幾道題的解法之我見

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幾道題的解法之我見

☉江蘇省南京金陵中學河西分校李玉榮

解題研究是數學教師日常教學的一門必修課.陌生題的出現、新編題的誕生，促使教師長年累月地進行解題研究.解題策略的不同，決定了解題“長度”的不同.降低解題難度、增大解題智慧，是教師解題研究應該追求的理想目標.拜讀貴刊2016年第1期刊載的文1、文2，對文中的幾道例題的解法有所思考，撰文與讀者分享.

【評注】這是1992年高考數學理科題，文1是利用換元法轉化為一元二次方程求解的，解法不夠簡潔.

題2：（文1中的例5）設a>0，b>0，且滿足，則的值是（）.

（舍去負值），所以a=25b.

【評注】文1中的解法將已知等式變形所得的方程較為復雜，后利用換元法得到分式方程，求解不夠簡潔.

題3：（文1中的例2）若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x、y、z成等差數列.

解：以（x-y）、（y-z）為根的一元二次方程為［t-（xy）］［t-（y-z）］=0，即t2+（z-x）t+（x-y）（y-z）=0.

因為Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程兩根相等.

從而x-y=y-z，即x、y、z成等差數列.

【評注】這是1979年高考數學理科題，文1中的解法也是用方程的觀點處理的，但牽涉到分類討論，思維較復雜，還運用了根的判別式、觀察出方程的根t=1、韋達定理等知識，解法不夠簡潔.

題4：（文1中的例3）已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，求a4+ b4+c4的值.

解：由于a+b=-c，a2+b2=4-c2，則ab=［（a+b）2-（a2+ b2］=c2-2.

所以a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=（4-c）2-2（c2-2）2=-c4+8.

從而a4+b4+c4=8.

【評注】文1中的解法莫名其妙地提到一元二次方程，但計算過程中又沒用到，而且計算的ab=c2-4是錯誤的.值得一提的是，此題可拓展為：已知a+b+c=0，a2+b2+ c2=k（k為常數），求a4+b4+c4的值.用筆者的解法不難求得結果為

題5：（文2中的題2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，點D、E分別在AB、AC上，∠ACD=20°，∠ABE= 10°，求∠DEB的度數.

圖1

圖2

解：如圖2，在AB上取點M，使ME=AE，則∠AME= ∠A=20°.

由∠ABE=10°，得∠MEB=∠AME-∠ABE=10°.

則BM=ME.

在AC上取點N，使MN=MB=ME.

則∠MNE=∠MEN=∠A+∠AME=40°.

則∠EMN=180°-2×40°=100°.

從而∠BMN=180°-∠EMN-∠AME=60°.

故△BMN為等邊三角形，所以BN=BM，∠MNB=60°.

則∠BNC=180°-∠MNB-∠MNE=80°=∠BCN.

由∠MDC=∠A+∠ACD=40°=∠MEC，得E、D、M、C四點共圓，則∠DEC=∠BMC=50°.

由∠BEC=∠A+∠ABE=30°，得∠DEB=∠DEC-∠BEC=50°-30°=20°.

【評注】此題在文2中是由“蘭利問題”變式而成的，其提供的解法借助蘭利問題的圖形及輔助線，通過兩次三角形相似求解，解答的“長度”非同一般，而筆者不是先構造“蘭利問題”的圖形，而是先作ME=AE，再逐步得到“蘭利問題”，求解過程較為簡潔.

解題研究永無止境，只要肯做有心人，方法會在勤思中應運而生.不論是教師還是學生，都能夠在研究解題中不斷地積累數學的素養，以及加深對數學的理解.

參考文獻：

1.黃樹軍，謝東銀.例談巧構一元二次方程解題策略［J］.中學數學（下），2016（1）.

2.李艷娜.“蘭利問題”求解的多種途徑［J］.中學數學（下），2016（1）.