正比例函數的圖像與性質

過渡：在上一節的學習中，我們知道，函數有不同的形式（可以提問學生回答出圖像、表格、關系式），接下來我們就從函數關系式出發，研究它的圖形與性質.

例1在同一平面直角坐標系下畫出正比例函數y= 2x和y=-2x的圖像.

設計意圖：在上一節中學生就會“列表、描點、連線”畫圖，讓學生用上述方法畫圖后，歸納總結出正比例函數圖像的特點及變化規律，讓學生自己動手、動口、動腦，經歷規律發現的整個過程.

預設追問1：兩個圖像有哪些共同點？

預設答案：都是經過原點的直線.

預設追問2：有哪些不同點？

安排跟進練習，如下所示.

在同一坐標系中，畫出下列函數的圖像，并對它們進行比較.

（1）y=x；（2）y=-x.

預設講評：投影學生可能的作圖.啟發學生比較兩個函數圖像可以看出：兩個圖像都是經過原點的直線.函數y=x的圖像從左向右上升，經過第一、三象限，即隨x的增大y也增大；函數y=-x的圖像從左向右下降，經過第二、四象限，即隨x的增大y反而減小.

總結歸納正比例函數的圖像與性質（板書）：正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖像是一條經過原點的直線.當k>0時，圖像經過第一、三象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖像經過第二、四象限，從左向a右下降，即隨x的增大y反而減小.

提醒學生：由于正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖像是一條直線，所以可以稱它為直線y=kx.

（三）典例講評

8月21日，由中國無機鹽工業協會和海西州人民政府聯合舉辦，IFA國際肥料協會、國際鹽湖學會支持，格爾木市人民政府、中國無機鹽工業協會鉀鹽鉀肥分會、中國國際貿易促進會化工行業分會共同承辦的2018鉀鹽鉀肥大會暨格爾木鹽湖論壇在格爾木市會展中心開幕。

例2經過原點與點（1，k）的直線是哪個函數的圖像？

預設追問：畫正比例函數的圖像時，怎樣畫最簡單？為什么？

設計意圖：讓學生利用總結的正比例函數圖像的特征與解析式的關系，完成由圖像到關系式的轉化，進一步理解數形結合思想的意義，并掌握正比例函數圖像的簡單畫法及原理.最后引導學生確認：經過原點與點（1，k）的直線是函數y=kx（k≠0）的圖像.也就是畫正比例函數圖像時，只需在原點外再確定一個點，即找出一組滿足函數關系式的對應數值即可，如（1，k）.同時注意關聯幾何公理：兩點可以確定一條直線.

跟進練習：如果讓你用最簡單的方法畫出下列函數的圖像：（1）y=3x，（2）y=-3x，你會怎樣畫呢？

預設互動：安排學生回答，比如除原點外，分別找出適合兩個函數關系式的一個點來.

例3已知變量x、y滿足y=kx，且當x=3時，y=24.求y 與x之間的比例系數，并寫出函數解析式.

預設互動：這道習題并不復雜，大多數學生都能順利解答，重要的是給出如下的一些不同呈現方式.

變式1：已知正比例函數y=kx，當自變量x=3時，函數值y=24.求k的值.

變式2：已知直線y=kx，經過點A（3，24）、B（1，b）.求b的值.

變式3：已知經過原點O的直線l經過點A（3，6），若點B（1，b）也在直線l上，求BO的長.

變式4：平面直角坐標系下有點A（3，6）、B（1，2）、C（-2，-4），試判斷這三個點是否在同一直線上，并說明理由.

（四）小結與反饋

師生共同小結本課的主要學習內容，并跟進檢測聽課效果，設計一組問題.

聽課反饋題（共5小題，每小題20分）.

（1）正比例函數y=（m-2）x的圖像經過第一、三象限，則m的取值范圍是（）.

A.m=2 B.m＞2 C.m＜2 D.m≥2

（2）正比例函數y=（k-3）x，y隨著x的增大而減小，則k的取值范圍是______.

（3）函數y=-4x的圖像在第_______象限內，經過點（0，____）與點（1，____），y隨x的增大而______.

（4）若直線y=kx經過點A（-2，-10）、B（1，b），求b的值.

（5）求證：在同一平面直角坐標系中，點A（1，2）、O（0，0）、C（-2，-4）在同一直線上.

二、教學立意的進一步解讀

1.踐行“單元教學”，讓學生知道正比例函數是一次函數的特例

我們知道，近兩年來，《中學數學》（下）發表了很多研究著名特級教師李庾南老師數學教學思想的文章，特別是相關的課例文章往往踐行著李庾南老師倡導的“單元教學”，即整合教材內容，重新劃定課時，給筆者啟發良多.上文中的教學設計正是在單元教學的構思下設計而成的，即教材上是先組織學生研究正比例函數，再學習一次函數，然而我們在開課階段就先通過4個情境列出一次函數，其中前3個是正比例函數，接著先給出一次函數的定義，并約定當b=0（即一次二項式中常數項為0）時，稱為正比例函數，讓學生知道正比例函數是一次函數的特例.這里也是傳遞一種研究方法，即碰到一類廣泛的數學對象時，常常退回最簡單的情形，或選擇先研究它的特例，再成果擴大、一般化去研究更一般的數學對象.

2.傳遞“基本套路”，在正比例函數研究中積累函數研究方法

除了上面我們提到的先研究特例，再研究一般化的數學對象的基本套路，我們在組織學生研究正比例函數時，也傳遞了很多重要的“基本套路”（章建躍博士語），比如研究函數通常是先定義，再歸納和驗證圖像與性質，最后運用圖像和性質來解決問題.特別是，當學生有了函數圖像與性質的初步認識之后，將函數問題的呈現方式豐富和變式，使得學生在面對不同形式的函數習題時，能運用函數眼光，從形的角度認識函數.事實上，從“數形結合”這個角度讓學生研究函數才是初中函數學習和訓練的重點與難點.

三、結束語

函數起始課教學十分重要，雖然正比例函數非常簡單，好像沒有什么新知識、難內容，然而對于初學函數的學生來說，能否將簡單的內容或概念認識得更深，則全部在于教師的課前預設與深思，我們關于一次函數起始課的教學設計還是初步的、不成熟的，期待打磨與指正.

參考文獻：

1.陳乘風.依靠基本套路，踐行單元教學——以“矩形、菱形”第1課時教學為例［J］.中學數學（下），2016（2）.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇錦華.從數學整體觀看單元教學［J］.中學數學教學參考（中），2015（11）.