運用數形結合思想，提高數學思維品質

☉江蘇省無錫市南長實驗中學　王宇峰

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運用數形結合思想，提高數學思維品質

☉江蘇省無錫市南長實驗中學王宇峰

數學是揭示事物中數量與形體的本質關系與聯系的科學.數學的兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合思想就是通過數與形之間的對立和轉化來解決數學問題.正如華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”.數形結合思想從根本上來看包含兩方面的內容，即“以形助數”和“以數解形”，巧妙地應用這一思想，不僅可以使問題變得更加簡單和自然，而且還能培養學生全面研究問題的能力，培養嚴謹的數學思維和直觀看待問題的能力.在初中數學教學中，如果教師能夠有效運用數形結合思想來進行教學，那么就可以有效激發學生的學習興趣，培養學生的數學思維能力，最終讓學生提高數學品質.

一、運用數形結合思想，提高學生分析問題的意識

學生在平常生活中都會有一些圖形方面的知識，積極利用學生的這些認識基礎，將數與形相結合的方式轉移到教學中來，從而在課堂上滲透相應的數形結合思想，并充分挖掘題目所提供的元素，提高學生分析問題的能力.

初三中考總復習時，筆者給學生出了這樣一道題.如圖1，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP= 45°，則點P的坐標為______.

圖1

師：這是一個中考填空題，請大家仔細讀題，分析并自行解決.

生1：首先確定圓心的坐標，然后通過勾股定理來解決.設Rt△AOB的斜邊AB的中點為M，則M是△AOB外接圓的圓心.由題意可得∠BAO=30°，AB=4.如圖2，連接PM、OM，則有PM=OM=AB，于是∠OPM=∠MOP=∠AOP-∠AOM=45°-30°=15°，OM=PM=2.

延長PM，作OT⊥PM，垂足為T，則∠OMT=30°.

在Rt△MOT中，由OM=2，∠OMT=30°，得OT=1，MT=，則PT=PM+MT=2+

過P作PH⊥x軸，垂足為H.

圖2

師：在直角三角形中，通過勾股定理解決是我們的常見思路，生1的思路是可行的，但對計算能力的要求較高，尤其涉及二次根號下的配方，計算正確確實不容易.下面的同學一定有其他不同的解法，愿意和大家分享一下嗎？

生2：我是通過解直角三角形的方法來解決的.如圖3，作BS⊥OP、PH⊥x軸，垂足分別為S、H，連接PB.

由題意可知△BOS是等腰直角三角形.

圖3

師：生2在圖形中發現了特殊的直角三角形，簡化了計算過程，思路也更加清晰.

通過數形結合思想，立即激發了其他同學對試題進行再思考.在這樣的氛圍下，學生能夠強化數形結合思想，逐步形成通過數形結合去分析問題、解決問題的思維方式.

二、運用數形結合思想，提高學生的轉化遷移思維能力

數形結合思想是將數與形結合起來解決問題的一種思維方式.教師通過課堂教學問題的講解，使學生充分理解數中有形，形中有數，數形是緊密聯系的，用數形之間的對應關系，幫助并引導學生進行有效的數學轉化，從而巧妙地解決一些看似復雜的數學問題.

2012年無錫市中考有這樣一道題目：對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，P2）.

（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系（圖4）中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；

圖4

（2）設P0（x0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離，試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離.

這是一道充分滲透應用數形結合思想的綜合題，重點在第二問中.第二問中實際上是在點到點的直角距離的基礎上引入點到線的直角距離.同樣學生會根據第一問的方法先寫出點到線的直線距離的表達式：d（M，Q）= |x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，接下來關鍵是要找到表達式的最小值.

有學生說：老師，我們可以通過第一問的方法，分類討論化簡表達式.

師：可以，這是一種比較直接的解答途徑.還有其他方法嗎？

學生竊竊私語.筆者接著引導學生思考：我們在講絕對值的時候，它是怎么定義的？

生：絕對值是反映數軸上點與點之間的距離.這樣學生就探索出這道題的內涵，筆者讓學生通過畫數軸，發現|x-2|+|x+1|這一表達式，實際上是表達：數軸上一點到2和-1的距離之和.這樣學生很快就會發現|x-2|+|x+1|的最小值為3.

通過數形結合思想的運用，讓學生將不同的知識元素進行類比遷移，激勵學生的數學學習；可以更好地了解學生數學學習的歷程，診斷學生在數學學習中遇到的困難，幫助學生認識自己在解題策略、思維方法或學習習慣上的長處和不足，及時調整和改善教與學的過程，這樣可以幫助學生提高數學應用能力，開拓創新意識和實踐能力，同時也自然而然地提升了應試的技能.

三、運用數形結合思想，深化學生綜合運用知識的能力

教師在進行教學時，必須使學生明白要利用數形結合方法解決問題，就必須尋找兩者的契合點，然后根據相應對象的屬性將數與形進行巧妙地結合，通過對綜合題目中各方面的知識點進行歸納總結，找到數、形之間的內在聯系.

2015年山東日照的中考題：

圖5

（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（2）在（1）的條件下：①P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P，使得以A、P、Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

②設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發，沿線段DE以每秒一個單位的速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少？

分析：本題主要考查了運用待定系數法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點坐標、拋物線上點的坐標特征、三角函數的定義、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程、兩點之間線段最短、軸對稱的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識.通過這題的解答，利用數形結合思想將數學中解直角三角形、函數、動點等知識綜合運用，讓每個學生對相應的知識能夠做出清楚地判斷，有利于學生學習能力的進一步發展，合理引導學生學會綜合運用問題，掌握結論與條件的內在聯系，令空間形式與數量關系巧妙結合，進而深刻感悟數形結合思想，全面掌握數形結合的科學應用.

數學是一門基礎學科，其目的是教授學生一些基礎性的知識，培養學生的思維能力、學習能力和解決生活實際問題的能力.初中數學教學的首要任務是培養學生的學習興趣，進而激發學生的理性思維和責任感，所以在探尋教學的有效性方面需要進行深入思考和挖掘.數形結合的方法可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，這樣有利于培養學生解題的靈活性、多樣性和變通性，對于發展學生的思維能力起著積極推動作用.